弦長(zhǎng)公式在相交兩圓中的運(yùn)用

1、弦長(zhǎng)公式在相交兩圓中的運(yùn)用重慶市永川區(qū)第六中學(xué)校 潘祥萬(wàn)（402182）問(wèn)題：求兩圓的公共弦的長(zhǎng)。（高二數(shù)學(xué)（上），人教版，P 88 24題）對(duì)于此題，我們很多時(shí)候都是把這兩個(gè)方程聯(lián)立組成方程組，求出其交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求解，這是一種常規(guī)解法。下面，我想就相交兩圓公共弦長(zhǎng)公式的推導(dǎo)及運(yùn)用談點(diǎn)個(gè)人看法。一、弦長(zhǎng)公式的推導(dǎo)在初中，我們就知道兩圓相交時(shí)弦長(zhǎng)的求法。對(duì)于高中數(shù)學(xué)中的相交兩圓弦長(zhǎng)如何求，大部分學(xué)生感到不知所措，甚至解題的方向也把握不準(zhǔn)，基于此，我在教學(xué)中，我在引領(lǐng)學(xué)生回憶初中知識(shí)的同時(shí)，讓學(xué)生把所學(xué)的知識(shí)在頭腦中重組、建構(gòu)，形成一定的網(wǎng)絡(luò)，更好地為教學(xué)服務(wù)。推導(dǎo)：對(duì)于圓的一

2、般方程：（其中）和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：。這是我們應(yīng)該熟悉的兩個(gè)方程，要求學(xué)生必須能夠互化。如果兩圓和相交，求公共弦長(zhǎng)。在這里必須引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分析，看它圓心在弦的同旁，還是兩旁。（一）、兩圓心在公共弦的兩旁時(shí)，公共弦長(zhǎng)AB的求法·0（·AB圖1C如圖1：設(shè)相交兩圓的圓心分別為O,半徑分別為,圓心距()為,則在RtACO與RtAC中有,又=OC+=,=-OC,其中化簡(jiǎn)得:AB=2AC= (二)、兩圓心在公共弦的同旁時(shí)，公共弦長(zhǎng)AB的求法·OAB·C如右圖，設(shè)相交兩圓的圓心分別為O,半徑分別為,圓心距()為（）,則在RtACO與RtAC中，同理得： 說(shuō)明：內(nèi)切

3、、外切時(shí)上兩式也成立，只不過(guò)AB=0。（三）兩圓相交，如圖一中的半徑垂直時(shí)，公共弦長(zhǎng)AB的求法（特殊情形） （四）利用向量法推證相交兩圓的弦長(zhǎng)公式·0（·ABC設(shè)相交兩圓的圓心分別為O,半徑分別為,圓心距()為，在AO中如右下圖，令，設(shè)向量的夾角為，則由余弦定理得：，而易求。根據(jù)三角形的面積公式可得：則 類似地，借助圖形可以推證另外的情形。二、再談求弦長(zhǎng)我們知道將問(wèn)題中的兩方程相減，可得過(guò)兩交點(diǎn)的直線方程。這時(shí)我們可以將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離，利用垂徑定理可求出弦長(zhǎng)的一半，從而求出整個(gè)弦長(zhǎng)。假設(shè)兩圓相交時(shí)過(guò)兩交點(diǎn)的直線方程為，其中一個(gè)圓的方程為（或），圓心到直線的距離為，

4、則弦AB=，而） 對(duì)于上式的求法，實(shí)際上是直線與圓相交時(shí)弦長(zhǎng)的求法，利用它來(lái)解題是比較簡(jiǎn)潔的。三、弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用把問(wèn)題中的兩個(gè)圓的方程分別變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)形式：和，則半徑，則公共弦長(zhǎng)為，讀者不妨可采取或式的做法做一個(gè)練習(xí)，比較一下各致的優(yōu)劣，前者簡(jiǎn)潔明快，易記，思路清晰，后者對(duì)公式的記憶較高，繁雜冗長(zhǎng)不易記住。四、看法 （1）在教學(xué)中，特別是習(xí)題的教學(xué)中，應(yīng)充分地挖掘教材的潛在功能，注重通性通法的講解。我們應(yīng)該清醒的認(rèn)識(shí)到課堂是學(xué)生獲取知識(shí)的途徑之一，而不是獲取知識(shí)的唯一途徑，應(yīng)該把獲取知識(shí)的方法授予給學(xué)生，再加上學(xué)生自己的創(chuàng)造，可以使其學(xué)習(xí)能力得到一定的提高。（2）充分利用素材，適當(dāng)拓展，引領(lǐng)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)歸納，嘗試創(chuàng)造，獲取進(jìn)取的動(dòng)力。對(duì)于這項(xiàng)工作，是具有一定難度的，特別是學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)比較單一，頭腦中沒(méi)有形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)時(shí)，基本上很難實(shí)現(xiàn)。可以在復(fù)習(xí)或章節(jié)末的小結(jié)中試行。（3）注重新舊知識(shí)的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生避開一些繁瑣的運(yùn)算，從而達(dá)到舉一反三的目的。在上述推導(dǎo)公共弦長(zhǎng)