將軍飲馬問(wèn)題

1、將軍飲馬問(wèn)題將軍飲馬問(wèn)題看圖看圖思考：思考：為什么有的人會(huì)經(jīng)常踐踏草地呢為什么有的人會(huì)經(jīng)常踐踏草地呢？綠地里本沒(méi)有路，走的人多了綠地里本沒(méi)有路，走的人多了 禁止踐踏禁止踐踏兩點(diǎn)之間，線段最短兩點(diǎn)之間，線段最短將軍飲馬問(wèn)題：將軍飲馬問(wèn)題： 兩線段之和最短這個(gè)問(wèn)題早在古羅馬時(shí)代就有兩線段之和最短這個(gè)問(wèn)題早在古羅馬時(shí)代就有了，傳說(shuō)亞歷山大城有一位精通數(shù)學(xué)和物理的學(xué)者，了，傳說(shuō)亞歷山大城有一位精通數(shù)學(xué)和物理的學(xué)者，名叫海倫一天，一位羅馬將軍專程去拜訪他，向名叫海倫一天，一位羅馬將軍專程去拜訪他，向他請(qǐng)教一個(gè)百思不得其解的問(wèn)題：他請(qǐng)教一個(gè)百思不得其解的問(wèn)題： 將軍每天騎馬從城堡將軍每天騎馬從城堡A A出

2、發(fā)，到城堡出發(fā)，到城堡B B，途中，途中 馬要到小溪邊飲水一次。將軍問(wèn)怎樣走路程最短？馬要到小溪邊飲水一次。將軍問(wèn)怎樣走路程最短？ 這就是被稱為這就是被稱為將軍飲馬將軍飲馬而廣為流傳的問(wèn)題。而廣為流傳的問(wèn)題。P兩點(diǎn)之間線段最短兩點(diǎn)之間線段最短. 根據(jù)：根據(jù)：BA兩點(diǎn)在一條兩點(diǎn)在一條直線兩側(cè)直線兩側(cè)例例1.1.如圖：古希臘一位將軍騎馬從城堡A到城堡B，途中馬要到小溪邊飲水一次。問(wèn)將軍怎樣走路程最短？ 最短路線：最短路線：將軍飲馬：將軍飲馬：A -P- B.例例1 1變式變式1 1：已知美羊羊在：已知美羊羊在A A地玩耍，這時(shí)喜地玩耍，這時(shí)喜羊羊在小溪的對(duì)面羊羊在小溪的對(duì)面C C玩耍，并且玩耍，并

3、且ACAC兩地是關(guān)兩地是關(guān)于小溪的對(duì)稱點(diǎn)，它倆在小溪的任意一點(diǎn)于小溪的對(duì)稱點(diǎn)，它倆在小溪的任意一點(diǎn)E E處匯合，再一起回家的最短路線是什么？處匯合，再一起回家的最短路線是什么？ACBMN將軍飲馬：將軍飲馬： 例例2.2.如如圖：一位圖：一位將軍騎馬從將軍騎馬從城堡城堡A A到城堡到城堡B B， 途中途中馬要到河邊飲水一次馬要到河邊飲水一次， 問(wèn)：這位將軍怎樣走路程最短？問(wèn)：這位將軍怎樣走路程最短？ AB河河兩點(diǎn)在一條直線同側(cè)兩點(diǎn)在一條直線同側(cè)( (二二) )一次一次軸對(duì)稱軸對(duì)稱：BABC例例2作法作法：（1）作）作點(diǎn)點(diǎn)B關(guān)于關(guān)于直線直線 MN 的對(duì)稱點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn) B（2）連結(jié)連結(jié)BA，交，交MN

4、于點(diǎn)于點(diǎn) C； 點(diǎn)點(diǎn)C就是所求的點(diǎn)就是所求的點(diǎn)MN兩點(diǎn)在一條直線同側(cè)兩點(diǎn)在一條直線同側(cè)( (二二) )一次一次軸對(duì)稱軸對(duì)稱： BC+AC BC +AC ，即即AC+BC最小最小NABCBC 直線直線MN是點(diǎn)是點(diǎn)B、B的的對(duì)稱軸對(duì)稱軸， 點(diǎn)點(diǎn)C、C在在對(duì)稱軸上對(duì)稱軸上，BC=BC，BC=BC 在在MN 上任取另一點(diǎn)上任取另一點(diǎn)C，連結(jié)連結(jié)BC、BC、 AC 、 BC 例例2證明證明：在在AB C中中，AB AC+B C， BC+AC = BC+AC = BAMBC +AC = BC +AC 兩點(diǎn)在一條直線同側(cè)兩點(diǎn)在一條直線同側(cè)( (二二) )一次一次軸對(duì)稱軸對(duì)稱：練習(xí)：已知：P、Q是ABC的邊A

5、B、AC上的點(diǎn)，你能在BC上確定一點(diǎn)R，使PQR的周長(zhǎng)最短嗎？?jī)牲c(diǎn)在一條直線同側(cè)兩點(diǎn)在一條直線同側(cè)( (二二) )一次一次軸對(duì)稱軸對(duì)稱：RP草地草地河邊河邊.駐地駐地A例3.如圖：一位將軍騎馬從駐地A出發(fā)，先牽馬去草地OM吃草，再牽馬去河邊ON喝水， 最后回到駐地A，問(wèn)：這位將軍怎樣走路程最短？OMN( (三三) )二次軸對(duì)稱二次軸對(duì)稱：一點(diǎn)一點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部在兩相交直線內(nèi)部.AA.B.CA.MON例例3已知如圖已知如圖 和和 內(nèi)內(nèi)一點(diǎn)一點(diǎn) ,M O NM O NA(2)AAOMBONC連結(jié) 和 ，交于 ，交于 。,B C則點(diǎn)為所求。( (三三) )二次軸對(duì)稱二次軸對(duì)稱：一點(diǎn)一點(diǎn)在兩相交直線

6、內(nèi)部在兩相交直線內(nèi)部求作求作:OM上一點(diǎn)上一點(diǎn)B, ON上一點(diǎn)上一點(diǎn)C, 使使AB+BC+AC最小最小作法作法（1）作點(diǎn)）作點(diǎn)A關(guān)于關(guān)于OM、 ON的對(duì)稱點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)A、A”鞏固練習(xí)1.在平面直角坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)，要在y軸上找一點(diǎn)，使它到的A、B兩點(diǎn)距離之和最小，現(xiàn)有如下四種方案，其中正確的是（）D2.如圖，在等邊ABC中，邊BC的高AD=4，點(diǎn)P是高AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，E是邊AC的中點(diǎn)，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，存在PE+PC的最小值，則這個(gè)最小值是（） A4 B5 C6 D8A3如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，BCE是等邊三角形，點(diǎn)E在正方形內(nèi)，在對(duì)角線AC上有一點(diǎn)P，使PD+PE的和最小，則這個(gè)最小

7、值為（） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10c例例3 3變式變式1 1：已知：已知P P是是ABCABC的邊的邊BCBC上的點(diǎn)上的點(diǎn)， 你能在你能在ABAB、ACAC上分別上分別確定一點(diǎn)確定一點(diǎn)Q Q和和R R， 使使PQRPQR的周長(zhǎng)最的周長(zhǎng)最短嗎？短嗎？( (三三) )二次軸對(duì)稱二次軸對(duì)稱：一點(diǎn)一點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部在兩相交直線內(nèi)部4.如圖，一個(gè)旅游船從大橋AB的P處前往山腳下的Q處接游客，然后將游客送往河岸BC上，再返回P處，請(qǐng)畫出旅游船的最短路徑PQCBQPQDP為最短路徑DQD例4：如圖，A為馬廄，B為帳篷，將軍某一天要從馬廄牽出馬，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到帳

8、篷，請(qǐng)你幫助確定這一天的最短路線。（四）二次軸對(duì)稱（四）二次軸對(duì)稱： 兩兩點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部例例4 4答案：如圖答案：如圖,A,A是馬廄是馬廄,B,B為帳篷為帳篷, ,牧馬人某一天要從牧馬人某一天要從馬廄牽出馬馬廄牽出馬, ,先到草地邊某一處牧馬先到草地邊某一處牧馬, ,再到河邊飲馬再到河邊飲馬, ,然后回到帳篷然后回到帳篷. .請(qǐng)你幫他確定這一天的最短路線請(qǐng)你幫他確定這一天的最短路線. .ABABCD（四）二次軸對(duì)稱（四）二次軸對(duì)稱： 兩兩點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部.B. .C.DAB.AONM（四）二次軸對(duì)稱（四）二次軸對(duì)稱： 兩兩點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部點(diǎn)在兩相交直

9、線內(nèi)部例例4 4變式變式1 1：已知：已知： MONMON和和 MONMON內(nèi)兩點(diǎn)內(nèi)兩點(diǎn)A A、B B。 求作：點(diǎn)求作：點(diǎn)C C和點(diǎn)和點(diǎn)D,D,使得點(diǎn)使得點(diǎn)C C在在OMOM上，上， 點(diǎn)點(diǎn)D D在在ONON上，且上，且AC+CD+BD+ABAC+CD+BD+AB最短。最短。例例4變式變式2：如圖，如圖，OMCN是矩形的臺(tái)球桌面，有是矩形的臺(tái)球桌面，有黑、白兩球分別位于黑、白兩球分別位于B、A兩點(diǎn)的位置上，兩點(diǎn)的位置上，試問(wèn)怎樣撞擊白球，使白球試問(wèn)怎樣撞擊白球，使白球A依次碰撞球臺(tái)邊依次碰撞球臺(tái)邊OM、ON后，反彈擊中黑球？后，反彈擊中黑球？（四）二次軸對(duì)稱（四）二次軸對(duì)稱： 兩兩點(diǎn)在兩相交直線

10、內(nèi)部點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部.,.AOMABONB作法:(1)作點(diǎn) 關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn) 關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)(2)ABOMCOND連結(jié) 和 ，交于 ，交于 。則點(diǎn)C、D為所求。.AABBCDMON例4變式2：（四）二次軸對(duì)稱（四）二次軸對(duì)稱： 兩兩點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部（2）把）把A，B在直線同側(cè)的問(wèn)題在直線同側(cè)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為 在在直線的兩側(cè)直線的兩側(cè)，化折線為直線，化折線為直線， 將軍飲馬的實(shí)質(zhì)：將軍飲馬的實(shí)質(zhì)：（3）可利用）可利用“兩點(diǎn)之間線段最短兩點(diǎn)之間線段最短” 加以解決。加以解決。（1）求最短路線問(wèn)題）求最短路線問(wèn)題- 通過(guò)幾何變換找對(duì)稱圖形。通過(guò)幾何變換找對(duì)稱圖形。能力提高能力提高

11、5a1a4221.aaa的值.1.1.已知已知，求求 2.2.已知已知2222250,.32xzxyzyxyyzzx求的值22213.310,aaaa 已知：求的值。4 4. .已已知關(guān)于知關(guān)于x x的方程的方程x x2 2-2(k-1)x+k-2(k-1)x+k2 2=0=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根根x x1 1,x,x2 2. .(1)(1)求求k k的取值范圍的取值范圍. .(2)(2)若若|x|x1 1+x+x2 2|=x|=x1 1x x2 2-1,-1,求求k k的值的值. .解解: :( (1)1)依題意：依題意：b b2 2-4ac=4(k-1)-4ac=4(k-1)2 2-4k-4k2 20,0,解得：解得：k .k .(2)(2)依題意：依題意：|2(k-1)|=k|2(k-1)|=k2 2-1,-1,故有：故有：2(k-1)=k2(k-