連續(xù)函數(shù)及其性質(zhì)

1、48-148-248-348-448-548-648-7例2.0, 0, 2, 0, 2)(連續(xù)性連續(xù)性處的處的在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf解)2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f )2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f 右連續(xù)但不左連續(xù)右連續(xù)但不左連續(xù) ,.0)(處不連續(xù)處不連續(xù)在點在點故函數(shù)故函數(shù) xxf48-948-10例例2.6.7.),(sin內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在區(qū)區(qū)間間函函數(shù)數(shù)證證明明 xy證),( x任取任取xxxysin)sin( )2cos(2sin2xxx , 1)2cos( xx.2sin2xy 則則,0,時時當(dāng)當(dāng)對任意的對任意的 ,sin

2、 有有,2sin2xxy 故故. 0,0 yx時時當(dāng)當(dāng).),(sin都是連續(xù)的都是連續(xù)的對任意對任意函數(shù)函數(shù)即即 xxy00limsinsin;xxxx00lim coscos;xxxx48-1248-1348-141.跳躍間斷點.的跳躍間斷點為函數(shù)則稱點但存在,右極限都處左,在點如果 )(),0()0()(0000 xfxxfxfxxf 例4.0, 0,1, 0,)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf解, 0)00( f, 1)00( f),00()00( ff.0為函數(shù)的跳躍間斷點為函數(shù)的跳躍間斷點 xoxy2.可去間斷點可去間斷點.)()(),()(lim,)(00

3、000的可去間斷點的可去間斷點為函數(shù)為函數(shù)義則稱點義則稱點處無定處無定在點在點或或但但處的極限存在處的極限存在在點在點如果如果xfxxxfxfAxfxxfxx 例例2.6.7.1, 1,11, 10, 1,2)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxxfoxy112xy 1xy2 ),1(f 解, 1)1( f, 2)01( f, 2)01( f2)(lim1 xfx.0為函數(shù)的可去間斷點 x注意注意 可去間斷點只要改變或者補充間斷處函可去間斷點只要改變或者補充間斷處函數(shù)的定義數(shù)的定義, 則可使其變?yōu)檫B續(xù)點則可使其變?yōu)檫B續(xù)點.如上例中如上例中, 2)1( f令令.1, 1,1,

4、 10,2)(處連續(xù)處連續(xù)在在則則 xxxxxxf特點跳躍間斷點與可去間斷點統(tǒng)稱為第一類間斷點.0處處的的左左、右右極極限限都都存存在在函函數(shù)數(shù)在在點點 xoxy112例6.0, 0, 0,1)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxfoxy解, 0)00( f,)00( f.1為函數(shù)的第二類間斷點為函數(shù)的第二類間斷點 x.斷點斷點這種情況稱為無窮間這種情況稱為無窮間3.無窮間斷點：無窮間斷點：如果如果 在點在點 處左、右極限處左、右極限)(xf0 x至少有一個為無窮大，則稱點至少有一個為無窮大，則稱點 為函數(shù)為函數(shù) 的的無無0 x窮間斷點窮間斷點.)(xf4 4、振蕩間斷點：

5、如果、振蕩間斷點：如果 在點在點 處處無極限且函數(shù)值在某兩個最值間變動無極限且函數(shù)值在某兩個最值間變動無限多次，則稱無限多次，則稱 為函數(shù)為函數(shù) 的振的振蕩間斷點蕩間斷點. .)(xf0 x0 x)(xfxy1sin ,0處沒有定義處沒有定義在在 x.1sinlim0不存在不存在且且xx.0為第二類間斷點為第二類間斷點 x.斷點斷點這種情況稱為的振蕩間這種情況稱為的振蕩間.01sin)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxf例例2.6.8o1x2x3xyx xfy 在定義域在定義域 R內(nèi)每一點處都間斷內(nèi)每一點處都間斷, 但其絕對值處但其絕對值處處連續(xù)處連續(xù).判斷下列間斷點類型判斷下

6、列間斷點類型: , 1, 1)(是無理數(shù)時是無理數(shù)時當(dāng)當(dāng)是有理數(shù)時是有理數(shù)時當(dāng)當(dāng)xxxf函數(shù)函數(shù)例例2.6.9.0, 0, 0,cos)(,處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù)取何值時取何值時當(dāng)當(dāng) xxxaxxxfa解xxfxxcoslim)(lim00 , 1 )(lim)(lim00 xaxfxx , a ,)0(af ),0()00()00(fff 要使要使,1時時故當(dāng)且僅當(dāng)故當(dāng)且僅當(dāng) a.0)(處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù) xxf, 1 a例例2.6.10函數(shù)函數(shù) 在點在點 是否間斷是否間斷? ?屬于那種類型屬于那種類型? ?能否補充或改變函數(shù)在該能否補充或改變函數(shù)在該點定義使之連續(xù)點定義使之連續(xù)?

7、?解 函數(shù)函數(shù) 在點在點 沒有定義沒有定義, ,所以所以 是函數(shù)的間斷點是函數(shù)的間斷點. .對于對于 , .xxysin kx , 2, 1, 0( k)xxysin kx , 2, 1, 0( k)kx 0 k0 x因為因為 ,所以所以 是第一類間斷點是第一類間斷點 .令令 ,即可使函數(shù)在即可使函數(shù)在 處連續(xù)處連續(xù).對于對于 ,因為因為 ,所以所以 是第二類是第二類間斷點且為無窮間斷點間斷點且為無窮間斷點 . 1sinlim0 xxx0 x1)0( f0 x0 k xxxsinlim0)0( kkx 48-2648-2720,1,lim1,1,1.nnxxxx48-281,11,( )1,1

8、,0,11.xxf xxxx 或48-2948-3048-31定理定理2.6.4).(lim)()(lim,)(,)(lim000 xfafxfaufaxxxxxxx 則有則有連續(xù)連續(xù)在點在點函數(shù)函數(shù)若若證證,)(連續(xù)連續(xù)在點在點auuf .)()(, 0, 0成立成立恒有恒有時時使當(dāng)使當(dāng) afufau,)(lim0axxx 又又,0, 0, 00時時使當(dāng)使當(dāng)對于對于 xx.)(成立成立恒有恒有 auax將上兩步合起來將上兩步合起來:,0, 0, 00時時使當(dāng)使當(dāng) xx)()()()(afxfafuf .成立成立 )()(lim0afxfxx ).(lim0 xxx 意義意義1.極限符號可以與

9、函數(shù)符號互換極限符號可以與函數(shù)符號互換;.)(. 2的的理理論論依依據(jù)據(jù)變變量量代代換換xu 例例1 1.)1ln(lim0 xxx 求求. 1 xxx10)1ln(lim 原式原式)1(limln10 xxx eln 解解例例2 2.1lim0 xexx 求求. 1 )1ln(lim0yyy 原式原式解解,1yex 令令),1ln(yx 則則. 0,0yx時時當(dāng)當(dāng)yyy10)1ln(1lim 同理可得同理可得.ln1lim0axaxx .)(,)(,)(,)(00000也連續(xù)也連續(xù)在點在點則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)連續(xù)連續(xù)在點在點而函數(shù)而函數(shù)且且連續(xù)連續(xù)在點在點設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xxxfyuuufyux

10、xxxu 定理定理2.6.5例如例如,), 0()0,(1內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在 xu,),(sin內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在 uy.), 0()0,(1sin內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在 xy48-37三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的連續(xù)的.)1, 0( aaayx指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù);),(內(nèi)單調(diào)且連續(xù)內(nèi)單調(diào)且連續(xù)在在)1, 0(log aaxya對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù);), 0(內(nèi)單調(diào)且連續(xù)內(nèi)單調(diào)且連續(xù)在在定理定理5 5 基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的. . xy xaalog ,uay .log xua ,), 0(內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在 ,不同值不

11、同值討論討論 (均在其定義域內(nèi)連續(xù)均在其定義域內(nèi)連續(xù) )定理定理6 6 一切初等函數(shù)在其一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間定義區(qū)間內(nèi)都是連內(nèi)都是連續(xù)的續(xù)的. .定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間. .1. 初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù), 在在其定義域內(nèi)不一定連續(xù)其定義域內(nèi)不一定連續(xù);例如例如, 1cos xy,4,2, 0: xD這些孤立點的鄰域內(nèi)沒有定義這些孤立點的鄰域內(nèi)沒有定義.,)1(32 xxy, 1, 0: xxD及及在在0點的鄰域內(nèi)沒有定義點的鄰域內(nèi)沒有定義.), 1上連續(xù)上連續(xù)函數(shù)在區(qū)間函數(shù)在區(qū)間注意注意注意注意2. 初等函數(shù)求極限

12、的方法初等函數(shù)求極限的方法代入法代入法.例例3 3. 1sinlim1 xxe求求1sin1 e原式原式. 1sin e例例4 4.11lim20 xxx 求求解解解解)11()11)(11(lim2220 xxxxx原式原式11lim20 xxx20 . 0 )()()(lim000定義區(qū)間定義區(qū)間 xxfxfxx小結(jié)連續(xù)函數(shù)的和差積商的連續(xù)性連續(xù)函數(shù)的和差積商的連續(xù)性.復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性.初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性.定義區(qū)間與定義域的區(qū)別定義區(qū)間與定義域的區(qū)別;求極限的又一種方法求極限的又一種方法.兩個定理兩個定理; 兩點意義兩點意義.反函數(shù)的連續(xù)性反函數(shù)的連續(xù)性.思考

13、題思考題 設(shè)設(shè)xxfsgn)( ，21)(xxg ，試試研研究究復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù))(xgf與與)(xfg的的連連續(xù)續(xù)性性.思考題解答思考題解答21)(xxg )1sgn()(2xxgf 1 2sgn1)(xxfg 0, 10, 2xx在在),( 上上處處處處連連續(xù)續(xù))(xgf在在)0 ,( ), 0( 上上處處處處連連續(xù)續(xù))(xfg0 x是它的可去間斷點是它的可去間斷點 0, 10, 00, 1)(xxxxf等價無窮小替換定理(等價無窮小替換定理).limlim,lim, 則則存在存在且且設(shè)設(shè)證 lim)lim( limlimlim.lim 48-46例例2.6.16.cos12tanlim2

14、0 xxx 求求解.22tan,21cos1,02xxxxx 時時當(dāng)當(dāng)22021)2(limxxx 原式原式. 8 不能濫用等價無窮小代換不能濫用等價無窮小代換.對于代數(shù)和中各無窮小不能分別替換對于代數(shù)和中各無窮小不能分別替換. .注意注意例例2.6.17.2sinsintanlim30 xxxx 求求解,0時時當(dāng)當(dāng) x)cos1(tansintanxxxx ,213x,22sinxx330)2(21limxxx 原式原式.161 解.sin,tan,0 xxxxx時時當(dāng)當(dāng) 30)2(limxxxx 原式原式. 0 錯 0()0型48-49()型(0)型48-50小結(jié)小結(jié)1.函數(shù)在一點連續(xù)必須

15、滿足的三個條件函數(shù)在一點連續(xù)必須滿足的三個條件;3.間斷點的分類與判別間斷點的分類與判別;2.區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)區(qū)間上的連續(xù)函數(shù);第一類間斷點第一類間斷點:可去型可去型,跳躍型跳躍型.第二類間斷點第二類間斷點:無窮型無窮型,振蕩型振蕩型.間斷點間斷點(見下圖見下圖)可去型可去型第一類間斷點第一類間斷點oyx跳躍型跳躍型無窮型無窮型振蕩型振蕩型第二類間斷點第二類間斷點oyx0 xoyx0 xoyx0 x思考題思考題 若若)(xf在在0 x連連續(xù)續(xù)，則則| )(|xf、)(2xf在在0 x是是否否連連續(xù)續(xù)？又又若若| )(|xf、)(2xf在在0 x連連續(xù)續(xù)，)(xf在在0 x是是否否連連續(xù)續(xù)？思考

16、題解答思考題解答)(xf在在0 x連續(xù)，連續(xù)，)()(lim00 xfxfxx )()()()(000 xfxfxfxf 且且)()(lim00 xfxfxx )(lim)(lim)(lim0002xfxfxfxxxxxx)(02xf 故故| )(|xf、)(2xf在在0 x都連續(xù)都連續(xù).但反之不成立但反之不成立.例例 0, 10, 1)(xxxf在在00 x不不連連續(xù)續(xù)但但| )(|xf、)(2xf在在00 x連連續(xù)續(xù)48-5648-5748-5848-5948-6048-61( )f bbxoya)(xfy ( )f a48-6248-6348-6448-6548-6648-67例例2.6

17、.262.6.26.)(),(.)(,)(,)( fbabbfaafbaxf使得使得證明證明且且上連續(xù)上連續(xù)在區(qū)間在區(qū)間設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)證證,)()(xxfxF 令令,)(上連續(xù)上連續(xù)在在則則baxFaafaF )()(而而, 0 由零點定理由零點定理,使使),(ba , 0)()( fFbbfbF )()(, 0 .)( f即即小結(jié)四個定理四個定理有界性定理有界性定理;最值定理最值定理;介值定理介值定理;根的存在性定理根的存在性定理.注意注意1閉區(qū)間；閉區(qū)間； 2連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)這兩點不滿足上述定理不一定成立這兩點不滿足上述定理不一定成立解題思路解題思路1.1.直接法直接法:先利用最值定理先利用最值定理,再利用介值定理再利用介值定理;2.2.輔助函數(shù)法輔助函數(shù)法: :先作輔助函數(shù)先作輔助函數(shù)F(x),再利用零點定理再利用零點定理;思考題思考題下述命題是否正確？下述命題是否正確？ 如如果果)(xf在在,ba上上有有定定義義，在在),(ba內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)，且且0)()( bfaf，那那么么)(xf在在),(ba內(nèi)內(nèi)必必有有零零點點.思考題解答思考題解答不正確不正確.例函數(shù)例函數(shù) 0, 210,)(xxexf)(xf在在)1 , 0(內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù),. 02)1()0(