線性代數(shù)電子教案

1、線性代數(shù)電子教案年 月 日第節(jié)課 題：第1章行列式1.1 n階行列式的定義教學(xué)目的：掌握二、三階及n階行列式定義，能用定義計(jì)算簡(jiǎn)單的行列式的值重點(diǎn)及難點(diǎn)：(1)行列式的定義.(2)二、三階行列式計(jì)算方法.教學(xué)內(nèi)容及步驟(時(shí)間分配):1.1.1 二階、三階行列式1 .二階行列式的弓I入：對(duì)于二元線性方程組a11 X1 + a12X2 = b1 ©21 X1 +a22X2 = b2a12 相減得 (a11a22a21a12)X1= b1a22 b2a12 a21 相減得 (a11a22a21a12)X2= t)2a11 一ba21第一個(gè)方程乘以a22與第二個(gè)方程乘以 第二個(gè)方程乘以a11

2、與第一個(gè)方程乘以 若設(shè)a11a22 a21a120,方程組的解為X1a11a22b1a22 b2a12b2a11-b1a21X2-a21a12a11a22 - a21a12(1 2)2.二階行列式定義:在(12)式中把分母引進(jìn)一個(gè)記號(hào)，記a11a12a21a22=a11 a22 - a21a12(13)(1 3)式左端稱為 二階行列式(2-th determinant),記為，即a11a12a21a22而(13)式右端稱為二階行列式的展開式.對(duì)于二階彳r列式,我們也稱為方程組 行列式記1 1)的系數(shù)行列式(determinant of coefficients).我們?nèi)粲枚A1 =b1b2a1

3、2a22=b1a22 - b2 a12 : 2a11a21b1b2一 b2a11 - b a21方程組的解(1 2)式可寫成X11X2-23 .三階行列式定義：式aiiai2 ai3a21 a22 無(wú)3 =21a2a33+3|23a3l+ai3a2ia32a111ab3a32-3)同183-£113ab2a31c3l %2 133的左邊稱為 三階行列式(3-th determinant),通常也記為 .在中，橫的稱為行(row),縱的稱為列(column),其中aj (i, j=1, 2, 3)是數(shù)，稱它為此行列式的第 i行第j列的元素.式的右邊稱為三階行列式的展開式 .利用二階行列

4、式可以把展開式寫成：若記M11 a22a23a32a33M 12 a21a23,M 13 =a21a22a31a33a31a32A11 K-1)1 “M 11A2 "1)1 2M 12A13 E-1)1 3M13則有a11a12a13a21a22 a23-a11 A11 ' a12 A12a13A3a31a32a33a11a12a13a22a23a21a23+ a13a21a21a22a23=a11a12a32a33a31a33a31a31a32a33a22a32其中 G 稱為元素aj的代數(shù)余子式(algebraic complement minor)( j = 1,2,3)

5、, M h稱為元素a1j的余子式(complement minor),它是中劃去元素aj所在的行、列后所余下的元素按原位置組成的二階行列式.,對(duì)于三元線性方程組4 .三元線性方程組的解法：引進(jìn)了三階行列式311X1+ a12X2*a13X3 -b1a21X122X2+ a23X3 =二 b21a31 X1+ a32X2* a33 X3 二:b3X1 :1=1 X2_ Al_ x X33的解就可寫成：，d(j=1,2,3)是將的第j列稱也為方程組(1 4)的系數(shù)行列式，它是由未知數(shù)的所有系數(shù)組成的行列式換成常數(shù)列而得到的三階行列式。5 .三階行列式對(duì)角線法則計(jì)算法則：如圖1 1.例1計(jì)算三階行列

6、式圖1一1-13230-2-2 13解-1 330-2 12-231=(-1)(-1)-23-13(-1)3-2-22(-1)13-2=(-1) 2 -3 5 2 3-11例2解方程組|x1 2x2 3x3 = 12x1 2x2 5x3 = 23x1 5x2 x3 = 3解利用(18)式來(lái)求解方程組.x1 J=l1,x2-=Q=0,x3,s 15.:15-：151.1.2 n階行列式1.n階行列式定義：由n2個(gè)數(shù)排成n行n列的式a142a21a22aman2a2nannn='a1k A1kk工左端稱為n階行列式(n-th determinant)它等于其右端展開式運(yùn)算所得到的數(shù)。其中A

7、1j =(1)1由M( j =1,2，n)稱為元素ah的代數(shù)余子式,M稱為稱為元素a的余子式.n階行列式一般可用或 Dn表示.當(dāng)n=1時(shí)稱為一階行列式，規(guī)定一階行列式|a|的值等于a.2.代數(shù)余子式定義：把Aj =(-1)i4jMij稱為元素aij的代數(shù)余子式，M ij稱為稱為元素a。的余子式(i, j =1,2,，n),它是n階行列式(1 10)中劃去元素a。所在第i行第j列后余下的n 1階行列式，即a11a1 j 1a1j中 M ij =ai J.1 -aijiai d.j 書 -ai +1H aai + j 1ai¥j 書，a n1 .anjanj書-al nHinai 1na

8、nn例3計(jì)算四階行列式3 04 1D4 =6 50 -50270-2-1解:由定義有D43-46-30154007-2-520-1=3(-1)1 107-220-1(-5)(-1)14-46-307-2=3 1 (-1)7-20-1(-1)13-2+ 5.|(-4) .(-1)7-21 (-1)1 26-3=3(-7 -76) 5(152-9) =466a110000 a2200(1)對(duì)角行列式；(2)下三角行列式00a330000 a44卜面我們計(jì)算幾個(gè)特殊行列式 例4計(jì)算行列式，有a11000a21a2200a31a32a330a41a42a43a443110000a220000a3300

9、00a44解：(1)由行列式定義二an(-1)1 1a220a330a44= a11a22 ( 一 1)1 書 a330a44a11 a22 a33 a44-3 4用歸納的方法，可證得n階對(duì)角行列式a1100aii 000a2200321a2200,/、1 書一 一 / 1 平a330=an (-1)a32 a330.=&1 a22 (-1)ooona31a32a330a43 a44a42a43a44341a42a43 a44(2)由行列式定義，有二ai a22a33a44用歸納的方法，對(duì)于n階下三角行列式可證得下面的結(jié)論:a210 a2200= a11a22.一annaman2ann同學(xué)們自已思考一下，行列式000 al400am00 a230與0a2,n A00 a32