時間序列分析與應用 R語言例子

1、3.5 預測在預測的過程中，我們的目標是根據(jù)現(xiàn)有的數(shù)據(jù)xnx1來預測未來的值xn+m，m=1，2， 在這一節(jié)中，我們假定這一時間序列xt是平穩(wěn)的，并且其模型的參數(shù)是已知的。有關未知參數(shù)模型的預測我們將在后面的部分加以討論。Xn+m的最小均方誤差預測為： 因為條件期望最小化均方誤差為 （3.51）其中g（x）是觀測值x的函數(shù)。首先，我們來看預測值是觀測值的線性函數(shù)的情形，在這種情況下，預測值的表達形式為 （3.52）其中0，1n都是真實確定的數(shù)。使均方預測誤差最小化的（3.52）式形式的線性預測我們稱之為最優(yōu)線性預測（BLPs），我們可以看到，線性預測僅僅依賴于其過程的二階矩。而這個二階矩我們可

2、以很容易地從現(xiàn)有的數(shù)據(jù)中估計出來。這一節(jié)中很多的內(nèi)容被附錄B中的理論部分加強了。例如，定理B.3說明了如果這個過程是高斯過程的話，那么最小均方誤差預測與最優(yōu)線性預測將是一致的。如下的性質(zhì)是基于投影定理（定理B.1）而得出的。性質(zhì)P3.3：平穩(wěn)過程的最優(yōu)線性預測給定數(shù)據(jù)x1，x2，xn，最優(yōu)線性預測，其中，m1，那么這個最優(yōu)線性預測可以通過求解以下方程得到： （3.53）其中x0=1.式（3.53）定義的房產(chǎn)稱為預測方程，可以用來求解系數(shù)。如果E（xt）=u，那么當k=0時，由（3.53）的第一個方程即可以得到： 將期望值代入（3.52）中可以得到 于是，最優(yōu)線性預測的形式可以表示為 因此，當我

3、們討論這個估計值的時候，我們會考慮到=0的情況，這種情況也是不失一般性的，而在這種情況下，0=0.接下來，首先我們考慮一步向前預測，也就是給定，我們希望預測到時間序列的下一個時點的值Xn+1，那么Xn+1這一預測值的最優(yōu)線性預測BLP即為： （3.54）其中，為了更簡潔地表示，我們在（3.54）中將（3.52）中的k寫成，k=1，2n。利用性質(zhì)P3.3，系數(shù)應滿足 (3.55) 這個預測方程可以用矩陣的形式表示為： （3.56）其中是一個n*n矩陣，和都是n*1維向量。矩陣n是非負正定的，如果n是奇異的，那么（3.56）就會有很多的解，但是由投影定理可知，Xnn+m卻是唯一的。如果n是非奇異的

4、，那么n的解就是唯一的，即： （3.57）對于ARMA模型，由于，當時，（h）0，由這些條件足以確保n是正定的，有時候可以很方便地用向量的形式寫出一步向前預測的表達式： （3.58）其中。一步向前預測的均方誤差為： （3.59）式3.59可以由3.57和3.58證明：例題3.17 對AR（2）的預測假設有一個因果型的AR（2）過程，和一個觀測值x1，然后用3.57的方程，可以得到基于x1的一步向前預測值x2為 現(xiàn)在，假設我們想用觀測值x2和x1來作一個一步向前預測x3，我們也可以用3.55來求解 為了得到系數(shù)的解，我們也可以利用3.57矩陣的形式 但是，從模型中我們可以看出：，因為滿足預測方程（3.53），即： 實際上，此例中唯一的系數(shù)解為：和，再繼續(xù)使用這種方法，我們就可以很容易證明當n2時， 然后再擴展到一般的情況：如果時間序列是一個因果關系AR（p）過程，當np時，有 （3.60）對于一般的ARMA模型，預測方程不會像純粹的自回歸模型那么簡單，另外，當n很大的時候，沒辦法使用3.57，因為3.57中要求一個很大的矩陣的逆矩陣，然而，迭代法不要求求矩陣的逆。性質(zhì)P