信號與系統(tǒng)之傳輸算子（課堂PPT）

1、輸入輸入-輸出模型是系統(tǒng)的一種外部描述，凡是能從外部端口通過輸出模型是系統(tǒng)的一種外部描述，凡是能從外部端口通過測量得到的描述就是一種外部描述。測量得到的描述就是一種外部描述。（系統(tǒng)的微分算子方程和傳輸算子）（系統(tǒng)的微分算子方程和傳輸算子）什么是內(nèi)部描述？什么是內(nèi)部描述？內(nèi)部描述有能力提供在系統(tǒng)中全部可能出現(xiàn)內(nèi)部描述有能力提供在系統(tǒng)中全部可能出現(xiàn)的信號的完整信息，外部描述不能給出系統(tǒng)的完整信息。的信號的完整信息，外部描述不能給出系統(tǒng)的完整信息。（狀態(tài)空間方程）（狀態(tài)空間方程）1. 系統(tǒng)的內(nèi)部和外部描述系統(tǒng)的內(nèi)部和外部描述系統(tǒng)模型系統(tǒng)模型系統(tǒng)的微分算子方程與傳輸算子系統(tǒng)的微分算子方程與傳輸算子引入

2、如下算子：引入如下算子： 微分算子微分算子: tp dd 積分算子積分算子: tpp 1 d) (1 則：則：)()(dd)( tfptfttf )()(dd)( )(tfptfttfnnnn )()(1d )(1 tfptfpft 對于微分方程 )(4d)(d)(6d)(d5d)(d 22tfttftyttytty 算子形式算子形式)(4)()(6)(5)( 2tftfptytyptyp 微分算子方程：微分算子方程： )() 4()() 65(2tfptypp 微分方程的一種表示，含義是在等式兩邊分別微分方程的一種表示，含義是在等式兩邊分別對變量對變量y(t)和和f(t)進(jìn)行相應(yīng)的微分運算進(jìn)

3、行相應(yīng)的微分運算。形式上形式上是代數(shù)方程的表示方法是代數(shù)方程的表示方法。可用來可用來在時域中建立與變換域相一致的分析方法。在時域中建立與變換域相一致的分析方法。微分算子的運算性質(zhì)：性質(zhì)性質(zhì)1 1 以以p的正冪多項式出現(xiàn)的運算式，的正冪多項式出現(xiàn)的運算式，在形式上可以像代數(shù)多在形式上可以像代數(shù)多項式那樣進(jìn)行展開和因式分解。項式那樣進(jìn)行展開和因式分解。2(56) ( )(2)(3) ( )ppy tppy t性質(zhì)性質(zhì)2 2 設(shè)設(shè)A(p)和和B(p)是是p的的正冪正冪多項式，則多項式，則 )()()()()()(tfpApBtfpBpA (3)(2) ( )(2)(3) ( )ppy tppy t性

4、質(zhì)性質(zhì)3 3 微分算子方程等號兩邊微分算子方程等號兩邊p的公因式不能隨便消去。的公因式不能隨便消去。 如：如： p y(t)= p f(t) y(t)= f(t)+c( (c為常數(shù)為常數(shù)) ) y(t)= f(t) )()()()()()()()(tfpBpAtfpBpDpApD )()()()()()()()(tfpBpAtfpDpBpDpA )(d)(dd)(1 tffttfppt )()()(d)(dd)(1 tfftfftfppt 例：例： 函數(shù)乘、除算子函數(shù)乘、除算子p的順序不能隨意顛倒，的順序不能隨意顛倒，對函數(shù)進(jìn)行對函數(shù)進(jìn)行“先除后乘先除后乘”算子算子p的運算的運算時，分式的分子

5、與分母中時，分式的分子與分母中公共公共p算子算子( (或或p算式算式) )才允才允許消去。許消去。性質(zhì)性質(zhì)4 4 設(shè)設(shè)A(p)、B(p) 和和D(p)都是都是p的的正冪正冪多項式多項式系統(tǒng)模型：輸入系統(tǒng)模型：輸入-輸出描述輸出描述依據(jù)輸入和輸出端測量值的系統(tǒng)描述稱為依據(jù)輸入和輸出端測量值的系統(tǒng)描述稱為輸入輸入-輸出描述輸出描述。分析任何系統(tǒng)的第一步是構(gòu)建一個系統(tǒng)模型，它應(yīng)該分析任何系統(tǒng)的第一步是構(gòu)建一個系統(tǒng)模型，它應(yīng)該是能滿意地是能滿意地逼近逼近這個系統(tǒng)動態(tài)行為的一種數(shù)學(xué)表達(dá)式。這個系統(tǒng)動態(tài)行為的一種數(shù)學(xué)表達(dá)式。本章只討論連續(xù)時間系統(tǒng)。本章只討論連續(xù)時間系統(tǒng)。系系 統(tǒng)統(tǒng) H(.)y(t)x(t

6、)y(t) = H (x(t) ) 電氣系統(tǒng) 電路元件伏安關(guān)系電路元件伏安關(guān)系( (VAR) )的的微分算子形式微分算子形式稱為稱為 算子模型算子模型，電壓、，電壓、電流比為電流比為算子感抗算子感抗和和算子容抗算子容抗 電路元件的算子模型電路元件的算子模型 i(t) R)(tui(t) R)(tui(t)L)(tu)(tui(t)1/pC)(tui(t)Ci(t)pL)(tuttiLtu d)(d)(tdiCtu )(1)()(1)(tipCtu( )( )u ti tpL例例1 1：電路如圖電路如圖( (a) )所示，激勵為所示，激勵為f(t)，響應(yīng)為，響應(yīng)為i2(t)。試列寫其微。試列寫其

7、微分算子方程。分算子方程。(a)1+f(t)-i153Fi22H4H1+f(t)-i15 1 3pi22p4p(b)回路1回路2畫出其畫出其算子模型電路算子模型電路如如圖圖( (b) )所示。由所示。由回路法回路法可列出方程為可列出方程為 ： 0)()5431()(31)()(31)()3121 (2121tipptiptftiptipp232( )1/3( )( )81472i tH pf tpppH(p)H(p)代表了系統(tǒng)將激勵轉(zhuǎn)變?yōu)轫憫?yīng)的作用，或系統(tǒng)對輸入代表了系統(tǒng)將激勵轉(zhuǎn)變?yōu)轫憫?yīng)的作用，或系統(tǒng)對輸入的傳輸作用，故將的傳輸作用，故將H(p)H(p)稱為稱為響應(yīng)響應(yīng)y(t)y(t)對激勵對

8、激勵f(t)f(t)的的傳輸算子傳輸算子或或系統(tǒng)的傳輸算子系統(tǒng)的傳輸算子 2321/3( )( )81472i tf tppp11101110( )( )( )mmmmnnnb pbpb pbN pH ppapa paD p練練習(xí)題冊2-1，2-3（3）2. LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)特性LTILTI系統(tǒng)全響應(yīng)可作如下分解系統(tǒng)全響應(yīng)可作如下分解： 1、y(t) = 自由響應(yīng)自由響應(yīng) + + 強制響應(yīng)強制響應(yīng)； 2、y(t) = 瞬態(tài)響應(yīng)瞬態(tài)響應(yīng) + + 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)； 3、y(t) = 零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)yx(t) + 零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)yf (t) 輸入輸入u(t)=0時的系統(tǒng)響時的系統(tǒng)響

9、應(yīng)，是系統(tǒng)內(nèi)部條件應(yīng)，是系統(tǒng)內(nèi)部條件（如能量存儲，初始條如能量存儲，初始條件件）單獨作用的結(jié)果，）單獨作用的結(jié)果，與與f(t)無關(guān)。無關(guān)。當(dāng)系統(tǒng)在零狀態(tài)（意味當(dāng)系統(tǒng)在零狀態(tài)（意味著系統(tǒng)內(nèi)部能量存儲不著系統(tǒng)內(nèi)部能量存儲不存在，所有初始條件都存在，所有初始條件都為為0時系統(tǒng)對時系統(tǒng)對f(t)產(chǎn)生的產(chǎn)生的響應(yīng)。響應(yīng)。求零狀態(tài)響應(yīng)求零狀態(tài)響應(yīng)yf (t) （1）求單位沖激響應(yīng)）求單位沖激響應(yīng)h(t)（2）求）求 dthf)()( 卷積積分卷積積分卷積的運算規(guī)律卷積的運算規(guī)律卷積的主要性質(zhì)卷積的主要性質(zhì) 系統(tǒng)全響應(yīng)的求解方法：求零輸入響應(yīng)求零輸入響應(yīng)yX (t) )()()(xtytytyf 一、系統(tǒng)初

10、始條件一、系統(tǒng)初始條件LTI系統(tǒng)在激勵作用下，全響應(yīng)系統(tǒng)在激勵作用下，全響應(yīng)y(t)及其各階導(dǎo)數(shù)在及其各階導(dǎo)數(shù)在t=0處可能處可能發(fā)生跳變發(fā)生跳變或或出現(xiàn)沖激信號出現(xiàn)沖激信號，因此需要考察初始觀測點前一瞬間，因此需要考察初始觀測點前一瞬間t=0-和后一瞬間和后一瞬間t=0+時情況時情況 y(0-)= yx(0-)+yf(0-) y(0+)= yx(0+)+yf(0+) 對于對于因果系統(tǒng)因果系統(tǒng)： yf(0-)=0； 對于對于時不變系統(tǒng)時不變系統(tǒng)： yx(0+)= yx(0-)；y(0-)= yx(0-)= yx(0+)； y(0+)= y(0-)+ yf(0+) y (j)(0-)= y(j)

11、x(0-)= y(j)x(0+)； y (j)(0+)= y (j)(0-)+ y (j) f(0+) 二、通過系統(tǒng)微分算子方程求零輸入響應(yīng)零輸入下零輸入下LTI連續(xù)系統(tǒng)的微分算子方程為連續(xù)系統(tǒng)的微分算子方程為:0 , 0)()(x0111ttyapapapnnn要使上式成立，需滿足要使上式成立，需滿足D(p)=0（特征方程特征方程） 針對針對特征根特征根兩種情況來求兩種情況來求yx(t) 1特征根為特征根為n個單根個單根p1 , p2 , , pn ( (可為實根、虛根或復(fù)根可為實根、虛根或復(fù)根) ) 12x12( )eee , 0nnp tp tp ty tAAAt將將yx(0-)、yx(

12、0-)、yx(n-1)(0-)代入上式，確定積分常數(shù)代入上式，確定積分常數(shù)A1、A2、An 。 (舉舉n=2為例為例) 共軛復(fù)根或虛根時，可用歐拉公式化簡為三角實函數(shù)形式共軛復(fù)根或虛根時，可用歐拉公式化簡為三角實函數(shù)形式 12e (cossin)tAtAt2特征根含有重根 設(shè)特征根設(shè)特征根p1為為r重根，其余特征根為單根重根，其余特征根為單根，, , , , 2 1nrrppp 則則yx(t)的通解表達(dá)式為的通解表達(dá)式為: (: (舉舉r=2為例為例) ) 11x121123 ( )e e, 0()rnrrrnptp tp ty tAAA tAttA teA將將yx(0-)、yx(0-)、yx

13、(n-1)(0-)代入上式，確定積分常數(shù)代入上式，確定積分常數(shù)A1、A2、An 。例例2 電路如圖電路如圖(a)(a)所示所示，已知，已知uC (0-) = 1V，iL(0-) = -1A1A，求，求t0時的時的零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)uCx(t)。1H12FCuCi 21R 42RLiCuCi24LiP2P1解解 (1)畫出算子模型電路畫出算子模型電路, ,由由節(jié)點電流法節(jié)點電流法可列出方程為可列出方程為: : 0)()41212( tuPPcx化簡可得化簡可得 :0)()65(x2 tuppC由由D(p)=0，解得特征根，解得特征根: : p1=-2，p2=-3 2 3 x12( )ee, 0

14、CttutAAt2 3 x12( )2 e3 e, 0CttutAAtRiRiuC x (t), V0t, s41-30.5 1V1A124(2) 0- 瞬時的等效電路瞬時的等效電路 sV1)0(1)0(21)1(21)0(x x x CCCiCui 343211212121AAAAAA2 3 x( )43V, 0 .Cttuteet x(0 )Ci代入初始條件代入初始條件2 3 x12( )ee, 0CttutAAt2 3 x12( )2 e3 e, 0CttutAAt總結(jié)：求解零輸入響應(yīng)總結(jié)：求解零輸入響應(yīng)y yx x( (t t) )的基本步驟的基本步驟： ( (2) )通過微分算子方程

15、得通過微分算子方程得D D( (p p) )求系統(tǒng)的特征根求系統(tǒng)的特征根; ; (3)(3)寫出寫出y yx x( (t t) )的通解表達(dá)式的通解表達(dá)式; ; ( (4) )由系統(tǒng)的由系統(tǒng)的0 0- -狀態(tài)值與狀態(tài)值與0 0- -瞬時的零輸入系統(tǒng)求得初始條件瞬時的零輸入系統(tǒng)求得初始條件yx(j )(0-), j=0, 1, 2, , n-1。(5) 將0-初始條件代入yx(t)的通解表達(dá)式,求得積分常數(shù)A1, A2, , An 。( (6) ) 寫出所得的解寫出所得的解yx(t)，畫出，畫出yx(t)的波形的波形。 ( (1) )建立系統(tǒng)微分算子方程建立系統(tǒng)微分算子方程LTI連續(xù)系統(tǒng)的零狀態(tài)

16、響應(yīng) 一、一、零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng) 零狀態(tài)LTI連續(xù)系統(tǒng)H(p)(tf)(tyf)()()()()()(tfpDpNtfpHtyf )( )()()()(非非齊齊次次微微分分方方程程tfpNtypDf 非齊次微分方程的解由非齊次微分方程的解由通解通解和和特解特解組成，組成，f(t) 形式簡單特解還形式簡單特解還易確定，如形式復(fù)雜，則特解很難確定。易確定，如形式復(fù)雜，則特解很難確定。一般情況下一般情況下零狀態(tài)響零狀態(tài)響應(yīng)應(yīng)可通過將可通過將f(t)分解為更為簡單的單元信號分解為更為簡單的單元信號，將各，將各單元激勵下單元激勵下的響應(yīng)進(jìn)行疊加的響應(yīng)進(jìn)行疊加來求解。來求解。 ( (舉例說明舉例說明)

17、)信號的時域分解：230t)(tf將將f(t)分解為無窮多個寬度為分解為無窮多個寬度為 的矩形脈沖信號之和的矩形脈沖信號之和fa(t) )1()()()3()2()2()2()()()()()0()( ntntnfttfttfttftfa) 1()( )()(0 ntntnftfnna ) 1()()()(0ntntnftfnna dtftdftftfa)()( )()()()(000lim 任意信號可分解為無窮多個不同時刻出現(xiàn)的沖激強度任意信號可分解為無窮多個不同時刻出現(xiàn)的沖激強度為該時刻函數(shù)值的為該時刻函數(shù)值的沖激信號之和沖激信號之和 dtftf)()()(0 零狀態(tài)響應(yīng)的求解過程 dth

18、ftyf)()()( 零狀態(tài)零狀態(tài)LTI)(t )(th沖激響應(yīng)沖激響應(yīng)零狀態(tài)零狀態(tài)LTI)( t)( th時不變性時不變性零狀態(tài)零狀態(tài)LTI)()( tf)()( thf齊次性齊次性 由上述過程可看出由上述過程可看出求解零狀態(tài)響應(yīng)求解零狀態(tài)響應(yīng)可通過下列兩步完成：可通過下列兩步完成：（1）求單位沖激響應(yīng)）求單位沖激響應(yīng)h(t)（2）求）求 dthf)()( 卷積積分卷積積分零狀態(tài)零狀態(tài)LTI dtftf)()()( 疊加性疊加性二、沖激響應(yīng)h(t)h(t)定義定義： 零狀態(tài)LTI H(p)(t )(th)()()()()()()(01110111tapapapbpbpbpbtpDpNtpHt

19、hnnnmmmm 通過多項式的長除法，通過多項式的長除法，H(p)可以化為某個可以化為某個多項式多項式與與一個有理真一個有理真分式之和。分式之和。 233)22(2379972)(222234 ppppppppppppH例例1： 依據(jù)依據(jù)D(p)根的不同，有理真分式根的不同，有理真分式H(p)可展開為不同的部分分式可展開為不同的部分分式 )()()()()()(21npppppppNpDpNpH nnjjppKppKppKppK 2211njpHppKjppjj , , 2 , 1 , )()( )()()()()(2211tppKtppKtppKtppKthnnjj ),()(tppKthj

20、jj令第令第 j 項項為為 )()()(tKthppjjj )()()(tKthpdttdhjjjj （一階微分方程）（一階微分方程）1當(dāng)當(dāng)D D( (p p) ) 有有n個單特征根個單特征根p1 , p2 , , pn ( (可為實根、虛根或復(fù)根可為實根、虛根或復(fù)根) ) ( )( )( )jjjp tp tp tjjjjdh tep h t eKt edt ( )( )jjp tp tjjdh t eKt edt ( )( )jjttppjjdhedKeddt ( )( )jp ttjjh t eKt()( )()( )jjp tpjjjh t eheKt()()0 , ( )( )jjp

21、p tjjjheh tK et沖激響應(yīng)h(t)為)(e)(e)(e)( 2 121tKtKtKthtpntptpn 2當(dāng)當(dāng)D D( (p p) )特征根有重根時特征根有重根時：設(shè)設(shè)p p1 1為為r r重根，其余重根，其余( (n-rn-r) )個為單根個為單根pj( (j=r+1, r+2, , n) )，則有理則有理真分式真分式H H( (p p) )可展開為可展開為：)()()()()()()(11nrrpppppppNpDpNpH nnrrrrrppKppKppKppKppK 11111112111)()(1)()(111pppHppKr 1)()(dd112 pppHpppKr 1(

22、1)11(1)d1()( )(1)!drrrrp pKppH prp與重根相關(guān)的部分分式項的沖激響應(yīng) 1 1(1)11e( ) , 1 , 2 , , (1)!rrjp tjjKttjrj 3 3、H H( (p p) )為某個關(guān)于為某個關(guān)于p pj j多項式時（長除法得到的部分）多項式時（長除法得到的部分）：rjtpkthjrjj , , 2 , 1 , )()(1 rjtkthjrjj , , 2 , 1 , )()()(1 總結(jié)：求解單位沖激響應(yīng)的步驟：總結(jié)：求解單位沖激響應(yīng)的步驟：（1）據(jù)算子微分方程求出傳輸算子）據(jù)算子微分方程求出傳輸算子H(p)；（2）長除法化為長除法化為多項式與嚴(yán)

23、格有理真分式之和；多項式與嚴(yán)格有理真分式之和；（3）嚴(yán)格有理真分式部分分式展開；（4）根據(jù)根據(jù)D D( (p p) )特征根的不同情況，特征根的不同情況，確定確定分式中的分式中的系數(shù)系數(shù)；（5）對照不同情況寫出單位沖激響應(yīng)。）對照不同情況寫出單位沖激響應(yīng)。432227997( )32ppppH ppp例例2 2：求出下面系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)：求出下面系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)：4322222279973( )(22)323221 ( )2212pppppH pppppppH ppppp解：2( )2( )( )2 ( )(2ee) ( )tth ttttt3234162313( )(1) (2)pppH

24、 ppp例例3 3：求出下面系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)：求出下面系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)：131112232( )1(1)(1)2KKKKH ppppp解：3111(1)( )|2pKpH p3121(1)( )|1pdKpH pdp2313121(1)( )|32pdKpH pdp22(2)( )|1pKpH p22( )(3) ( )tth ttteet 1 1(1)11( )e( ) (1)!rrjp tjjKh tttj 注：當(dāng)注：當(dāng)D(p)有共軛復(fù)數(shù)根時有共軛復(fù)數(shù)根時： 【P42：表：表2-2】 111|( )( )2|ecos() ( )jjtKKH ph tKttpp 220.50.5(1)

25、()jj( )ecos( )tpHpppph ttt 220.50.5(2) ()jj( )ecos2( )esin( )ttjjHpppph ttttt 22(3) ()( )cos( )pHph tttp 22(4) ()( )sin( )Hph tttp 2. 階躍響應(yīng) 0( )( )tg thd 階躍響應(yīng)階躍響應(yīng)g g(t)(t)的求解方法：對沖激響應(yīng)的求解方法：對沖激響應(yīng) 進(jìn)行積進(jìn)行積分分( )h t 根據(jù)根據(jù)LTILTI系統(tǒng)特性，對輸入信號積分后作為系統(tǒng)的新輸系統(tǒng)特性，對輸入信號積分后作為系統(tǒng)的新輸入，得到的新輸出為原輸出信號的積分入，得到的新輸出為原輸出信號的積分求解零狀態(tài)響應(yīng)通

26、過下列兩步完成：求解零狀態(tài)響應(yīng)通過下列兩步完成：（1）求單位沖激響應(yīng)）求單位沖激響應(yīng)h(t)（2）求）求 dthf)()( 卷積積分卷積積分三三 卷積積分卷積積分 ( )( ) () (*)fytfh td上述積分可看作上述積分可看作f(t),h(t)經(jīng)過如下過程完成經(jīng)過如下過程完成(1)將將f(t),h(t)的自變量的自變量t換為換為 ， f( ),h( )波形不變；波形不變；(2)將將h( )折疊，得到折疊，得到h(- )；(3)將將h(- )沿沿 軸平移軸平移t， t為為參變量，參變量，得到得到h-( -t) 即即h(t- ), t 0為右為右移，移， t 0為左移；為左移；(4)將將f

27、( ) 與與h(t- ) 相乘得到相乘信號相乘得到相乘信號f( ) h(t- ) ；(5)將將f( ) h(t- ) 在區(qū)間（在區(qū)間（- ，+ ）上積分得到零狀態(tài)響應(yīng)）上積分得到零狀態(tài)響應(yīng)yf(*)。定義定義:(*) )()()()()(2121 dtfftftfty 卷積積分簡稱卷積積分簡稱卷積卷積, ,求解步驟如上求解步驟如上. .卷積積分上下限的確定是關(guān)鍵，討論如下：(3)若若f1(t) ,f2(t) 都為因果信號都為因果信號積分上下限積分上下限為為(0-, t) 1212 0( )( )( )( )() (*)ty tf tf tff td(2)若若f1(t)為因果信號為因果信號, f

28、2(t) 為無時限信號為無時限信號,積分上下限積分上下限為為(0-, ) 1212 0( )( )( )( )() (*)y tf tf tff td(1)若若f1(t) 為無時限信號為無時限信號,f2(t) 為因果信號為因果信號,積分上下限積分上下限為為(- , t) 1212 ( )( )( )( )() (*)ty tf tf tff td(4)若若f1(t) ,f2(t)都為時限信號則都為時限信號則卷積后仍為時限信號，其卷積后仍為時限信號，其左邊界為左邊界為原兩左邊界之和，右邊界為原兩右邊界之和原兩左邊界之和，右邊界為原兩右邊界之和 例3：求圖示f1(t)， f2(t)的卷積（重點）

29、f2(-)02-2f2(t-)02t-2tf1() f2(t-)02t-2t1(t0)021)(1tft022)(2tft)(1 f )(2 f (1) t0時時, f1( ) f2(t- )=00)()(21 dtff)1()( 2)(1 f)()2()(2 f)()2()()(2ttttf (2) 0t1時f1() f2(t-)02t-2t1(1t2)t1f1() f2(t-)02t-2t(2t3)t-1f1() f2(t-)02t-2t1(0t1)t20200212)(2)()(ttdtdtffttt (3) 1t2時時122)(2)()(102101021 ttdtdtff (4) 2

30、t3時1f1() f2(t-)02t-2t(t3)0)()(21 dtff . 3 , 0; 32 ),3)(1(; 21 , 12; 10 ,; 0 , 0)()()(221ttttttttttftfty012313y(t)t練練習(xí)題冊2-10卷積的運算規(guī)律卷積的運算規(guī)律 據(jù)卷積的定義和積分的性質(zhì)，可推知卷積有如下的運算據(jù)卷積的定義和積分的性質(zhì)，可推知卷積有如下的運算規(guī)律規(guī)律 :1 1交換律交換律: : )()()()(1221tftftftf* 2 2分配律分配律: : )()()()()()()(3121321tftftftftftftf* 3結(jié)合律 )()()()()()()()()(

31、231321321tftftftftftftftftf* 卷積的主要性質(zhì)卷積的主要性質(zhì)1 1f( (t t) )與奇異信號的卷積與奇異信號的卷積(1)(1) f(t)* *(t)=f(t),即即f(t)與與(t)卷積等于卷積等于f(t)本身本身 (2)(2) f(t)* *(t)=f(t) ,即即f(t)與與(t)卷積等于卷積等于f(t)導(dǎo)數(shù)。導(dǎo)數(shù)。 (3)(3)11( )( )( )( )( )( )tf ttf ttfdf2 2卷積的微分和積分：卷積的微分和積分：(1)(1) 積分積分 f1(t)* *f2(t) -1 = f1-1(t)* *f2(t)= f1(t)* *f2-1(t)

32、(2)(2) 微分微分 f1(t)* *f2(t) = f1(t)* *f2(t)= f1(t)* *f2(t) (3) 微分-積分:f1(t)* *f2(t)=f1(t)* *f2-1(t)=f1-1(t)* *f2(t)3 3卷積時移：卷積時移：設(shè)設(shè)f1(t)* *f2(t)=y(t)，則：，則： f1(t)* *f2(t-t0)=f1(t-t0)* *f2(t)=y(t-t0) f1(t-t1)* *f2(t-t2)=y(t-t1-t2); 推論：推論：f(t-t1)* *(t-t2)=f(t-t1-t2) (t-t1)* *(t-t2)=(t-t1-t2); 記住一些常用的卷積（記住一

33、些常用的卷積（P45:表表2-3）就可利用卷積性質(zhì)求解較）就可利用卷積性質(zhì)求解較復(fù)雜的卷積。復(fù)雜的卷積。1121212()()()()tttttttr ttt0)( ; 0)(21ff若若f1(t)，f2(t)左收斂左收斂，即，即例例:已知已知:)1()( 2)(1 tttf )2()()(2 ttttf )2()1(2)()1(2- )2()(2)()(2)()(21 tttttttttttttftf 求卷積：求卷積：)3(2)1(2- )2(2)(2)()(1 21 0 2 021 tdtdtdtdtftftttt (卷積時的卷積時的 (t)的存在只是確定被積信號的起始位置，卷積結(jié)果要的存

34、在只是確定被積信號的起始位置，卷積結(jié)果要考慮起始位置考慮起始位置,即加即加 (上限上限-下限下限)所以有所以有)3()32()1()12( - )2()4()(2222 tttttttttt 012313y(t)t22 ( )(1)(21) (1)(2) (23) (2)(3)tttttttttt 結(jié)果與前面圖解法所得的分段表結(jié)果與前面圖解法所得的分段表達(dá)式一致。達(dá)式一致。2202212102112( )2(2)2211 -2(1)2(3)22tttttttt 若若f1(t)，f2(t)收斂，收斂，利用微分利用微分- -積分性質(zhì)使被卷積的一個信號盡積分性質(zhì)使被卷積的一個信號盡量化為量化為沖激信

35、號以及其延時沖激信號以及其延時，再利用任一信號與，再利用任一信號與(t)卷積等于該卷積等于該信號本身及其時移性質(zhì)，可計算簡化。信號本身及其時移性質(zhì)，可計算簡化。上例中兩信號都有界，因此可利用微分上例中兩信號都有界，因此可利用微分- -積分性質(zhì)積分性質(zhì))2()()1(2)(2)()( )()(12121 ddtttftftftftt )2()221()(21)1(2)(2 22 tttttt 2222 ( ) (1)(1) (4) (2) (1)4 (3)tttttttt結(jié)果與前面一致結(jié)果與前面一致)1()( 2)(1 tttf )2()()(2 ttttf 例 試計算常數(shù)K與信號f(t)的卷積

36、積分 解解 直接按卷積定義，可得直接按卷積定義，可得 )( )()()( 下下的的凈凈面面積積tfKKdfKtftfK 如果用微分如果用微分- -積分性質(zhì)來求解將積分性質(zhì)來求解將導(dǎo)致錯誤結(jié)果導(dǎo)致錯誤結(jié)果 0)(dd)( tdfKttfK 常數(shù)常數(shù)K 不收斂不收斂且任意信號且任意信號f(t)也并非一定也并非一定收斂。收斂。 f(t)0t242)()sin()()cos1()( 02tttdtht )4()2(2)()( ttttf)4()2(2)()( ttttf)4()4sin()4( )2()2sin()2(2)()sin( )4()2(2)()()sin( )()( )()( )()()(21 ttttttttttttttttfthtfthtfthty* 例例 已知某系統(tǒng)的