拉格朗日乘數(shù)法

1、§4 條件極值(一) 教學(xué)目的：了解拉格朗日乘數(shù)法，學(xué)會用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值(二) 教學(xué)內(nèi)容：條件極值；拉格朗日乘數(shù)法 基本要求：(1)了解拉格朗日乘數(shù)法的證明，掌握用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值的方法(2) 較高要求：用條件極值的方法證明或構(gòu)造不等式(三) 教學(xué)建議：(1) 本節(jié)的重點是用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值要求學(xué)生熟練掌握(2) 多個條件的的條件極值問題，計算量較大，可布置少量習(xí)題 (3) 在解決很多問題中，用條件極值的方法證明或構(gòu)造不等式，是個好方法可推薦給較好學(xué)生 在許多極值問題中，函數(shù)的自變量往往要受到一些條件的限制，比如，要設(shè)計一個容積為的長方體形開口水箱，確定長、

2、寬和高, 使水箱的表面積最小. 設(shè)水箱的長、寬、高分別為 ， 則水箱容積 焊制水箱用去的鋼板面積為這實際上是求函數(shù) 在 限制下的最小值問題。這類附有條件限制的極值問題稱為條件極值問題， 其一般形式是在條件 限制下，求函數(shù) 的極值條件極值與無條件極值的區(qū)別條件極值是限制在一個子流形上的極值，條件極值存在時無條件極值不一定存在，即使存在二者也不一定相等。例如，求馬鞍面 被平面 平面所截的曲線上的最低點。請看這個問題的幾何圖形（x31馬鞍面）從其幾何圖形可以看出整個馬鞍面沒有極值點，但限制在馬鞍面被平面 平面所截的曲線上，有極小值 1，這個極小值就稱為條件極值。 二. 條件極值點的必要條件 設(shè)在約束

3、條件之下求函數(shù)的極值 . 當(dāng)滿足約束條件的點是函數(shù)的條件極值點 , 且在該點函數(shù)滿足隱函數(shù)存在條件時, 由方程決定隱函數(shù), 于是點就是一元函數(shù)的極限點 , 有 .代入 , 就有 , ( 以下、均表示相應(yīng)偏導(dǎo)數(shù)在點的值 . )即 , 亦即 ( , ) ,) . 可見向量( , )與向量 , )正交. 注意到向量 , )也與向量 , )正交, 即得向量( , )與向量 , )線性相關(guān), 即存在實數(shù), 使 (, ) + ,).亦即 Lagrange乘數(shù)法 :由上述討論可見 , 函數(shù)在約束條件之下的條件極值點應(yīng)是方程組 的解. 引進所謂Lagrange函數(shù), ( 稱其中的實數(shù)為Lagrange乘數(shù) )

4、則上述方程組即為方程組 因此，解決條件極值通常有兩種方法1）直接的方法是從方程組（）中解出 并將其表示為 代入 消去 成為變量為 的函數(shù) 將問題化為函數(shù) 的無條件極值問題；2）在一般情形下，要從方程組（1）中解出 來是困難的，甚至是不可能的，因此上面求解方法往往是行不通的。通常采用的拉格朗日乘數(shù)法，是免去解方程組（1）的困難，將求 的條件極值問題化為求下面拉格朗日函數(shù) 的穩(wěn)定點問題，然后根據(jù)所討論的實際問題的特性判斷出哪些穩(wěn)定點是所求的極值的。一. 用Lagrange乘數(shù)法解應(yīng)用問題舉例 :例1 拋物面被平面截成一個橢圓. 求該橢圓到坐標(biāo)原點的最長和最短距離. 例3求函數(shù) 在條件 下的極小值.

5、 并證明不等式 , 其中 為任意正常數(shù) . 現(xiàn)在就以上面水箱設(shè)計為例， 看一看拉格朗日乘數(shù)法求解條件極值的過程解： 這個問題的實質(zhì)是求函數(shù) 在條件 下的最小值問題， 應(yīng)用拉格朗日乘法，令L='2*(x*z+y*z)+x*y+v*(x*y*z-V)'dLdx=diff(L,'x')dLdy=diff(L,'y')dLdz=diff(L,'z')dLdv=diff(L,'v') dLdx =2*z+y+v*y*zdLdy =2*z+x+v*x*zdLdz =2*x+2*y+v*x*ydLdv =x*y*z-V 令 的各

6、偏導(dǎo)等零，解方程組求穩(wěn)定點s1='2*z+y+v*y*z's2='2*z+x+v*x*z's3='2*x+2*y+v*x*y's4='x*y*z-V'v,x0,y0,z0=solve(s1,s2,s3,s4) v =-2*2(2/3)/V(1/3) -8*(-1/4*2(1/3)*V(1/3)+1/4*i*3(1/2)*2(1/3)*V(1/3)2/V -8*(-1/4*2(1/3)*V(1/3)-1/4*i*3(1/2)*2(1/3)*V(1/3)2/Vx0 = 2(1/3)*V(1/3)y0 = 2(1/3)*V(1/3)z0

7、 = 1/2*2(1/3)*V(1/3)這里顯然只有實數(shù)解才有意義， 所以 的穩(wěn)定點只有下面一個又已知所求的問題確實存在最小值，從而解出的穩(wěn)定點就是最小值點， 即水箱長寬與為高的倍時用鋼板最省。 下面再看一個條件極值求解問題例2 拋物面 被平面 截成一個橢圓，求這個橢圓到坐標(biāo)原點的最長最短距離。(x73)解 這個問題的實質(zhì)是求函數(shù) 在條件 與 下的最大、最小值問題， 應(yīng)用拉格朗日乘法，令L='x2+y2+z2+v*(x2+y2-z)+h*(x+y+z-1)'dLdx=diff(L,'x')dLdy=diff(L,'y')dLdz=diff(L,&

8、#39;z')dLdv=diff(L,'v')dLdh=diff(L,'h') dLdx =2*x+2*v*x+hdLdy =2*y+2*v*y+hdLdz =2*z-v+hdLdv =x2+y2-zdLdh =x+y+z-1 s1='2*x+2*v*x+h's2='2*y+2*v*y+h's3='2*z-v+h's4='x2+y2-z's5='x+y+z-1'h,v,x0,y0,z0=solve(s1,s2,s3,s4,s5);x0,y0,z0 x0 = 3/4-1/4*i*13(1/2) 3/4+1/4*i*13(1/2) -1/2+1/2*3(1/2) -1/2-1/2*3(1/2)y0 = 3/4+1/4*i*13(1/2) 3/4-1/4*i*13(1/2) -1/2+1/2*3(1/2) -1/2-1/2*3(1/2)z0 = -1/2， -1/2， 2-3(1/2)， 2+3(1/2) 即 的穩(wěn)定點有兩個 因為函數(shù) 在有界閉集 上連續(xù)，必有最大值和最小值，而求得的穩(wěn)定點又恰是兩個，所以它們一個是最大點， 另一個是最小，其最大最小值為。(x73) x1=-1/2+1/2*3(1/2); x2=-1/2-1