曲率及其計(jì)算公式

1、一、弧微分二、曲率及其計(jì)算公式三、曲率圓與曲率半徑3.7 曲率 曲線的彎曲線程度與哪些因素有關(guān). 怎樣度量曲線的彎曲程度？一、弧微分曲線的基點(diǎn)與正向 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a b)內(nèi)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù). 在曲線yf(x)上取固定點(diǎn)M0(x0 y0)作為度量弧長(zhǎng)的基點(diǎn) 并規(guī)定依 x 增大的方向作為曲線的正向. s0s0 相反時(shí)s0. 顯然 弧 s 是 x 的單調(diào)增加函數(shù) ss(x). 一、弧微分v弧微分公式 設(shè)x xDx為(a b)內(nèi)兩個(gè)鄰近的點(diǎn) 它們?cè)谇€yf(x)上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為M N 并設(shè)對(duì)應(yīng)于x的增量Dx 弧 s 的增量為Ds. 因?yàn)楫?dāng)Dx0時(shí) Ds MN 又Dx與Ds同號(hào) 所以 由此得弧微分公式

2、 202200)(1lim|)()(limlimxyxyxxsdxdsxxxDDDDDDDDDD21 y. dxyds21. 202200)(1lim|)()(limlimxyxyxxsdxdsxxxDDDDDDDDDD202200)(1lim|)()(limlimxyxyxxsdxdsxxxDDDDDDDDDD二、曲率及其計(jì)算公式提示： 可以用單位弧段上切線轉(zhuǎn)過(guò)的角度的大小來(lái)表達(dá)弧段的平均彎曲程度.觀察與思考： 觀察曲線的彎曲線程度與哪些因素有關(guān). 怎樣衡量曲線的彎曲程度？ 記sKsDDD0lim 稱 K 為曲線 C 在點(diǎn) M 處的曲率. 記sKDD 稱K為弧段 MN 的平均曲率. 平均曲率

3、：曲率：v曲率 設(shè)曲線C是光滑的 曲線上點(diǎn)M對(duì)應(yīng)于弧s 在點(diǎn)M處切線的傾角為 曲線上另外一點(diǎn)N對(duì)應(yīng)于弧sDs 在點(diǎn)N處切線的傾角為D . 曲率：v曲率的計(jì)算公式 在0limDssDDdsd存在的條件下 dsdK. 記sKsDDD0lim 稱 K 為曲線 C 在點(diǎn) M 處的曲率. 設(shè)曲線C的方程為yf(x) 且f(x)具有二階導(dǎo)數(shù). 因?yàn)閠an y 所以 sec 2dydx 在0limDssDDdsd存在的條件下 dsdK. 又知 ds21 ydx 從而得曲率的計(jì)算公式 232)1 (|yydsdK . dxyydxydxyd2221tan1sec dxyydxydxyd2221tan1sec

4、dxyydxydxyd2221tan1sec . v曲率的計(jì)算公式232)1 (|yydsdK . 例1 計(jì)算等邊雙曲線xy1在點(diǎn)(1 1)處的曲率.曲率的計(jì)算公式：曲線在點(diǎn)(1 1)處的曲率為因此y|x11 y|x12.解解 由xy1 得 21xy 232)1 (|yyK 232) 1(1 (22221 解 21xy 32xy . 232)1 (|yyK 232) 1(1 (22221232)1 (|yyK 232) 1(1 (22221. 例2 拋物線yax2bxc上哪一點(diǎn)處的曲率最大？ 解 由yax2bxc 得 y2axb y2a 代入曲率公式 得 顯然 當(dāng)2axb0時(shí)曲率最大. 因此

5、拋物線在頂點(diǎn)處的曲率最大 此處K|2a|. 232)2(1 |2|baxaK. 曲率最大時(shí) xab2 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn). 232)1 (|yydsdK . 曲率的計(jì)算公式：討論： 3. 半徑為R的圓上任一點(diǎn)的曲率是什么？ 1. 直線yaxb上任一點(diǎn)的曲率是什么？ 2. 若曲線的參數(shù)方程為xj(t) yy(t) 那么曲率如何計(jì)算？ 提示： 1. 設(shè)直線方程為yaxb 則ya y 0. 于是K0. 3. 圓的參數(shù)方程為xR cos t yR sin t . 2/322)()(| )()()()(|ttttttKyjyjyj . 2. 三、曲率圓與曲率半徑 上述圓叫做曲線在點(diǎn)M處的曲率圓 其圓心叫做曲率中心 其半徑r叫做曲率半徑.v曲率與曲率半徑關(guān)系v曲率圓與曲率半徑 設(shè)曲線在點(diǎn)M處的曲率為K(K0). 在曲線凹的一側(cè)作一個(gè)與曲線相切于M且半徑為rK1的圓. r K1 K r1. 曲率圓曲率半徑曲率中心 例3 設(shè)工件表面的截線為拋物線y0.4x2. 現(xiàn)在要用砂輪磨削其內(nèi)表面. 問(wèn)用直徑多大的砂輪才比較合適？ 解 砂輪的半徑不應(yīng)大于拋物線頂點(diǎn)處的曲率半徑. 拋物線頂點(diǎn)處的曲率半徑為 rK11.25. 因此,