排隊(duì)論習(xí)題及答案

1、運(yùn)籌學(xué)第六章排隊(duì)論習(xí)題1. 思考題（1）排隊(duì)論主要研究的問題是什么；（2）試述排隊(duì)模型的種類及各部分的特征；（3）符號中各字母的分別代表什么意義；（4）理解平均到達(dá)率、平均服務(wù)率、平均服務(wù)時(shí)間和顧客到達(dá)間隔時(shí)間等概念；（5）分別寫出普阿松分布、負(fù)指數(shù)分布、愛爾朗分布的密度函數(shù)，說明這些分布的主要性質(zhì)；（6）試述隊(duì)長和排隊(duì)長；等待時(shí)間和逗留時(shí)間；忙期和閑期等概念及他們之間的聯(lián)系與區(qū)別。2判斷下列說法是否正確（1）若到達(dá)排隊(duì)系統(tǒng)的顧客為普阿松流，則依次到達(dá)的兩名顧客之間的間隔時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布； （2）假如到達(dá)排隊(duì)系統(tǒng)的顧客來自兩個方面，分別服從普阿松分布，則這兩部分顧客合起來的顧客流仍為普阿松分

2、布； （3）若兩兩顧客依次到達(dá)的間隔時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，又將顧客按到達(dá)先后排序，則第1、3、5、7，名顧客到達(dá)的間隔時(shí)間也服從負(fù)指數(shù)分布； （4）對或的排隊(duì)系統(tǒng)，服務(wù)完畢離開系統(tǒng)的顧客流也為普阿松流； （5）在排隊(duì)系統(tǒng)中，一般假定對顧客服務(wù)時(shí)間的分布為負(fù)指數(shù)分布，這是因?yàn)橥ㄟ^對大量實(shí)際系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)研究，這樣的假定比較合理； （6）一個排隊(duì)系統(tǒng)中，不管顧客到達(dá)和服務(wù)時(shí)間的情況如何，只要運(yùn)行足夠長的時(shí)間后，系統(tǒng)將進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)； （7）排隊(duì)系統(tǒng)中，顧客等待時(shí)間的分布不受排隊(duì)服務(wù)規(guī)則的影響； （8）在顧客到達(dá)及機(jī)構(gòu)服務(wù)時(shí)間的分布相同的情況下，對容量有限的排隊(duì)系統(tǒng)，顧客的平均等待時(shí)間少于允許隊(duì)長無限的系統(tǒng)

3、； （9）在顧客到達(dá)分布相同的情況下，顧客的平均等待時(shí)間同服務(wù)時(shí)間分布的方差大小有關(guān)，當(dāng)服務(wù)時(shí)間分布的方差越大時(shí)，顧客的平均等待時(shí)間就越長； （10）在機(jī)器發(fā)生故障的概率及工人修復(fù)一臺機(jī)器的時(shí)間分布不變的條件下，由1名工人看管5臺機(jī)器，或由3名工人聯(lián)合看管15臺機(jī)器時(shí)，機(jī)器因故障等待工人維修的平均時(shí)間不變。3某店有一個修理工人，顧客到達(dá)過程為Poisson流，平均每小時(shí)3人，修理時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，平均需19分鐘，求：（1）店內(nèi)空閑的時(shí)間； （2）有4個顧客的概率； （3）至少有一個顧客的概率； （4）店內(nèi)顧客的平均數(shù)； （5）等待服務(wù)的顧客數(shù)； （6）平均等待修理的時(shí)間； （7）一個顧客在店

4、內(nèi)逗留時(shí)間超過15分鐘的概率。4設(shè)有一個醫(yī)院門診，只有一個值班醫(yī)生。病人的到達(dá)過程為Poisson流，平均到達(dá)時(shí)間間隔為20分鐘，診斷時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，平均需12分鐘，求： （1）病人到來不用等待的概率； （2）門診部內(nèi)顧客的平均數(shù)； （3）病人在門診部的平均逗留時(shí)間； （4）若病人在門診部內(nèi)的平均逗留時(shí)間超過1小時(shí)，則醫(yī)院方將考慮增加值班醫(yī)生。問病人平均到達(dá)率為多少時(shí)，醫(yī)院才會增加醫(yī)生？5某排隊(duì)系統(tǒng)只有1名服務(wù)員，平均每小時(shí)有4名顧客到達(dá)，到達(dá)過程為Poisson流，服務(wù)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，平均需6分鐘，由于場地限制，系統(tǒng)內(nèi)最多不超過3名顧客，求： （1）系統(tǒng)內(nèi)沒有顧客的概率； （2）系統(tǒng)

5、內(nèi)顧客的平均數(shù)； （3）排隊(duì)等待服務(wù)的顧客數(shù)； （4）顧客在系統(tǒng)中的平均花費(fèi)時(shí)間； （5）顧客平均排隊(duì)時(shí)間。6某街區(qū)醫(yī)院門診部只有一個醫(yī)生值班，此門診部備有6張椅子供患者等候應(yīng)診。當(dāng)椅子坐滿時(shí)，后來的患者就自動離去，不在進(jìn)來。已知每小時(shí)有4名患者按Poisson分布到達(dá)，每名患者的診斷時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，平均12分鐘，求： （1）患者無須等待的概率； （2）門診部內(nèi)患者平均數(shù)； （3）需要等待的患者平均數(shù)； （4）有效到達(dá)率； （5）患者在門診部逗留時(shí)間的平均值； （6）患者等待就診的平均時(shí)間； （7）有多少患者因坐滿而自動離去？7.某加油站有四臺加油機(jī)，來加油的汽車按Poisson分布到達(dá)，

6、平均每小時(shí)到達(dá)20輛。四臺加油機(jī)的加油時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，每臺加油機(jī)平均每小時(shí)可給10輛汽車加油。求： （1）前來加油的汽車平均等待的時(shí)間； （2）汽車來加油時(shí),4臺油泵都在工作,這時(shí)汽車平均等待的時(shí)間. 8某售票處有3個售票口，顧客的到達(dá)服從Poisson分布，平均每分鐘到達(dá)（人），3個窗口售票的時(shí)間都服從負(fù)指數(shù)分布，平均每分鐘賣給（人），設(shè)可以歸納為/3 模型，試求： （1）整個售票處空閑的概率； （2）平均對長； （3）平均逗留時(shí)間； （4）平均等待時(shí)間； （5）顧客到達(dá)后的等待概率。9一個美容院有3張服務(wù)臺，顧客平均到達(dá)率為每小時(shí)5人，美容時(shí)間平均30分鐘，求： （1）美容院中沒有顧客

7、的概率； （2）只有一個服務(wù)臺被占用的概率。10某系統(tǒng)有3名服務(wù)員,每小時(shí)平均到達(dá)240名顧客,且到達(dá)服從Poisson分布，服務(wù)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，平均需0.5分鐘，求:(1)整個系統(tǒng)內(nèi)空閑的概率；(2) 顧客等待服務(wù)的概率； （3）系統(tǒng)內(nèi)等待服務(wù)的平均顧客數(shù)； （4）平均等待服務(wù)時(shí)間； （5）系統(tǒng)平均利用率； （6）若每小時(shí)顧客到達(dá)的顧客增至480名，服務(wù)員增至6名，分別計(jì)算上面的（1）（5）的值。11某服務(wù)系統(tǒng)有兩個服務(wù)員，顧客到達(dá)服從Poisson分布，平均每小時(shí)到達(dá)兩個。服務(wù)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，平均服務(wù)時(shí)間為30分鐘，又知系統(tǒng)內(nèi)最多只能有3名顧客等待服務(wù)，當(dāng)顧客到達(dá)時(shí)，若系統(tǒng)已滿，則

8、自動離開，不再進(jìn)入系統(tǒng)。求： （1）系統(tǒng)空閑時(shí)間； （2）顧客損失率； （3）服務(wù)系統(tǒng)內(nèi)等待服務(wù)的平均顧客數(shù)； （4）在服務(wù)系統(tǒng)內(nèi)的平均顧客數(shù)； （5）顧客在系統(tǒng)內(nèi)的平均逗留時(shí)間； （6）顧客在系統(tǒng)內(nèi)的平均等待時(shí)間； （7）被占用的服務(wù)員的平均數(shù)。12某車站售票口，已知顧客到達(dá)率為每小時(shí)200人，售票員的服務(wù)率為每小時(shí)40人，求： （1）工時(shí)利用率平均不能低于60； （2）若要顧客等待平均時(shí)間不超過2分鐘，設(shè)幾個窗口合適？13某律師事物所咨詢中心，前來咨詢的顧客服從Poisson分布，平均天到達(dá)50個。各位被咨詢律師回答顧客問題的時(shí)間是隨機(jī)變量，服從負(fù)指數(shù)分布，每天平均接待10人。每位律師工作

9、1天需支付100元，而每回答一名顧客的問題的咨詢費(fèi)為20元，試為該咨詢中心確定每天工作的律師人數(shù)，以保證純收入最多。14某廠的原料倉庫，平均每天有20車原料入庫，原料車到達(dá)服從Poisson分布，卸貨率服從負(fù)指數(shù)分布，平均每人每天卸貨5車，每個裝卸工每天總費(fèi)用50元，由于人手不夠而影響當(dāng)天裝卸貨物，導(dǎo)致每車的平均損失為每天200元，試問，工廠應(yīng)安排幾名裝卸工，最節(jié)省開支？15某公司醫(yī)務(wù)室為職工檢查身體，職工的到達(dá)服從Poisson分布，每小時(shí)平均到達(dá)50人，若職工不能按時(shí)體檢，造成的損失為每小時(shí)每人平均60元。體檢所花時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，平均每小時(shí)服務(wù)率為，每人的體檢費(fèi)用為30元，試確定使公司

10、總支出最少的參數(shù)。運(yùn)籌學(xué)第六章排隊(duì)論習(xí)題解答2（1） （2） （3）X（4）（5）X（6）X（7）X（8）（9）（10）X3解：單位時(shí)間為小時(shí)，（1）店內(nèi)空閑的時(shí)間： ； （2）有4個顧客的概率：； （3）至少有一個顧客的概率：； （4）店內(nèi)顧客的平均數(shù)：； （5）等待服務(wù)的顧客的平均數(shù)： （6）平均等待修理的時(shí)間：； （7）一個顧客在店內(nèi)逗留時(shí)間超過15分鐘的概率。 4解: 單位時(shí)間為小時(shí)，（1）病人到來不用等待的概率： （2）門診部內(nèi)顧客的平均數(shù)：（人） （3）病人在門診部的平均逗留時(shí)間；（小時(shí)） （4）若病人在門診部內(nèi)的平均逗留時(shí)間超過1小時(shí)，則有： 即當(dāng)病人平均到達(dá)時(shí)間間隔小于等于15

11、分鐘時(shí)，醫(yī)院將增加值班醫(yī)生。5解：單位時(shí)間為小時(shí)，； （1）系統(tǒng)內(nèi)沒有顧客的概率：； （2）系統(tǒng)內(nèi)顧客的平均數(shù)：（人）； （3）排隊(duì)等待服務(wù)的顧客數(shù)：（人）； （4）顧客在系統(tǒng)中的平均花費(fèi)時(shí)間： （分鐘） （5）顧客平均排隊(duì)時(shí)間：（分鐘）。6解：此問題可歸結(jié)為的模型，單位時(shí)間為小時(shí)， （1）患者無須等待的概率：； （2）門診部內(nèi)患者平均數(shù)：（人） （3）需要等待的患者平均數(shù)：（人） （4）有效到達(dá)率：； （5）患者在門診部逗留時(shí)間的平均值：（小時(shí)）=37.7(分鐘) （6）患者等待就診的平均時(shí)間：(分鐘) （7）有的患者因坐滿而自動離去.7.解：此為一個/4系統(tǒng)，系統(tǒng)服務(wù)強(qiáng)度 ，所以 （1）前

12、來加油的汽車平均等待的時(shí)間即為： 因?yàn)槎剩?0085（小時(shí)）=0.51（分鐘） （2）汽車來加油時(shí),4臺油泵都在工作,設(shè)汽車平均等待的時(shí)間為. 則 ，因?yàn)?， ， 所以 ：（分鐘）。8解：此為一個/3系統(tǒng)，系統(tǒng)服務(wù)強(qiáng)度： （1） （2）因?yàn)椋海ㄈ耍?所以：（人） （3）平均逗留時(shí)間：（分鐘） （4）平均等待時(shí)間：（分鐘） （5）設(shè)顧客到達(dá)后的等待概率為，則9解：此為系統(tǒng)為M / M / n (n=3)損失制無限源服務(wù)模型， ， （1） （2）10此為系統(tǒng)為M / M / n (n=3)服務(wù)模型， ， （1）整個系統(tǒng)內(nèi)空閑的概率：；（2）顧客等待服務(wù)的概率： ；（3）系統(tǒng)內(nèi)等待服務(wù)的平均顧客數(shù)

13、： （人）； （4）平均等待服務(wù)時(shí)間： ； （5）系統(tǒng)平均利用率； （6）若每小時(shí)顧客到達(dá)的顧客增至480名，服務(wù)員增至6名，分別計(jì)算上面的（1）（5）的值。 則：整個系統(tǒng)內(nèi)空閑的概率： 顧客等待服務(wù)的概率： 系統(tǒng)內(nèi)等待服務(wù)的平均顧客數(shù)：（人） 平均等待服務(wù)時(shí)間：系統(tǒng)平均利用率；。11解：將此系統(tǒng)看成一個M / M / 2 / 5排隊(duì)系統(tǒng)，其中 （1）系統(tǒng)空閑時(shí)間： ； （2）顧客損失率：； （3）服務(wù)系統(tǒng)內(nèi)等待服務(wù)的平均顧客數(shù)：（人） （4）在服務(wù)系統(tǒng)內(nèi)的平均顧客數(shù)： （人）；（5）顧客在系統(tǒng)內(nèi)的平均逗留時(shí)間： （分鐘）； （6）顧客在系統(tǒng)內(nèi)的平均等待時(shí)間： （分鐘）（7）被占用的服務(wù)員的平

14、均數(shù)。 （個）12解：將此系統(tǒng)看成一個M / M / n 排隊(duì)系統(tǒng)，其中，則工時(shí)利用率平均不能低于60，即系統(tǒng)服務(wù)強(qiáng)度： ，所以 ，設(shè)均滿足工時(shí)利用率的要求，現(xiàn)在計(jì)算是否滿足等待時(shí)間的要求：（1）當(dāng)時(shí)，平均等待時(shí)間：（小時(shí)）=016（分）（）當(dāng)時(shí)，平均等待時(shí)間：（小時(shí)）=1.05(分)若，則，所以，應(yīng)該設(shè)3個窗口符合要求。13解：這是一個M / M / n 系統(tǒng)確定n的問題，因?yàn)椋?，則 ，設(shè)表示當(dāng)律師有n個時(shí)的純收入，則： 對的約束只有一個，即，由此可得，為求，我們由下表計(jì)算，再取最大值。 678由此可以看出，當(dāng)時(shí)，律師咨詢中心的純收入最大。14解：此問題為一個M / M / n 系統(tǒng)確定n的問題，因?yàn)椋?設(shè)表示當(dāng)裝卸工有n個時(shí)工廠在裝卸方面的總支出，