基本不等式及其應(yīng)用

1、基本不等式及其應(yīng)用1基本不等式(1)基本不等式成立的條件：a0，b0；(2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào)2幾個(gè)重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)； (2)2(a，b同號(hào))(3)ab2 (a，bR)； (4)2(a，bR)以上不等式等號(hào)成立的條件均為ab.3算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)(1)設(shè)a0，b0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為，幾何平均數(shù)為.(2)基本不等式可敘述為兩個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)；也可以敘述為兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)不小于它們正的等比中項(xiàng)4利用基本不等式求最值問(wèn)題已知x>0，y>0，則(1)若xys(和為定值)，則當(dāng)xy時(shí)，積xy取得最大值；(2)

2、若xyp(積為定值)，則當(dāng)xy時(shí)，和xy取得最小值2.選擇題：設(shè)x>0，y>0，且xy18，則xy的最大值為()A80 B77 C81 D82解析x>0，y>0，即xy()281，當(dāng)且僅當(dāng)xy9時(shí)，(xy)max81若正數(shù)x，y滿(mǎn)足4x29y23xy30，則xy的最大值是()A. B. C2 D.解析由x0，y0，得4x29y23xy2·(2x)·(3y)3xy(當(dāng)且僅當(dāng)2x3y時(shí)等號(hào)成立)，12xy3xy30，即xy2，xy的最大值為2若2x2y1，則xy的取值范圍是()A0,2 B2,0 C2，) D(，2解析22x2y1，2xy，即2xy22，

3、xy2若實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足xy>0，則的最大值為()A2 B2 C42 D42解析11142，當(dāng)且僅當(dāng)，即x22y2時(shí)取等號(hào)若函數(shù)x(x>2)在xa處取最小值，則a等于()A1 B1 C3 D4解析當(dāng)x>2時(shí)，x2>0，f(x)(x2)2224，當(dāng)且僅當(dāng)x2(x>2)，即x3時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)f(x)取得最小值時(shí)，x3，即a3已知x，y(0，)，2x3()y，若(m>0)的最小值為3，則m等于()A2 B2 C3 D4解析由2x3()y得xy3，(xy)()(1m)(1m2)，(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào))，(1m2)3，解得m4已知直線(xiàn)axbyc10(b，c>0)經(jīng)過(guò)

4、圓x2y22y50的圓心，則的最小值是()A9 B8 C4 D2解析圓x2y22y50化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得x2(y1)26，圓心為C(0,1)直線(xiàn)axbyc10經(jīng)過(guò)圓心C，a×0b×1c10，即bc1(bc)()5b，c>0，24，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立由此可得b2c，且bc1，即b，c時(shí)，取得最小值9已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an滿(mǎn)足a7a62a5，若存在兩項(xiàng)am，an使得4a1，則的最小值為()A. B. C. D.解析由各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an滿(mǎn)足a7a62a5，可得a1q6a1q52a1q4，q2q20，解得q2或q1(舍去)4a1，qmn216，2mn224，mn

5、6(mn)()(5)(52)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值等于在等差數(shù)列an中，an>0，且a1a2a1030，則a5a6的最大值是()A3 B6 C9 D36解析a1a2a1030，5(a1a10)30，即a1a10a5a66，a5a62，62，即a5a69，當(dāng)且僅當(dāng)a5a6時(shí)取等號(hào)，a5a6的最大值為9若實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足，則ab的最小值為()A. B2 C2 D4解析依題意知a0，b0，則2，當(dāng)且僅當(dāng)，即b2a時(shí)，“”成立，即ab2，ab的最小值為2已知a0，b0，a，b的等比中項(xiàng)是1，且mb，na，則mn的最小值是()A3 B4 C5 D6解析由題意知：ab1，mb2b，na2a，

6、mn2(ab)44若a，b都是正數(shù)，則·的最小值為()A7 B8 C9 D10解析a，b都是正數(shù)，5529，當(dāng)且僅當(dāng)b2a>0時(shí)取等號(hào)已知a>0，b>0，若不等式恒成立，則m的最大值為()A9 B12 C18 D24解析由，得m(a3b)()6又62612，m12，m的最大值為12已知a>0，b>0，ab，則的最小值為()A4 B2 C8 D16解析由a>0，b>0，ab，得ab1，則22.當(dāng)且僅當(dāng)，即a，b時(shí)等號(hào)成立已知a>0，b>0，ab2，則y的最小值是()A. B4 C. D5解析依題意，得()·(ab)5()(

7、52)，當(dāng)且僅當(dāng)即a，b時(shí)取等號(hào)，即的最小值是若log4(3a4b)log2，則ab的最小值是()A62 B72 C64 D74解析由題意得又log4(3a4b)log2，log4(3a4b)log4ab，3a4bab，故1.ab(ab)()77274，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)若正數(shù)a，b滿(mǎn)足1，則的最小值是()A1 B6 C9 D16解析正數(shù)a，b滿(mǎn)足1，b>0，解得a>1，同理可得b>1，9(a1)26，當(dāng)且僅當(dāng)9(a1)，即a時(shí)等號(hào)成立，最小值為6設(shè)lnx,0ab，若pf()，qf，r(f(a)f(b)，則下列關(guān)系式中正確的是()Aqrp Bqrp Cprq Dprq解析0ab

8、，又f(x)lnx在(0，)上為增函數(shù)，故ff()，即qp.又r(f(a)f(b)(lnalnb)lnalnbln(ab)f()p，故prq已知函數(shù)x(p為常數(shù)，且p>0)，若f(x)在(1，)上的最小值為4，則實(shí)數(shù)p的值為()A1 B2 C. D.解析由題意得x1>0，f(x)x1121，當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取等號(hào)，f(x)在(1，)上的最小值為4，214，解得p填空題：已知x，yR，且x4y1，則xy的最大值為_(kāi)解析1x4y24，xy()2，當(dāng)且僅當(dāng)x4y，即時(shí)，(xy)max已知實(shí)數(shù)m，n滿(mǎn)足m·n>0，mn1，則的最大值為_(kāi)解析m·n>0，mn1，

9、m<0，n<0，(mn)224，當(dāng)且僅當(dāng)mn時(shí)，取得最大值4已知x<，則4x2的最大值為_(kāi)解析x<，54x>0，則f(x)4x2(54x)3231.當(dāng)且僅當(dāng)54x，即x1時(shí)，等號(hào)成立故f(x)4x2的最大值為1函數(shù)y(x>1)的最小值為_(kāi)解析y(x1)222當(dāng)且僅當(dāng)(x1)，即x1時(shí)，等號(hào)成立函數(shù)y的最大值為_(kāi)解析令t0，則xt21，y當(dāng)t0，即x1時(shí)，y0；當(dāng)t>0，即x>1時(shí)，y，t24(當(dāng)且僅當(dāng)t2時(shí)取等號(hào))，y，即y的最大值為(當(dāng)t2，即x5時(shí)y取得最大值)若正數(shù)x，y滿(mǎn)足x3y5xy，則3x4y的最小值是_解析由x3y5xy可得1，3x

10、4y(3x4y)()5已知x>0，y>0，x3yxy9，則x3y的最小值為_(kāi)解析由已知得x，x>0，y>0，y<3，x3y3y(3y3)6266，當(dāng)且僅當(dāng)3y3，即y1，x3時(shí)，(x3y)min6已知函數(shù)(aR)，若對(duì)于任意xN，3恒成立，則a的取值范圍是_解析對(duì)任意xN，f(x)3恒成立，即3恒成立，即知a(x)3設(shè)g(x)x，xN，則g(2)6，g(3)g(2)>g(3)，g(x)min，(x)3，a，故a的取值范圍是，)已知x>0，y>0，且1，則xy的最小值是_解析x>0，y>0，xy(xy)()332(當(dāng)且僅當(dāng)yx時(shí)取等號(hào))

11、，當(dāng)x1，y2時(shí)，(xy)min32函數(shù)y12x(x<0)的最小值為_(kāi)解析x<0，y12x1(2x)()1212，當(dāng)且僅當(dāng)x時(shí)取等號(hào)，故y的最小值為12若關(guān)于x的方程9x(4a)3x40有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析分離變量得(4a)3x4，得a8設(shè)ab2，b>0，則取最小值時(shí)，a的值為_(kāi)解析ab2，21，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立又ab2，b>0，當(dāng)b2a，a2時(shí)，取得最小值若當(dāng)x>3時(shí)，不等式ax恒成立，則a的取值范圍是_解析設(shè)f(x)x(x3)3，x>3，所以x3>0，故f(x)2323，當(dāng)且僅當(dāng)x3時(shí)等號(hào)成立，a的取值范圍是(，23若對(duì)于任意x0，a

12、恒成立，則a的取值范圍是_解析，x0，x2(當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取等號(hào))，則，即的最大值為，故a.解答題：已知x>0，y>0，且2x5y20.(1)求ulgxlgy的最大值；(2)求的最小值解(1)x>0，y>0，由基本不等式，得2x5y2.2x5y20，220，xy10，當(dāng)且僅當(dāng)2x5y時(shí)，等號(hào)成立因此有解得此時(shí)xy有最大值10.ulgxlgylg(xy)lg101，當(dāng)x5，y2時(shí)，ulgxlgy有最大值1.(2)x>0，y>0，·，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立由解得的最小值為專(zhuān)項(xiàng)能力提升設(shè)x，y均為正實(shí)數(shù)，且1，則xy的最小值為()A4 B4 C9 D16解

13、析由1得xy8xy，x，y均為正實(shí)數(shù)，xy8xy82(當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)等號(hào)成立)，即xy280，解得4，即xy16，xy的最小值為16設(shè)正實(shí)數(shù)x，y，z滿(mǎn)足x23xy4y2z0，則當(dāng)取得最大值時(shí)，的最大值為()A0 B1 C. D3解析由已知得zx23xy4y2，(*)則1，當(dāng)且僅當(dāng)x2y時(shí)取等號(hào)，把x2y代入(*)式，得z2y2，211已知m>0，a1>a2>0，則使得|aix2|(i1,2)恒成立的x的取值范圍是()A0， B0， C0， D0，解析m2(當(dāng)且僅當(dāng)m1時(shí)等號(hào)成立)，要使不等式恒成立，則2|aix2|(i1,2)恒成立，即2aix22，0aix4，a1>

14、a2>0，即0x，使不等式恒成立的x的取值范圍是0，已知x，yR且滿(mǎn)足x22xy4y26，則zx24y2的取值范圍為_(kāi)解析2xy6(x24y2)，而2xy，6(x24y2)，x24y24(當(dāng)且僅當(dāng)x2y時(shí)取等號(hào))又(x2y)262xy0，即2xy6，zx24y262xy12(當(dāng)且僅當(dāng)x2y時(shí)取等號(hào))綜上可知4x24y212設(shè)a>0，b>0，若是3a與3b的等比中項(xiàng)，則的最小值為_(kāi)解析由題意知3a·3b3，即3ab3，ab1，a>0，b>0，(ab)2224，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立點(diǎn)(a，b)為第一象限內(nèi)的點(diǎn)，且在圓(x1)2(y1)28上，則ab的最大值為_(kāi)解析由題意知a>0，b>0，且(a1)