一元一次方程知識點及經典例題

1、一、知識要點梳理知識點一：方程和方程的解1.方程：含有_的_叫方程注意：a.必須是等式 b.必須含有未知數。易錯點：（1）.方程式等式，但等式不一定是方程；（2）.方程中的未知數可以用x表示，也可以用其他字母表示；（3）.方程中可以含多個未知數。考法：判斷是不是方程：例：下列式子：(1).8-7=1+0 (2).1、 一元一次方程： 一元一次方程的標準形式是：ax+b=0(其中x是未知數，a,b是已知數，且a0)。要點詮釋：一元一次方程須滿足下列三個條件： （1） 只含有一個未知數； （2） 未知數的次數是1次； （3） 整式方程2、方程的解： 判斷一個數是否是某方程的解：將其代入方程兩邊，看

2、兩邊是否相等知識點二：一元一次方程的解法1、方程的同解原理（也叫等式的基本性質）等式的性質1：等式兩邊加（或減）同一個數（或式子），結果仍相等。如果，那么；(c為一個數或一個式子)。等式的性質2：等式兩邊乘同一個數，或除以同一個不為0的數，結果仍相等。如果，那么；如果，那么要點詮釋：分數的分子、分母同時乘以或除以同一個不為0的數，分數的值不變。即：（其中m0）特別須注意：分數的基本的性質主要是用于將方程中的小數系數（特別是分母中的小數）化為整數，如方程：=1.6，將其化為： =1.6。方程的右邊沒有變化，這要與“去分母”區(qū)別開。2、解一元一次方程的一般步驟： 解一元一次方程的一般步驟 變形步驟

3、具 體 方 法變 形 根 據注 意 事 項去分母 方程兩邊都乘以各個分母的最小公倍數等式性質2 1不能漏乘不含分母的項； 2分數線起到括號作用，去掉分母后，如果分子是多項式，則要加括號去括號 先去小括號，再去中括號，最后去大括號乘法分配律、去括號法則 1分配律應滿足分配到每一項 2注意符號，特別是去掉括號移 項 把含有未知數的項移到方程的一邊，不含有未知數的項移到另一邊等式性質1 1移項要變號； 2一般把含有未知數的項移到方程左邊，其余項移到右邊合并同類 項 把方程中的同類項分別合并，化成“”的形式（）合并同類項法則 合并同類項時，把同類項的系數相加，字母與字母的指數不變未知數的系數化成“1”

4、 方程兩邊同除以未知數的系數，得等式性質2 分子、分母不能顛倒要點詮釋：理解方程ax=b在不同條件下解的各種情況，并能進行簡單應用: a0時，方程有唯一解； a=0，b=0時，方程有無數個解； a=0，b0時，方程無解。牛刀小試例1、解方程（1）y- 例2、由兩個方程的解相同求方程中子母的值已知方程的解與方程的解相同，求m的值.例3 、解方程知識與絕對值知識綜合題型解方程： 二、經典例題透析類型一：一元一次方程的相關概念1、已知下列各式： 2x51；871；xy；xyx2；3xy6；5x3y4z0；8；x0。其中方程的個數是()A、5B、6C、7D、8舉一反三：變式1判斷下列方程是否是一元一次

5、方程：（1）-2x2+3=x （2）3x-1=2y （3）x+=2 （4）2x2-1=1-2(2x-x2)變式2已知：(a-3)(2a+5)x+(a-3)y+60是一元一次方程，求a的值。變式3（2011重慶江津）已知3是關于x的方程2xa=1的解,則a的值是( )A5 B5 C7 D2類型二：一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步驟是：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數化為1。如果我們在牢固掌握這一常規(guī)解題思路的基礎上，根據方程原形和特點，靈活安排解題步驟，并且巧妙地運用學過的知識，就可以收到化繁為簡、事半功倍的效果。1巧湊整數解方程： 2、舉一反三：變式解方程：2x52巧去括號解方程

6、： 4、舉一反三：變式解方程：4運用拆項法解方程： 5、5巧去分母解方程： 6、舉一反三：變式（2011山東濱州）依據下列解方程的過程，請在前面的括號內填寫變形步驟，在后面的括號內填寫變形依據。解：原方程可變形為 (_)去分母，得3（3x+5）=2(2x-1). (_)去括號，得9x+15=4x-2. （_）(_),得9x-4x=-15-2. (_)合并，得5x=-17. (合并同類項)（_）,得x=. （_）6巧組合解方程： 7、思路點撥：按常規(guī)解法將方程兩邊同乘72化去分母，但運算較復雜，注意到左邊的第一項和右邊的第二項中的分母有公約數3，左邊的第二項和右邊的第一項的分母有公約數4，移項局

7、部通分化簡，可簡化解題過程。7巧解含有絕對值的方程： 8、|x2|30思路點撥：解含有絕對值的方程的基本思想是先去掉絕對值符號，轉化為一般的一元一次方程。對于只含一重絕對值符號的方程，依據絕對值的意義，直接去絕對值符號，化為兩個一元一次方程分別解之，即若|x|m，則xm或xm；也可以根據絕對值的幾何意義進行去括號，如解法二。舉一反三：【變式1】（2011福建泉州）已知方程，那么方程的解是_.；變式2 5|x|-163|x|-4變式3 8利用整體思想解方程： 9、思路點撥：因為含有的項均在“”中，所以我們可以將作為一個整體，先求出整體的值，進而再求的值。參考答案例1：解：是方程的是，共六個，所以

8、選B總結升華：根據定義逐個進行判斷是解題的基本方法，判斷時應注意兩點：一是等式；二是含有未知數，體現(xiàn)了對概念的理解與應用能力。舉一反三1.解析：判斷是否為一元一次方程需要對原方程進行化簡后再作判斷。答案：（1）（2）（3）不是，（4）是2.解析：分兩種情況：（1）只含字母y，則有(a-3)(2a+5)0且a-30 （2）只含字母x，則有a-30且(a-3)(2a+5)0 不可能綜上，a的值為。3.答案：B例2. 解：移項，得。合并同類項，得2x1。系數化為1，得x。舉一反三解：原方程可變形為2x5整理，得8x18(215x)2x5，去括號，得8x18215x2x5移項，得8x15x2x5182

9、合并同類項，得9x21系數化為1，得x。例4解：去括號，得去小括號，得去分母，得(3x5)88去括號、移項、合并同類項，得3x21兩邊同除以3，得x7原方程的解為x7舉一反三解：依次移項、去分母、去大括號，得依次移項、去分母、去中括號，得依次移項、去分母、去小括號，得，x48例5解：原方程逆用分數加減法法則，得移項、合并同類項，得。系數化為1，得。例6解：原方程化為去分母，得100x(1320x)7去括號、移項、合并同類項，得120x20兩邊同除以120，得x原方程的解為總結升華：應用分數性質時要和等式性質相區(qū)別?？梢曰癁橥帜傅?，先化為同分母，再去分母較簡便。舉一反三【答案】解：原方程可變形

10、為 (_分式的基本性質_)去分母，得3（3x+5）=2(2x-1). (_等式性質2_)去括號，得9x+15=4x-2. （去括號法則或乘法分配律_）(_移項_),得9x-4x=-15-2. (等式性質1_)合并，得5x=-17. (合并同類項)（_系數化為1_）,得x=. （等式性質2）例7解：移項通分，得化簡，得去分母，得8x1449x99。移項、合并，得x45。例8解法一：移項，得|x2|3 當x20時，原方程可化為x23，解得x5 當x20時，原方程可化為(x2)3，解得x1。 所以方程|x2|30的解有兩個：x5或x1。解法二：移項，得|x2|3。 因為絕對值等于3的數有兩個：3和3

11、，所以x23或x23。 分別解這兩個一元一次方程，得解為x5或x1。舉一反三1.【答案】2.解：5|x|-3|x|16-42|x|12|x|6x±63.解：|3x-1|83x-1±83x1±83x9或3x-7x3或例9解：移項通分，得：化簡，得：移項，系數化1得：總結升華：解一元一次方程有一般程序化的步驟，我們在解一元一次方程時，既要學會按部就班(嚴格按步驟)地解方程，又要能隨機應變(靈活打亂步驟)解方程。對于一般解題步驟與解題技巧來說，前者是基礎，后者是機智，只有真正掌握了一般步驟，才能熟能生巧。三、課堂練習一、選擇題1、已知下列方程：（1）x-2=;(2) 0

12、.3x=1;(3) =5x-1;(4) x-4x=3;(5) x=0;(6) x+2y=0.其中一元一次方程的個數是（ ） A 2 B 3 C 4 D 52、下列四組變形中，正確的是（ ）A 由5x+7=0,得5x= -7 B 由2x-3=0,得2x-3+3=0 C 由=2,得x= D由5x=7,得x=353、一個水池有甲、乙兩個水龍頭，單獨開甲水龍頭2小時可把空池灌滿；單獨開乙水龍頭3小時可把空池灌滿，若同時開放兩個水龍頭，灌滿空池需（ ）A小時 B小時 C2小時 D3小時4、下列方程中，是由方程7x-8=x+3變形而得到的是（ ）A 7x=x+5 B 7x+5=x C 6x=11 D -8

13、+3=-6x 5、下列方程的變形中，是移項的是（ ）A由3=x，得x=3 B由6x=3+5x，得6x=5x+3 ；其中一元一次方程的個數是（ ）A2B3 C4 D513、已知關于的方程的解是，則的值是（ ）A-5 B-6 C-7 D814、方程移項后，正確的是 （ ）A B C D 15、方程，去分母得（ ）A B C D 16、甲、乙兩人騎自行車同時從相距65 km的兩地相向而行，2小時相遇，若甲比乙每小時多騎25 km，則乙的時速是（ ）A125 km B15 km C175 km D20 km17、某商店賣出兩件衣服，每件60元，其中一件賺25，另一件賠25，那么這兩件衣服售出后商店是（

14、 ）A不賺不賠B 賺8元 C虧8元 D 賺15元二、填空題： 1、圓的周長為4，半徑為x,列出方程為 。2、已知方程（m-2）x+5=9是關于x的一元一次方程，則m = .3、已知代數式x+2y的值是3，則代數式2x+4y+1的值是 。4、3ab與2ab是同類項，則m = .5、若+（y+1）=0,則x-y= .6、某商品的進價為250元，為了減少庫存，決定每件商品按標價打8折銷售，結果每件商品仍獲利10元，那么原來標價為 。7、當x= 時，的值是0.三、一元一次方程應用題（找出等量關系）一 、列一元一次方程解應用題的一般步驟 （1）審題：弄清題意（2）找出等量關系：找出能夠表示本題含義的相等

15、關系（3）設出未知數，列出方程：設出未知數后，表示出有關的含字母的式子，然后利用已找出的等量關系列出方程（4）解方程：解所列的方程，求出未知數的值（5）檢驗，寫答案：檢驗所求出的未知數的值是否是方程的解，是否符合實際，檢驗后寫出答案1、數字問題 要搞清楚數的表示方法：一個三位數的百位數字為a，十位數字是b，個位數字為c（其中a、b、c均為整數，且1a9， 0b9， 0c9）則這個三位數表示為：100a+10b+c。 例1、 若三個連續(xù)的偶數和為18，求這三個數。例2、 一個兩位數，個位上的數是十位上的數的2倍，如果把十位與個位上的數對調，那么所得的兩位數比原兩位數大36，求原來的兩位數等量關系

16、：原兩位數+36=對調后新兩位數例3、有一個三位數，個位數字為百位數字的2倍，十位數字比百位數字大1，若將此數個位與百位順序對調（個位變百位）所得的新數比原數的2倍少49，求原數。分析：然后抓住數字間或新數、原數之間的關系找等量關系列方程2、日歷中的規(guī)律：橫行相鄰兩數相差_豎行相鄰兩數相差_。例1、如果今天是星期三，那么一年（365天）以后的今天是星期_例2、在日歷表中，用一個正方形任意圈出2x2個數，則它們的和一定能被_整除。A 3 B 4 C 5 D 6例3、如果某一年的5月份中，有5個星期五，且它們的日期之和為80，那么這個月的4號是星期幾？3、等積變形問題常用等量關系為：形狀面積變了，

17、周長沒變；原料體積成品體積。例1、用直徑為4cm的圓鋼，鍛造一個重0.62kg的零件毛坯，如果這種鋼每立方厘米重7.8g，應截圓鋼多長？例2. 用直徑為90mm的圓柱形玻璃杯（已裝滿水）向一個由底面積為內高為81mm的長方體鐵盒倒水時，玻璃杯中的水的高度下降多少mm？（結果保留整數）4、 和、差、倍、分問題： 倍數關系：通過關鍵詞語“是幾倍，增加幾倍，增加到幾倍，增加百分之幾，增長率”來體現(xiàn)。多少關系：通過關鍵詞語“多、少、和、差、不足、剩余”來體現(xiàn)。（1）勞力調配問題：這類問題要搞清人數的變化. 例1.某廠一車間有64人，二車間有56人?，F(xiàn)因工作需要，要求第一車間人數是第二車間人數的一半。問

18、需從第一車間調多少人到第二車間？ 例2甲、乙兩車間各有工人若干，如果從乙車間調100人到甲車間，那么甲車間的人數是乙車間剩余人數的6倍；如果從甲車間調100人到乙車間，這時兩車間的人數相等，求原來甲乙車間的人數。（2）配套問題：例1、某車間有28名工人生產螺栓和螺母，每人每小時平均能生產螺栓12個或螺母18個，應如何分配生產螺栓和螺母的工人，才能使螺栓和螺母正好配套（一個螺栓配兩個螺母）例2. 機械廠加工車間有85名工人，平均每人每天加工大齒輪16個或小齒輪10個，已知2個大齒輪與3個小齒輪配成一套，問需分別安排多少名工人加工大、小齒輪，才能使每天加工的大小齒輪剛好配套？ 分析：列表法。

19、60;每人每天人數數量大齒輪16個x人16x小齒輪10個人 等量關系：小齒輪數量的2倍大齒輪數量的3倍 解：設分別安排x名、名工人加工大、小齒輪 答：略.（3）分配問題：例1.學校分配學生住宿，如果每室住8人，還少12個床位，如果每室住9人，則空出兩個房間。求房間的個數和學生的人數。例2. 三個正整數的比為1：2：4，它們的和是84，那么這三個數中最大的數是幾？（比例分配問題 常用等量關系：各部分之和總量。）（4）年齡問題：例1、甲比乙大15歲，5年前甲的年齡是乙的年齡的兩倍，乙現(xiàn)在的年齡是多少歲？例2、小華的爸爸現(xiàn)在的年齡比小華大25歲，8年后小華爸爸的年齡是小華的3倍多5歲，求小華現(xiàn)在的年

20、齡。 5、工程問題 工程問題中的三個量及其關系為：工作總量=工作效率×工作時間 經常在題目中未給出工作總量時，設工作總量為單位1。例1. 一件工程，甲獨做需15天完成，乙獨做需12天完成，現(xiàn)先由甲、乙合作3天后，甲有其他任務，剩下工程由乙單獨完成，問乙還要幾天才能完成全部工程？ 分析設工程總量為單位1，等量關系為：甲完成工作量+乙完成工作量=工作總量。 解：設乙還需x天完成全部工程，設工作總量為單位1，由題意得，(+)×3+=1， .例2、在西部大開發(fā)中，基礎建設優(yōu)先發(fā)展，甲、乙兩隊共同承包了一段長6500米的高速公路工程，兩隊分別從兩端施工相向前進，甲隊平均每天

21、可完成480米，乙隊平均每天比甲隊多完成220米，乙隊比甲隊晚一天開工，乙隊開工幾天后兩隊完成全部任務？6、 打折銷售問題（1）銷售問題中常出現(xiàn)的量有：進價、售價、標價、利潤等（2）基本關系式：利潤售價進價；售價=標價×折數；利潤率利潤/進價 。由可得出利潤標價×折數進價。由可得出利潤率 。 市場經濟問題 （1）商品利潤商品售價商品成本價 （2）商品利潤率×100% （3）商品銷售額商品銷售價×商品銷售量 （4）商品的銷售利潤（銷售價成本價）×銷售量 （5）商品打幾折出售，就是按原標價的百分之幾十出售，如商品打8折出售，即按原標價的80%出售例

22、1、一件衣服標價是200元，現(xiàn)打7折銷售。問：買這件衣服需要多少錢？若已知這件衣服的成本（進價）是115元，那么商家賣出這件衣賺了多少錢？利潤是多少？例2、 某商場售貨員同時賣出兩件上衣，每件都以135元售出，若按成本計算，其中一件贏利25%，另一件虧損25%，問這次售貨員是賠了還是賺了？7、行程問題。（行程問題可以采用畫示意圖的輔助手段來幫助理解題意，并注意兩者運動時出發(fā)的時間和地點）要掌握行程中的基本關系：路程速度×時間。相遇問題（相向而行），這類問題的相等關系是：甲走的路程+乙走的路程=全路程追及問題（同向而行），這類問題的等量關系是：同時不同地：甲的時間=乙的時間 甲走的路程

23、-乙走的路程=原來甲、乙相距的路程同地不同時；甲的時間=乙的時間-時間差 甲的路程=乙的路程解此類題的關鍵是抓住甲、乙兩物體的時間關系或所走的路程關系，一般情況下問題就能迎刃而解。并且還常常借助畫草圖來分析，理解行程問題。  例1. 甲、乙兩站相距480公里，一列慢車從甲站開出，每小時行90公里，一列快車從乙站開出，每小時行140公里。 （1）慢車先開出1小時，快車再開。兩車相向而行。問快車開出多少小時后兩車相遇？ （2）兩車同時開出，相背而行多少小時后兩車相距600公里？ （3）兩車同時開出，慢車在快車后面同向而行，多少小時后快車與慢車相距600公里？ （4）兩車同時開出同向而行，

24、快車在慢車的后面，多少小時后快車追上慢車？ （5）慢車開出1小時后兩車同向而行，快車在慢車后面，快車開出后多少小時追上慢車？ 此題關鍵是要理解清楚相向、相背、同向等的含義，弄清行駛過程。故可結合圖形分析。 （1）分析：相遇問題，畫圖表示為： 等量關系是：慢車走的路程+快車走的路程=480公里。解：設快車開出x小時后兩車相遇，由題意得，140x+90(x+1)=480 解這個方程，230x=390 x=1答：略.（2）分析：相背而行，畫圖表示為：等量關系是：兩車所走的路程和+480公里=600公里。 解：設x小時后兩車相距600公里，由題意得，(140+90)x+480=600解這個方程，230

25、x=120 x=答：略.（3）分析：等量關系為：快車所走路程慢車所走路程+480公里=600公里。 解：設x小時后兩車相距600公里，由題意得，(14090)x+480=600 50x=120 x=2.4 答：略. （4）分析：追及問題，畫圖表示為：等量關系為：快車的路程=慢車走的路程+480公里。 解：設x小時后快車追上慢車。 由題意得，140x=90x+480 解這個方程，50x=480 x=9.6答：略.（5）分析：追及問題，等量關系為：快車的路程=慢車走的路程+480公里。解：設快車開出x小時后追上慢車。由題意得，140x=90(x+1)+480 50x=570 解得， x=11.4

26、答：略. 環(huán)形跑道上的相遇和追及問題：同地反向而行的等量關系是兩人走的路程和=一圈的路程；同地同向而行的等量關系是兩人所走的路程差=一圈的路程。航行問題：順水（風）速度靜水（風）速度水流（風）速度 逆水（風）速度靜水（風）速度水流（風）速度例： 一艘船在兩個碼頭之間航行，水流速度是3千米每小時，順水航行需要2小時，逆水航行需要3小時，求兩碼頭的之間的距離？抓住兩碼頭間距離不變，水流速和船速（靜不速）不變的特點考慮相等關系1、A、B兩地相距150千米。一輛汽車以每小時50千米的速度從A地出發(fā)，另一輛汽車以每小時40千米的速度從B地出發(fā)，兩車同時出發(fā)，相向而行，問經過幾小時，兩車相距30

27、千米？2、甲、乙兩人練習100米賽跑，甲每秒跑7米，乙每秒跑6.5米，如果甲讓乙先跑1秒，那么甲經過幾秒可以追上乙？3、一架飛機飛行在兩個城市之間，順風要2小時45分，逆風要3小時，已知風速是20千米小時，則兩城市間的距離為多少？4、一列火車以每分鐘1千米的速度通過一座長400米的橋，用了半分鐘，則火車本身的長度為多少米？5、火車用26秒的時間通過一個長256米的隧道（即從車頭進入入口到車尾離開出口），這列火車又以16秒的時間通過了長96米的隧道，求列車的長度。8、銀行儲蓄問題。 顧客存入銀行的錢叫做本金，銀行付給顧客的酬金叫利息，本金和利息合稱本息和，存入銀行的時間叫做期數，利息與本金的比叫

28、做利率。利息的20%付利息稅 利息=本金×利率×期數 本息和=本金+利息 利息稅=利息×稅率（20%）利潤×100% 利息本金×利率×期數注意利率有日利率、月利率和年利率，年利率月利率×12日利率×365。本息和本金_本金_×_×_（1_×_）×本金（不考慮利息稅）本息和本金_本金_×_×_×（1_）（考慮利息稅）例9. 某同學把250元錢存入銀行，整存整取，存期為半年。半年后共得本息和252.7元，求銀行半年期的年利率是多少？（不計利息稅）分析：等量關系：本息和=本金