大學(xué)物理(第四版)課后習(xí)題及答案 機(jī)械振動(dòng)

1、13 機(jī)械振動(dòng)解答13-1 有一彈簧振子，振幅A=2.0×10-2m，周期T=1.0s，初相j=3/4。試寫出它的運(yùn)動(dòng)方程，并做出x-t圖、v-t圖和a-t圖。13-1分析 彈簧振子的振動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。振幅A、初相、角頻率是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程的三個(gè)特征量。求運(yùn)動(dòng)方程就要設(shè)法確定這三個(gè)物理量。題中除A、已知外，可通過(guò)關(guān)系式確定。振子運(yùn)動(dòng)的速度和加速度的計(jì)算仍與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)中的計(jì)算方法相同。 解 因，則運(yùn)動(dòng)方程根據(jù)題中給出的數(shù)據(jù)得振子的速度和加速度分別為x-t、v-t及a-t圖如圖13-l所示13-2 若簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程為，求：（1）振幅、頻率、角頻率、周期和初相；（2）t=2s 時(shí)的位移、速度和加速

2、度。13-2分析 可采用比較法求解。 將已知的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程與簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程的一般形式作比較，即可求得各特征量。 運(yùn)用與上題相同的處理方法，寫出位移、速度、加速度的表達(dá)式，代入t值后，即可求得結(jié)果。 解 （l）將與比較后可得：振幅A= 0.10 m，角頻率，初相，則周期 ，頻率。 （2）t= 2s時(shí)的位移、速度、加速度分別為13-3 設(shè)地球是一個(gè)半徑為R的均勻球體，密度5.5×103kgm-3?，F(xiàn)假定沿直徑鑿一條隧道。若有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在此隧道內(nèi)做無(wú)摩擦運(yùn)動(dòng)。（1）證明此質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)；（2）計(jì)算其周期。13-3分析 證明方法與上題相似。 分析質(zhì)點(diǎn)在隧道內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)的受力特征即可。

3、證（l）取圖13-3所示坐標(biāo)。 當(dāng)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)位于x處時(shí)，它受地球的引力為式中G為引力常量，mx是以x為半徑的球體質(zhì)量，即。令，則質(zhì)點(diǎn)受力因此，質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。 （2）質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的周期為13-4 如圖所示，兩個(gè)輕彈簧的勁度系數(shù)分別為k1和k2，物體在光滑斜面上振動(dòng)。（1）證明其運(yùn)動(dòng)仍是簡(jiǎn)諧振動(dòng)；（2）求系統(tǒng)的振動(dòng)頻率。13-4分析 從上兩題的求解知道，要證明一個(gè)系統(tǒng)作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，首先要分析受力情況，然后看是否滿足簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的受力特征（或簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)微分方程）。 為此，建立如圖13-4（b）所示的坐標(biāo)。 設(shè)系統(tǒng)平衡時(shí)物體所在位置為坐標(biāo)原點(diǎn)O，Ox軸正向沿斜面向下，由受力分析可知，沿Ox軸，物體受彈性力及

4、重力分力的作用，其中彈性力是變力。 利用串聯(lián)時(shí)各彈簧受力相等，分析物體在任一位置時(shí)受力與位移的關(guān)系，即可證得物體作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，并可求出頻率。 證 設(shè)物體平衡時(shí)兩彈簧伸長(zhǎng)分別為x1、x2，則由物體受力平衡，有按圖（b）所取坐標(biāo)，物體沿x軸移動(dòng)位移x時(shí)，兩彈簧又分別被拉伸和，即。 則物體受力為將式（1）代人式（2）得由式（3）得，而，則得到式中為常數(shù)，則物體作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，振動(dòng)頻率討論（1）由本題的求證可知，斜面傾角對(duì)彈簧是否作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)以及振動(dòng)的頻率均不產(chǎn)生影響。 事實(shí)上，無(wú)論彈簧水平放置、斜置還是豎直懸掛，物體均作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。 而且可以證明它們的頻率相同，均由彈簧振子的固有性質(zhì)決定，這就是稱為固有頻率的

5、原因。 （2）如果振動(dòng)系統(tǒng)如圖13-4（c）（彈簧并聯(lián)）或如圖13-4（d）所示，也可通過(guò)物體在某一位置的受力分析得出其作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，且振動(dòng)頻率均為讀者可以一試。 通過(guò)這些例子可以知道，證明物體是否作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的思路是相同的13-5 為了測(cè)得一物體得質(zhì)量m，將其掛在一彈簧上讓其自由振動(dòng)，測(cè)得振動(dòng)頻率。而將另一質(zhì)量的物體單獨(dú)掛在該彈簧上時(shí)，測(cè)得振動(dòng)頻率。設(shè)振動(dòng)均在彈簧的彈性限度內(nèi)進(jìn)行，求被測(cè)物體的質(zhì)量。13-5分析 物體掛在彈簧上組成彈簧振子系統(tǒng)，其振動(dòng)頻率，即。采用比較頻率的方法可求出未知物體的質(zhì)量。 解 由分析可知，則有。 根據(jù)題中繪出的數(shù)據(jù)可得物體的質(zhì)量為13-6 在如圖所示的裝置中，一勁度系

6、數(shù)為k的彈簧，一端固定在墻上，另一端連接一質(zhì)量為m1的物體A，置于光滑水平桌面上。現(xiàn)通過(guò)一質(zhì)量為m、半徑為R的定滑輪B（可視為勻質(zhì)圓盤）用細(xì)繩連接另一質(zhì)量為m2的物體C，設(shè)細(xì)繩不可伸長(zhǎng)，且與滑輪間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，求系統(tǒng)的振動(dòng)角頻率。13-6分析 這是一個(gè)由彈簧、物體A、C和滑輪B組成的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)。 求解系統(tǒng)的振動(dòng)頻率可采用兩種方法。 （1）從受力分析著手。 如圖13-6（b）所示，設(shè)系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)時(shí)，與物體A相連的彈簧一端所在位置為坐標(biāo)原點(diǎn)O，此時(shí)彈簧已伸長(zhǎng)x0，且。 當(dāng)彈簧沿Ox軸正向從原點(diǎn)O伸長(zhǎng)x時(shí)，分析物體A、C及滑輪B的受力情況，并分別列出它們的動(dòng)力學(xué)方程，可解得系統(tǒng)作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的微分方

7、程。 （2）從系統(tǒng)機(jī)械能守恒著手。 列出系統(tǒng)機(jī)械能守恒方程，然后求得系統(tǒng)作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的微分方程。 解1 在圖13-6（b）的狀態(tài)下，各物體受力如圖13-6（c）所示。 其中。 考慮到繩子不可伸長(zhǎng)，對(duì)物體A、B、C分別列方程，有(1) (2)(3)(4)方程（3）中用到了。 聯(lián)立式（l）-式（4）可得則系統(tǒng)振動(dòng)的角頻率為 解2 取整個(gè)振動(dòng)裝置和地球?yàn)檠芯肯到y(tǒng)，因沒(méi)有外力和非保守內(nèi)力作功，系統(tǒng)機(jī)械能守恒。 設(shè)物體平衡時(shí)為初始狀態(tài)，物體向右偏移距離X（此時(shí)速度為對(duì)、加速度為a）為末狀態(tài)，則由機(jī)械能守恒定律，有在列出上述方程時(shí)應(yīng)注意勢(shì)能（重力勢(shì)能和彈性勢(shì)能）零點(diǎn)的選取。 為運(yùn)算方便，選初始狀態(tài)下物體C所

8、在位置為重力勢(shì)能零點(diǎn)；彈簧原長(zhǎng)時(shí)為彈性勢(shì)能的零點(diǎn)。 將上述方程對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得將代人上式，可得式（6）與式（5）相同，表明兩種解法結(jié)果一致。17-7 一放置在水平桌面上的彈簧振子，振幅A=2.0×10-2m,周期T=0.50s。當(dāng)t=0時(shí)，（1）物體在正方向端點(diǎn)；（2）物體在平衡位置向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)；（3）物體在.x=1.0×10-2m處，向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)；（4）物體在.x= -1.0×10-2m處，向正方向運(yùn)動(dòng)。求以上各種情況的運(yùn)動(dòng)方程。13-7分析 在振幅A和周期T已知的條件下，確定初相中是求解簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程的關(guān)鍵。初相的確定通常有兩種方法。（1）解析法：由振動(dòng)方程出發(fā)，根

9、據(jù)初始條件，即t= 0時(shí)， x= xo和來(lái)確定值。 （2）旋轉(zhuǎn)矢量法：如圖 13-7（a）所示，將質(zhì)點(diǎn)P在Ox軸上振動(dòng)的初始位置x0和速度v0的方向與旋轉(zhuǎn)矢量圖相對(duì)應(yīng)來(lái)確定。 旋轉(zhuǎn)矢量法比較直觀、方便，在分析中常采用。 解 由題給條件知 ，而初相可采用分析中的兩種不同方法來(lái)求。 解析法：根據(jù)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程，當(dāng) t0時(shí)有，。 當(dāng) （1） （2） （3） （4） 旋轉(zhuǎn)矢量法：分別畫出四個(gè)不同初始狀態(tài)的旋轉(zhuǎn)關(guān)量圖，如圖13-7（b）所示，它們所對(duì)應(yīng)的初相分別為，。 振幅A、角頻率、初相均確定后，則各相應(yīng)狀態(tài)下的運(yùn)動(dòng)方程為 （1） （2） （3） (4）13-8 有一彈簧，當(dāng)其下端掛一質(zhì)量為m的物體時(shí)，

10、伸長(zhǎng)量為9.8×10-2m。若使物體上下振動(dòng)，且規(guī)定向下為正方向。（1）t=0時(shí)，物體在平衡位置上方8.0×10-2m處，由靜止開始向下運(yùn)動(dòng)，求運(yùn)動(dòng)方程。（2）t=0時(shí)，物體在平衡位置并以0.60m/s的速度向上運(yùn)動(dòng)，求運(yùn)動(dòng)方程。13-8分析 求運(yùn)動(dòng)方程，也就是要確定振動(dòng)的三個(gè)特征物理量A、，和。 其中振動(dòng)的角頻率是由彈簧振子系統(tǒng)的固有性質(zhì)（振子質(zhì)量m及彈簧勁度系數(shù)k）決定的，即，可根據(jù)物體受力平衡時(shí)彈簧的伸長(zhǎng)來(lái)計(jì)算；振幅A和初相需要根據(jù)初始條件確定。 解 物體受力平衡時(shí)，彈性力F與重力P的大小相等，即F=mg。 而此時(shí)彈簧的伸長(zhǎng)量。 則彈簧的勁度系數(shù)。 系統(tǒng)作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的角

11、頻率為 （1）設(shè)系統(tǒng)平衡時(shí)，物體所在處為坐標(biāo)原點(diǎn)，向下為x軸正向。 由初始條件t=0時(shí)，可得振幅；應(yīng)用旋轉(zhuǎn)矢量法可確定初相。圖 13-8（a）。 則運(yùn)動(dòng)方程為 （2）t=0時(shí)，同理可得，；圖 13-8（b）。 則運(yùn)動(dòng)方程為13-9 某振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的x-t曲線如圖所示，試求：（1）運(yùn)動(dòng)方程；（2）點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的相位；（3）到達(dá)點(diǎn)P相應(yīng)位置所需要的時(shí)間。13-9分析 由已知運(yùn)動(dòng)方程畫振動(dòng)曲線和由振動(dòng)曲線求運(yùn)動(dòng)方程是振動(dòng)中常見的兩類問(wèn)題。 本題就是要通過(guò)x-t圖線確定振動(dòng)的三個(gè)特征量量A、，和，從而寫出運(yùn)動(dòng)方程。 曲線最大幅值即為振幅A；而、通?？赏ㄟ^(guò)旋轉(zhuǎn)矢量法或解析法解出，一般采用旋轉(zhuǎn)矢量法比較方便 解

12、（1）質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)振幅A0.10 m。 而由振動(dòng)曲線可畫出t=0和t=4s時(shí)旋轉(zhuǎn)矢量，如圖13-9（b）所示。 由圖可見初相，而由得，則運(yùn)動(dòng)方程為 （2）圖14-9（a）中點(diǎn)P的位置是質(zhì)點(diǎn)從A/2處運(yùn)動(dòng)到正向的端點(diǎn)處。 應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖如圖 13- 10（C）所示。 當(dāng)初相取時(shí)，點(diǎn) P的相位為（如果初相取，則點(diǎn)P相應(yīng)的相位應(yīng)表示為）。 （3）由旋轉(zhuǎn)關(guān)量圖可得則13-10 在一塊平板下裝有彈簧，平板上放一質(zhì)量為1.0kg的重物。現(xiàn)使平板沿豎直方向做上下簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，周期為0.50s，振幅為2.0×10-2m。求：（1）平板到最低點(diǎn)時(shí)，重物對(duì)平板的作用力；（2）若頻率不變，則平板以多大的振幅振動(dòng)時(shí)

13、，重物會(huì)跳離平板？（3）若振幅不變，則平板以多大的頻率振動(dòng)時(shí)，重物會(huì)跳離平板？13-10分析 按題意作示意圖13-10。 物體在平衡位置附近隨板作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其間受重力P和板支持力FN作用，F(xiàn)N是一個(gè)變力。 按牛頓定律，有（l） 由于物體是隨板一起作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，因而有，則式（l）可改寫為（2） (1）根據(jù)板運(yùn)動(dòng)的位置，確定此刻振動(dòng)的相位 ，由式（2）可求板與物體之間的作用力。 （2）由式（2）可知支持力FN的值與振幅A、角頻率和相位有關(guān)。 在振動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)時(shí)FN最小。而重物恰好跳離平板的條件為FN=0，因此由式（2）可分別求出重物跳離平板所需的頻率或振幅。 解 （l）由分析可知，重物在最低點(diǎn)時(shí)，相

14、位，物體受板的支持力為重物對(duì)木塊的作用力與FN大小相等，方向相反。 （2）當(dāng)頻率不變時(shí)，設(shè)振幅變?yōu)椤?根據(jù)分析中所述，將FN=0及代入分析中式（2），可得 （3）當(dāng)振幅不變時(shí)，設(shè)頻率變?yōu)椤?同樣將FN0及代入分析中式（2），可得13-11 一物體沿x軸做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，振幅為0.06m，周期為2.0s，當(dāng)t=0時(shí)位移為0.03m，且向x軸正方向運(yùn)動(dòng)。求：（1）t=0.5s時(shí)，物體的位移、速度和加速度；（2）物體從x= -0.03m 處向x軸負(fù)向運(yùn)動(dòng)開始，到平衡位置，至少需要多少時(shí)間？13-11分析 已知運(yùn)動(dòng)方程即可求物體的位移、速度、加速度。 因此，寫出運(yùn)動(dòng)方程是本題的關(guān)鍵。 其方法可參見題13-7

15、。 至于質(zhì)點(diǎn)從x=-0.03 m運(yùn)動(dòng)到 x0處所需的最短時(shí)間，仍可采用解析法或旋轉(zhuǎn)矢量法求解。 解 （1）由題意知A=0.06m、由旋轉(zhuǎn)矢量圖13-11（a）可確定初相則振動(dòng)方程為當(dāng)t=0.5s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位移、速度、加速度分別為 （2）質(zhì)點(diǎn)從x=-0.03 m運(yùn)動(dòng)到平衡位置的過(guò)程中，旋轉(zhuǎn)關(guān)量從圖 13-11（b）中的位置M轉(zhuǎn)至位置N，矢量轉(zhuǎn)過(guò)的角度(即相位差）。該過(guò)程所需時(shí)間為13-12 兩質(zhì)點(diǎn)做通頻率、同振幅的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。第一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為，當(dāng)?shù)谝粋€(gè)質(zhì)點(diǎn)自振動(dòng)正方向回到平衡位置時(shí)，第二個(gè)質(zhì)點(diǎn)恰在振動(dòng)正方向的端點(diǎn)。試用旋轉(zhuǎn)矢量圖表示它們，并求第二個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程及它們的相位差。13-12解 圖

16、13-12為兩質(zhì)點(diǎn)在特定時(shí)刻t的旋轉(zhuǎn)矢量圖，OM表示第一個(gè)質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量；ON表示第二個(gè)質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量。 可見第一個(gè)質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的相位比第二個(gè)質(zhì)點(diǎn)超前，即它們的相位差。第二個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程應(yīng)為13-13 有一單擺，長(zhǎng)為1.0m，最大擺角為50，如圖所示。（1）求擺的角頻率和周期；（2）設(shè)開始時(shí)擺角最大，試寫出此單擺的運(yùn)動(dòng)方程；（3）當(dāng)擺角為30時(shí)的角速度和擺球的線速度時(shí)多少？13-13分析 單擺在擺角較小時(shí)（）的擺動(dòng)，其角量與時(shí)間的關(guān)系可表示為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程 ，其中角頻率仍由該系統(tǒng)的性質(zhì)（重力加速度g和繩長(zhǎng)）決定，即。初相與擺角，質(zhì)點(diǎn)的角速度與旋轉(zhuǎn)矢量的角速度（角頻率）均是不同的物理概念，必

17、須注意區(qū)分。 解 （1）單擺角頻率及周期分別為 （2）由t=0時(shí)可得振動(dòng)初相，則以角量表示的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程為 (3）擺角為30時(shí)，有，則這時(shí)質(zhì)點(diǎn)的角速度為線速度的大小為 討論質(zhì)點(diǎn)的線速度和角速度也可通過(guò)機(jī)械能守恒定律求解，但結(jié)果會(huì)有極微小的差別。 這是因?yàn)樵趯?dǎo)出簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程時(shí)曾取，所以，單擺的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程僅在較小時(shí)成立。 13-14 為了測(cè)月球表面的重力加速度，宇航員將地面上的秒擺（周期為2.00s）拿到月球上去，如測(cè)得周期為4.90s，地球表面得重力加速度為9.80m/s2，則月球表面得重力加速度是多少？13-14解 由單擺的周期公式可知，故有，則月球的重力加速度為13-15 一均勻等邊三角形

18、薄板，質(zhì)量為m，高度為h，如圖所示。當(dāng)其繞AB邊（與水平軸線重合）轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，試證其做微小振動(dòng)的周期為。13-15分析 三角形薄板繞AB軸的微振動(dòng)是一復(fù)擺運(yùn)動(dòng)。 復(fù)擺振動(dòng)周期為，因此，只要知道復(fù)擺繞轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J和轉(zhuǎn)軸到質(zhì)心的距離，其振動(dòng)周期就可求得。 證 為了求三角形薄板繞AB軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，按圖13-15（b）取坐標(biāo)。 圖中任取一距軸y寬dy的狹長(zhǎng)質(zhì)元，其質(zhì)量，式中為薄板的面密度，。該質(zhì)元對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，則三角形薄板對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為又由質(zhì)心定義可知，等邊三角形薄板的質(zhì)心至底邊（轉(zhuǎn)軸）的距離。將J和的值代入公式中，即可證得該復(fù)擺的周期為13-16 有一密度均勻得金屬T字形細(xì)尺，如圖所示。它由

19、兩根金屬米尺組成。若它可繞通過(guò)點(diǎn)O的垂直紙面的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，求其做微小振動(dòng)的周期。13-16解 T字形尺的微小振動(dòng)是復(fù)擺振動(dòng)。 T字形尺繞軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J。 由兩部分組成，其中尺對(duì)該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為尺AB對(duì)軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J2，根據(jù)平行軸定理可得故有 圖13-16中T字形尺的質(zhì)心C至點(diǎn)O的距離為，由質(zhì)心定義可得。 則T字形尺的振動(dòng)周期為13-17 如圖所示，一勁度系數(shù)為k的輕彈簧，其下掛有一質(zhì)量為m1的空盤?，F(xiàn)有一質(zhì)量為m2的物體從盤上方高為h處自由落到盤中，并和盤粘在一起振動(dòng)。問(wèn)：（1）此時(shí)的振動(dòng)周期與空盤作振動(dòng)的周期有和不同？（2）此時(shí)的振幅為多大？13-17 解（1）空盤作振動(dòng)，周期m物體與

20、空盤一起作振動(dòng)，周期為T則 （2）如圖示，m物體由高度h處自由落下，與盤粘在一起，此過(guò)程為非彈性碰撞，設(shè)碰撞的速度為v¢，根據(jù)動(dòng)量守恒設(shè)碰撞瞬時(shí)開始計(jì)時(shí)，平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，則t=0 式中x1為m物未落入盤時(shí)彈簧的伸長(zhǎng)量，即mg=kx1x2為重物落入盤后處于平衡位置時(shí)，彈簧的伸長(zhǎng)量即所以同時(shí) 此時(shí)所以因此系統(tǒng)的振動(dòng)表達(dá)式為13-18 一氫原子在分子中的振動(dòng)可視為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，已知?dú)湓拥馁|(zhì)量m=1.68×10-27kg，振動(dòng)頻率，振幅A=1.0×10-11m，試計(jì)算：（1）此氫原子的最大速度；（2）與此振動(dòng)相聯(lián)系的能量。13-18解 （1）簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)中振子運(yùn)動(dòng)的速度

21、故氫原子振動(dòng)的最大速度為（2）氫原子的振動(dòng)能量13-19 試證明：（1）在一個(gè)周期中，簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能和勢(shì)能對(duì)時(shí)間的平均值都等于kA2/4；（2）在一個(gè)周期中，簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能和勢(shì)能對(duì)位置的平均值分別等于kA2/3和kA2/6。13-19證（1）簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能和勢(shì)能分別為則在一個(gè)周期中，動(dòng)能與勢(shì)能對(duì)時(shí)間的平均值分別為（2）因簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)勢(shì)能，則勢(shì)能在一個(gè)周期中對(duì)位置的平均值為則動(dòng)能在一個(gè)周期中對(duì)位置的平均值為13-20 有兩個(gè)同方向同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其合振動(dòng)的振幅為0.20m，和振動(dòng)的相位與第一個(gè)振動(dòng)的相位差為，第一個(gè)振動(dòng)的振幅為0.173m。求第二個(gè)振動(dòng)的振幅及兩振動(dòng)的相位差。13-20解 采用旋轉(zhuǎn)矢量合成圖求解。 如圖13-20所示，取第一個(gè)振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量A1沿Ox軸，即令其初相為零；按題意，合振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量A與A1之間的夾角。根據(jù)矢量合成，可得第二個(gè)振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量的大小（即振幅）為 由于A1、A2、A的量值恰好滿足勾股定理，故A1與A2垂直，即第二個(gè)振動(dòng)與第一個(gè)振動(dòng)的相位差為13-21 將頻率為348Hz的標(biāo)準(zhǔn)音叉振動(dòng)和一個(gè)待測(cè)頻率的音叉振動(dòng)合成，測(cè)得拍頻為3.0Hz 。若在待測(cè)頻率音叉的一端上加上一小塊物體，則拍頻將減小，求待測(cè)頻率的固有頻率。13-21分析 這是利用拍現(xiàn)象來(lái)測(cè)定振動(dòng)頻率的一種方法。 在頻率和拍頻數(shù)已知的情