2-10高階導(dǎo)數(shù)的概念及常見高階導(dǎo)數(shù)公式

1、模塊基本信息一級模塊名稱微分學(xué)二級模塊名稱基礎(chǔ)模塊三級模塊名稱高階導(dǎo)數(shù)的概念及常見高階導(dǎo)數(shù)公式模塊編號2-10先行知識導(dǎo)數(shù)的概念模塊編號2-2知識內(nèi)容教學(xué)要求掌握程度1、高階導(dǎo)數(shù)的概念1、理解高階導(dǎo)的概念2、常見初等函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)2、熟記常見初等函數(shù)的高階導(dǎo)3、萊布尼茲公式3、掌握隱函數(shù)高階導(dǎo)的求解( 是二階)一般般掌握4、隱函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)4、掌握參數(shù)方程咼階導(dǎo)的求解(一 般是二階)5、參數(shù)方程的高階導(dǎo)數(shù)5、熟記正弦、余弦等常見函數(shù)的 階導(dǎo)數(shù)公式n能力目標1、提高學(xué)生的觀察分析能力2、培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維、類比推導(dǎo)能力時間分配45分鐘編撰黃小枚校對方玲玲審核危子青修訂肖莉娜二審危子青一、正文編寫

2、思路及特點：思路：本文先借助速度和加速度的概念引出高階導(dǎo)數(shù)的定義,然后分別介紹常見的初等函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)、萊布尼茲公式、隱函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)、參數(shù)方程的高階導(dǎo)數(shù)。特點：通過實際問題引出高階導(dǎo)數(shù)的概念，在求解高階導(dǎo)數(shù)時分類進行講解,層層遞進，有助于學(xué)生理解和掌握。二、授課部分1引例(1)變速直線運動的速度v(t)是位置函數(shù)s(t)對時間t的導(dǎo)數(shù)，即v(t) s(t)或v(t)賽(2)速度函數(shù)v(t)對時間t的變化率就是加速度a(t)，即a(t)是v(t)對t的導(dǎo)數(shù)：a(t)v'(t)dS'(t)或 a(t) dt(3)加速度a(t)就是位置函數(shù)s(t)對時間t的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，稱d2s為s

3、(t)對t的二階導(dǎo)數(shù)，記為s或歹2 高階導(dǎo)數(shù)的定義設(shè)y=f(x)在某區(qū)間上可導(dǎo)，即有f x存在，如果f x也可導(dǎo)，則稱f x 的導(dǎo)數(shù)為函數(shù)f(x) 的二階導(dǎo)數(shù)。記 y ,或f (x),膜，fdxdx2根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可知：f (x) limnVx nf (x Vx) f (x)Vx類似地 二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù) 叫做三階導(dǎo)數(shù) 三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做四階導(dǎo)數(shù)一般地(n 1)階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做n階導(dǎo)數(shù) 分別記作dnydx函數(shù)f(x)具有n階導(dǎo)數(shù) 也常說成函數(shù)f(x)為n階可導(dǎo)注：(1)如果函數(shù)f(x)在點x處具有n 在點x的某一鄰域內(nèi)必定具有一切低于 n階導(dǎo)數(shù)那么函數(shù)f(x)階的導(dǎo)數(shù)(2)二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)y

4、y階導(dǎo)數(shù)3.常見初等函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)例1已知(一級)243x ; y 6x;y 6; y 0;L , y0.課堂練習(xí):已知y ex求它的n階導(dǎo)數(shù)例2已知y sinx求它的n階導(dǎo)數(shù)(一級)解y cosx sin(x )y cos(x 2) sin(x 22) sin(x 2 2)cos(x 2 2)sin(x 2 一 一) sin(x 3 一)cos(xsin(x 4_2)般地可得sin(xn 2)即(sinx)(n)sin(x 門三)用類似方法 可得（cosx）（n）cos（x n ）（一級）（選講）例3已知y 1 x 1求它的n階導(dǎo)數(shù)解：y121 x ;13y2 1 x ;y1423 1 x一

5、般的，可得nnn 1y1n! 1 x.課堂練習(xí)：求函數(shù)In 1 x的n階導(dǎo)數(shù)常見初等函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)i g- gR,x 0sin xsincosxcosax nax In aIn 14. 萊布尼茨公式如果函數(shù)uu x及v v x都在點x處具有n階導(dǎo)數(shù) 那么顯然函數(shù)u v, uv，也在點x處具有n階導(dǎo)數(shù) 且nnnu v u v（UV） （n）CnkU（n k）V（k）k 0此式稱為萊布尼茨公式例 4. y x2e2x 求 y 20）（二級）解設(shè)u e2x, v x2貝Uuk2ke2x k 1,2,L ,20kv 2x,v 2,v0 k 3,4L ,20代入萊布尼茨公式得20UV002011 192

6、218C20V UC20V UC20V u33 17.C20V uL20 20 0C20V u0220 2x119 2x218 2xC20X2 eC2°2x 2 e C202 2 e220 e2x x220x 955. 隱函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)例1. y y x是由方程eyxy e所確定的隱函數(shù)，試求y/ 0 , y/ 0。(二級)解：方程兩邊對x求導(dǎo)：eyy/ y xy，0方程兩邊再對x求導(dǎo)：eyy ey y，2 2y，xy0由原方程知，當x 0時，y 1，代入得y(0)1e再將x 0， y 1，y/ (0)1代入式，e得 y (0)2e注：隱函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)就是對方程兩邊多求幾次導(dǎo)，然后把低 價導(dǎo)數(shù)代入等式。6. 參數(shù)方程的高階導(dǎo)數(shù)x a cost例1 求方程0 t 2所確定的函數(shù)的一階導(dǎo)y bsint數(shù)dy及二階導(dǎo)數(shù)£y.（二級）dxdx加dyb costb丄丄解：” cottdxa si ntab 2d 2y d dy / dxcscbdxdt dx dta si nta sin t注：求參數(shù)方程的高階導(dǎo)數(shù)應(yīng)注意在求導(dǎo)數(shù)的時候找準函數(shù)的 自變量三、能力反饋部分1、（考查函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)的掌握程度）已知 y