《解一元二次方程——配方法

1、解一元二次方程 配方法 (第一課時) 教學設計及說明一、本課數學內容的本質、地位、作用分析1. 本課數學內容的本質配方法是從平方的定義求解一元二次方程的一種方法， 是推導一元二次方程公式解的必要條件 .2. 教材的地位和作用配方法是以配方為手段、以平方根定義為依據解一元二次方程的一種基本方法，其中所涉及的完全平方式、 求一個非負數的平方根以及解一元一次方程等都是學生已有的知識與技能，為本節(jié)課的學習奠定了知識技能方面的基礎.學生在七年級已經較好地掌握了一元一次方程的基本解法， 初步了解到解方程的過程就是一個溝通“未知”與“已知”的過程，本節(jié)在此基礎上，經歷探索解方程的過程中，通過復雜問題向簡單問

2、題、特殊向一般的轉化，使學生進一步會轉化、 歸納等數學思想，總結配方法的基本思路. 一元二次方程的解法在初等數學領域有著十分廣泛的應用 , 它與二次函數( 九年級 ) 、二次不等式( 高中 ) 有著密切的聯(lián)系，是進一步完善方程體系的有效載體.二、教學目標分析1 . 知識技能(1)能正確運用平方根的定義解形如x2=n (n>0)與(mx+ n) 2=p (pR0)的一元二次方程；(2) 能正確書寫一元二次方程的根；(3) 能指出轉化后的兩個一元二次方程. 會用配方法求出二次項系數為 1 、一次項系數為偶數 ( 絕對值小于 10) 的一元二次方程的根2 . 數學思考在根據平方根的定義解形如x

3、2=n (n>0)的方程的過程中，能運用“整體性”將此方法遷移到解形如(mx+ n) 2=p (p>0)的方程.3 .解決問題在學習的過程， 體會配方法的運用， 并能求解形如 a( ex+f) 2+c=0 型的一元二次方程，進一步發(fā)展符號感，提高代數運算能力 .4 .情感態(tài)度在探索活動中體驗探究的樂趣，克服數學活動中的困難，促進形成學好數學的自信心，體會與他人作交流的優(yōu)點。解一元二次方程一一配方法(第一課時)教學設計教學目標1 .知識技能(1)能正確運用平方根的定義解形如x2=n (n>0)與(mx+ n) 2=p (p>0)的一元二次方程；(2)能正確書寫一元二次方程

4、的根；(3)能指出轉化后的兩個一元二次方程.會用配方法求出二次項系數為1、一次項系數為偶數(絕對值小于10)的一元二次方程的根.2 .數學思考在根據平方根的定義解形如x2=n (n>0)的方程的過程中，能運用“整體性”將此方法遷移到解形如(mx+ n) 2=p (p>0)的方程.3 .解決問題在學習的過程，體會配方法的運用， 并能求解形如a (ex+f) 2+c=0型的一元二次方程，進一步發(fā)展符號感，提高代數運算能力.4 .情感態(tài)度體驗探究的樂趣，克服數學活動中的困難，促進形成學好數學的自信心，體會與他人 作交流的優(yōu)點。重難點、關鍵重點：根據平方根的定義理解并能求解形如x2=n (

5、n>0、m x+ n) 2=p (p>0)的方程.難點：解形如x2+ax+c=0(|a|w 10,且a為偶數)的方程.關鍵：將一元二次方程轉化成兩個一元一次方程.教學過程一、問題情境，導入新課南方某地區(qū)因連降暴雨，山體滑坡導致一條河流形成堰塞湖，為排除險情需要開鑿400米長的泄洪渠，已知泄洪渠的截面為梯形下底是上底的3倍，高和上底長度相等，預計需挖土石方總量約為15000立方米求所挖泄洪渠的上底長度是多少米？解：設所挖泄洪渠的上底長度是x米，根據題意得400x(x 2x)15000. 2師：這個方程是我們上節(jié)遇到的一元二次方程，如何解為類型的方程是本節(jié)課我們共同學習的目標.上述方程

6、可化x2 =25.這個方程的解是什么？你會求解嗎？生：x=±5.師：你的依據是什么?生：我們在八年級學過平方根，用這一定義可得到x= ± 5.師：我們今后將寫作：xi=5, x2=- 5.生：X2= 5不合題意，應舍去.因此所挖泄洪渠的上底長度是5米.師：很好！這位同學的數學思維很深刻！二、基于問題，探索方法妨照上述解方程的方法，你能解下列方程嗎？(2x-1) 2=9.(學生嘗試)解：2x-1 = ± 3.2x 1=3 或 2x 1=3.所以，方程的兩根為x1=2, , x2= - 1.師：具有什么結構牲的一元二次方程能用上述方法去解呢？你能舉出這樣的例子嗎？生：

7、舉例：x2=49; x2=12; (x+1)2=4; (3x-2)2=5 等.師：請同學求解上述方程的根，要求每人至少解兩個方程，之后與同伴相互交流你的方法.歸納(學生)：在解上述方程時，我們把原來的方程轉化成兩個一元一次方程歸納(師)：如果方程能化成 x2p或(mx n)2 p( p 0)的形式，那么直接開平方可得 x . p 或 mx n . p .練習1(1)方程x2=0.25的根是;(2)方程2x2=18的根是;(3)方程(x+1)2=1的根是.例1用開平方法解方程9x2=4.師分析，示范完成解答.解：兩邊同除以9,得 x2=-.9，2利用開平方法，得 x=-.3，口22所以，原方程的

8、根是x1 一 ,x2-.33例2用開平方法解方程3x2= 4.24解：兩邊同除以3,得 x2 一3因為負數沒有平方根，所以原方程沒有實數根探究一：對于方程x2+6x+9=25x2+6x=16你會解嗎？請解答并說說你的理由x2+6x+9=25 .2x +6x=16.觀察比較2x +6x+9=16+9.(x+3)2=25.(x+3) 2=25.探究二：如果換成方程x2+6x16=0你會解嗎?(x x2 x口x12, x28師：在學生討論方程 x2+6x=16的解法時，注意引導學生根據降次的思想，利用配方的方法解決問題，進而體會配方法解方程的一般步驟.叫做配方法；配方的目的是歸納：通過配成完全平方式

9、的形式解一元二次方程的方法,為了降次，把一元二次方程轉化為兩個一元一次方程練習2完成下列填空空題：(1)x2 10x (x)2; (2)x2 x (x )2222(3)x2 -x (x)23問：利用配方法解下列方程，你能從中得到在配方時具有的規(guī)律嗎？（1） x2 8x + 1 = 0 ;（板書）22（2） 2x 1 3x；（3）3x 6x4 0生：先獨立思考，自主探索，然后交流配方時發(fā)現的規(guī)律.分析交流：（1）中經過移項可以化為 x2 8x1 ,為了使方程的左邊變?yōu)橥耆椒绞?可以在方程兩邊同時加上42,得到x2 8x 421 42 ,從而將原方程化為（x 4）2=15；2,然后再（2）中二次

10、項系數不是 1,此時可以首先把方程的兩邊同時除以二次項系數3 c3 c（-3）2 ,方程可以化為（x ：）211631進仃配萬，即x - x一，萬程兩邊都加上22（3）按照（2）的方式進行處理.解：（1）移項，得配方，得x 2- 8x= -1.22x - 8x+4 = -1+4 .(x-4) 2 = 15.即：x- 4 =- 15所以，方程的根為:4,x2.15 4（2）移項， 得2x2 .3x二次項系數化為1,得配方得y2x(;)2g x2(4)2由此可得（x3即：x43 )24 .14116所以,x112（3）移項，得3x2- 6x= -4.二次項系數化為1,得y2 x2x配方，得x2 2

11、x即:所以，原方程無實根.(x 1)231313師：在學生解決問題的過程中,適時讓學生討論解決遇到的問題（比如遇到二次項系數不是1的情況該如何處理），然后讓學生分析利用配方法解方程時應該遵循的步驟: 2(1)把方程化為一般形式 ax bx c 0 ；(2)把方程的常數項通過移項移到方程的右邊；(3)方程兩邊同時除以二次項系數a；(4)方程兩邊同時加上一次項系數一半的平方；(5)此時方程的左邊是一個完全平方式，然后利用平方根的定義把一元二次方程化為 兩個一元一次方程來解.練習3-22_22(1)x10x (x ) ;(2) x x (x )222(3)x2-x (x)2.3三、小結提升問：本節(jié)課你在哪些方面有了新的提高，受到什么啟發(fā)？生(師完善)：1. 一般地，對于x2=p或(mxm)2=p(p>0)的方程，根據平方根的定義，用 開平方法取求解.2.如果一個一元二次方程不能直接開平方解，可把方程化為左邊是含有 x的完全平方形式，右邊是非負數，再開平方降次的方法去求解注意：配方時，首先把二次項系數化為1 ,再在等式兩邊同時加上一次項系數一半的平方.教師引導學生歸納小結，學生反思學習和解決問