專題：數(shù)形結(jié)合-學(xué)生

1、數(shù)學(xué)思想方法專題數(shù)形結(jié)合思想1所謂數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的一種 重要思想方法。數(shù)形結(jié)合思想通過“以形助數(shù)，以數(shù)解形”，使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，它是數(shù)學(xué)的規(guī)律性與靈活性的有機(jī)結(jié)合。2實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，常與以下內(nèi)容有關(guān)：實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系；函數(shù)與圖象的對(duì)應(yīng)關(guān)系；曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系；以幾何元素和幾何條件為背景，建立起來的概念，如復(fù)數(shù)、三角函數(shù)等;所給的等式或代數(shù)式的結(jié)構(gòu)含有明顯的幾何意義。女口等式(x-2)2 (y-1)4二3縱觀多年來的高考試題，巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決一些抽

2、象的數(shù)學(xué)問題，可起到事半功 倍的效果，數(shù)形結(jié)合的重點(diǎn)是研究“以形助數(shù)”。4數(shù)形結(jié)合的思想方法應(yīng)用廣泛，常見的如在解方程和解不等式問題中，在求函數(shù)的值域，最值問 題中，在求復(fù)數(shù)和三角函數(shù)問題中，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，不僅直觀易發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且能避免復(fù)雜 的計(jì)算與推理，大大簡化了解題過程。這在解選擇題、填空題中更顯其優(yōu)越，要注意培養(yǎng)這種思想意 識(shí)，要爭取胸中有圖，見數(shù)想圖，以開拓自己的思維視野。一、例題分析例1.若關(guān)于X的方程x2 2kx 3k = 0的兩根一1和3之間k的例2.解不等式.x 2 x例 3.已知 0 : a : 1,則方程 a|x| =| loga x | 的例4.如果實(shí)數(shù)x、y滿足

3、(x -2)2 y2 =3,貝V -的最大值為x2 2例5.已知x, y滿足翌1,求y-3x的最大值與最小值16256.若集合M = j(x, y) j心吧(。宀二),y =3si n集合N 二(x, y)|y = x b2 2例7點(diǎn)M是橢圓上I -1 一點(diǎn)，它到其中一個(gè)焦點(diǎn)只的距離為2, N為2516MFi的中點(diǎn)，0表示原點(diǎn)，則|0N|=例8.已知復(fù)數(shù)z滿足|z22i|= 2，求z的模的最大值、最小值的范圍。 例9.求函數(shù)y =曲2的值域。cosx - 2例10.求函數(shù)ut=246 t的最值。例11、已知函數(shù)f（x）=log 2（x+1），若Ovav bv c，則丄，上辺，_!©

4、的大小關(guān)系是 .a b c二、總結(jié)提煉數(shù)形結(jié)合思想是解答數(shù)學(xué)試題的的一種常用方法與技巧，特別是在解決選擇、填空題是發(fā)揮著奇特功效，復(fù)習(xí)中要以熟練技能、方法為目標(biāo)，加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練，以提高解題能力和速度。三、強(qiáng)化訓(xùn)練1. 方程lg x = sin x的實(shí)根的個(gè)數(shù)為 2. 函數(shù)y二a|x|與y = xa 的圖象恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是 3. 設(shè)命題甲：0 x : 3，命題乙：|x -1卜：4，則甲是乙成立的 5. 若不等式x a 一 x （a 0）的解集為x|m乞x < n|，且m - n| = 2a，則a的值為6. 已知復(fù)數(shù)乙=3-i,厶| = 2，則|z1 Z2I的最大值為

5、 7. 若（1，2）時(shí)，不等式（x-1）2 : loga x恒成立，則a的取值范圍為 28. 若關(guān)于x的方程x -4|x|+5= m有四個(gè)不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為 。9. 函數(shù)y = x2 2x +2 + lx2 6x +13的最小值為 。10. 若直線y =x-m與曲線y = $1-x2有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù) m的取值范圍是 。x 2y - 2 _02 211.已知x、y滿足約束條件 x - y -1乞0 ，則(x 1) y的最小值為 2x3y 6 _ 02 2 2 . . 2 212已知直線 Ax By C =0 (其中A B =C ,C =0)與圓x y =4交于M , N

6、, O是坐標(biāo)原點(diǎn)，貝U OM ON =.13、 已知點(diǎn)(m, n)在曲線y=j4 x2上，貝U 的取值范圍是 m -3x14、 當(dāng)x、y滿足條件|x|，|y|：1時(shí),變量u的取值范圍是 y _315、方程2sin二cos在0,2二上的根的個(gè)數(shù) 16、 若定義在R上的減函數(shù)y = f(x),對(duì)于任意的x, y R,不等式f (x2-2x) _-f (2y-y2)成立. 且函數(shù)y = f (x -1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，則當(dāng)1乞x乞4時(shí)，1的取值范圍 _x17、方程 Igx =8 -2x的根 x (k,k 1), k z,則 k=18、 已知f(x)是以2為周期的偶函數(shù)，且當(dāng)x 0,1時(shí),

7、f(x)=x ，若在區(qū)間-1,3內(nèi)，函數(shù)f(x)= kx+k+1(k R且kz 1)有4個(gè)零點(diǎn)，貝U k的取值范圍是 19已知平面區(qū)域 D由A(1 , 3), B(5, 2), C(3, 1)為頂點(diǎn)的三角形內(nèi)部和邊界組成.若在區(qū)域D上有無窮多個(gè)點(diǎn)(x, y)可使目標(biāo)函數(shù)z= x+ my取得最小值，則實(shí)數(shù) m=20. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)A、B、C是圓x2+y2=1上相異三點(diǎn)，若存在正實(shí)數(shù),使得OC OA+MOB*,貝U乙2十(43 2的取值范圍是 21、如圖，直三棱柱 ABC-A 1B1C1中，AB=1 , BC=2 , AC=,從1=3, M為線段BB1上的一動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)AM+MC1最

8、小時(shí)， AMC1的面積為 22、 平面內(nèi)兩個(gè)非零向量 ，滿足| 7=1，且與1 - 的夾角為1350，則p- |的取值范圍是_23、 已知 A=30 °. P,Q分別在 A的兩邊上，PQ為定長 m.則此三角形 APQ面積最大值為.-y 啟0224、已知i=(x,y)|2，直線y=mx2m和曲線y -x有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，它們圍y 蘭 “4 一 x成的平面區(qū)域?yàn)?M，向區(qū)域 門上隨機(jī)投一點(diǎn)A，點(diǎn) A落在區(qū)域 M內(nèi)的概率為P(M )，若7-2PM ) - ,1，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為25、已知實(shí)數(shù)x, y滿足2x y 0,那么. x2 y2的最小值為 .26、已知向量:滿足|：冃,| :-

9、-0 若對(duì)每一確定的二，1的最大值和最小值分別為m, n ,則對(duì)任意|.:，, m _n的最小值是27. 若實(shí)數(shù)x, y滿足4x4y =2x 1 2y 1則S =2x - 2y的取值范圍是'BA |的最小值為M，若M的最28、 AB是單位圓上的弦，P為單位圓上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)f() =|P大值M max滿足M max丄3，則| A*| 的取值范圍為 29、已知向量 OB =(2,0),OC =(2,2),CA =(.、2cos',.2si nJ,則向OA與 OB 的夾角范圍是.30、a, b是互相垂直的兩個(gè)單位向量,今 T T T *(a c ) (b c )= 0 ,貝U c的最大

10、值為31、設(shè)函數(shù) fX ) = ax cosx, x ：=0,二丨(提示)分離作圖 ax _ sincx - osx 11、討論f (x)的單調(diào)性2、設(shè)f(X _1s inx,求a的取值范圍32.如圖，在 ABC 中，AB=5 , AC=4 , / BAC=60 °，點(diǎn) D 為邊 BC 上的動(dòng)點(diǎn)，DE / AC , DF / AB，求| DE - DF |的最小值.33、若方程lg -x2 3xm =lg3-x在0, 3內(nèi)有唯一解,求實(shí)數(shù)m的取值范圍34.若不等式4x - x2(a -1)x 的解集為 A,且 A x|0 ： x ： 2,求a的取值范圍。36. 設(shè)a - 0且 aM 1，試求下述方程有解時(shí)k的取值范圍。loga(x _ak)l二 oga2(x2 _a2)37、若點(diǎn)G為ABC的重心，且 AG丄BG ,則sin C的最大值為 13.2a . 2l n a 3c _ 438、若實(shí)數(shù)a、b、c、d滿足1，則(a - c)2 (b - d)2的最小值