最近九年北京高考數(shù)學(xué)(理)壓軸題(共14頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上1(北京17)設(shè)an和bn是兩個(gè)等差數(shù)列，記cn=maxb1a1n,b2a2n,bnann(n=1,2,3,)，其中maxx1,x2,xs表示x1,x2,xs這s個(gè)數(shù)中最大的數(shù)（）若an=n，bn=2n1，求c1,c2,c3的值，并證明cn是等差數(shù)列；（）證明：或者對(duì)任意正數(shù)M，存在正整數(shù)m，當(dāng)nm時(shí)，；或者存在正整數(shù)m，使得cm,cm+1,cm+2,是等差數(shù)列2（北京16）設(shè)數(shù)列A： ， , (N2)。如果對(duì)小于n(2nN)的每個(gè)正整數(shù)k都有，則稱n是數(shù)列A的一個(gè)“G時(shí)刻”。記“G（A）是數(shù)列A 的所有“G時(shí)刻”組成的集合。（I）對(duì)數(shù)列A：-2，2，-1，1，3，寫

2、出G（A）的所有元素；(II)證明：若數(shù)列A中存在使得>，則G（A）；(III）證明：若數(shù)列A滿足- 1（n=2,3, ,N）,則G（A）的元素個(gè)數(shù)不小于-。3（北京15）已知數(shù)列滿足：，且記集合（）若，寫出集合的所有元素；（）若集合存在一個(gè)元素是3的倍數(shù)，證明：的所有元素都是3的倍數(shù)；（）求集合的元素個(gè)數(shù)的最大值4（北京14）對(duì)于數(shù)對(duì)序列，記，其中表示和兩個(gè)數(shù)中最大的數(shù)，（1） 對(duì)于數(shù)對(duì)序列 P(2,5),(4,1)，求的值.（2） 記為四個(gè)數(shù)中最小值，對(duì)于由兩個(gè)數(shù)對(duì)組成的數(shù)對(duì)序列g(shù) 和，試分別對(duì)和的兩種情況比較和的大小.（3）在由5個(gè)數(shù)對(duì)組成的所有數(shù)對(duì)序列中，寫出一個(gè)數(shù)對(duì)序列 使最小

3、，并寫出的值.（只需寫出結(jié)論）.5（北京13）已知是由非負(fù)整數(shù)組成的無(wú)窮數(shù)列，該數(shù)列前項(xiàng)的最大值記為，第項(xiàng)之后的各項(xiàng)，的最小值記為，（1）若為，是一個(gè)周期為4的數(shù)列（即對(duì)任意，）寫出，的值。（2）設(shè)為非負(fù)整數(shù)，證明：（）的充分必要條件為是公差為的等差數(shù)列。（3）證明：若，（）則的項(xiàng)只能是1或2，且有無(wú)窮多項(xiàng)為1.6（北京12）設(shè)A是由m×n個(gè)實(shí)數(shù)組成的m行n列的數(shù)表，滿足：每個(gè)數(shù)的絕對(duì)值不大于1，且所有數(shù)的和為零，記S(m，n)為所有這樣的數(shù)表構(gòu)成的集合。對(duì)于AS(m,n),記ri(A)為A的第行各數(shù)之和（1m），Cj(A)為A的第j列各數(shù)之和（1jn）：記K(A)為r1(A),R2

4、(A),Rm(A),C1(A),C2(A),Cn(A)中的最小值。（1） 對(duì)如下數(shù)表A，求K（A）的值；11-0.80.1-0.3-1（2）設(shè)數(shù)表AS（2,3）形如11CAB-1求K（A）的最大值；（3）給定正整數(shù)t，對(duì)于所有的AS（2,2t+1），求K（A）的最大值。7（北京11）若數(shù)列（）滿足，則稱為數(shù)列，記。（）寫出一個(gè)滿足，且的數(shù)列；（）若，證明數(shù)列是遞增數(shù)列的充要條件是；8（北京10）已知集合對(duì)于，定義A與B的差為A與B之間的距離為（）證明：，且;（）證明：三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù)() 設(shè)P，P中有m(m2)個(gè)元素，記P中所有兩元素間距離的平均值為(P). 證明：（P）.9（北京09

5、）已知數(shù)集具有性質(zhì)；對(duì)任意的，與兩數(shù)中至少有一個(gè)屬于. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）分別判斷數(shù)集與是否具有性質(zhì)，并說(shuō)明理由；（）證明：，且；（）證明：當(dāng)時(shí)，成等比數(shù)列.k.s.5. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 1(北京17) 【解析】（1）易知，且，下面我們證明，對(duì)且，都有當(dāng)且時(shí)，且，因此，對(duì)且，則又，故對(duì)均成立，從而為等差數(shù)列（2）設(shè)數(shù)列與的公差分別為，下面我們考慮的取值對(duì)，考慮其中任意項(xiàng)（且），下面我們分，三種情況進(jìn)行討論（1）若，則若，則則對(duì)于給定的正整數(shù)而言，此時(shí)，故為等差數(shù)列若，則則對(duì)于給定的正整數(shù)而言，此時(shí)，故為等差數(shù)列此時(shí)取，則是等差數(shù)列，命題成立（2

6、）若，則此時(shí)為一個(gè)關(guān)于的一次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)的一次函數(shù)故必存在，使得當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，（，）因此，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，故從第項(xiàng)開始為等差數(shù)列，命題成立（3）若，則此時(shí)為一個(gè)關(guān)于的一次項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)的一次函數(shù)故必存在，使得當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，（，）因此，當(dāng)時(shí)，此時(shí)令，下面證明對(duì)任意正數(shù)，存在正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，若，則?。ū硎静淮笥诘淖畲笳麛?shù)）當(dāng)時(shí)，此時(shí)命題成立若，則取當(dāng)時(shí)，此時(shí)命題也成立因此，對(duì)任意正數(shù)，存在正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，綜合以上三種情況，命題得證2（北京16）解：（）根據(jù)題干可得，a1=2，a2=2，a3=1，a4=1，a5=3，a1a2滿足條件，2滿足條件，a2a3不滿足條件，3不滿足條件，a2a4不滿足條件，4

7、不滿足條件，a1，a2，a3，a4，均小于a5，因此5滿足條件，因此G（A）=2，5（）因?yàn)榇嬖赼na1，設(shè)數(shù)列A中第一個(gè)大于a1的項(xiàng)為ak，則aka1ai，其中2ik1，所以kG（A），G（A）；（）設(shè)A數(shù)列的所有“G時(shí)刻”為i1i2Lik，對(duì)于第一個(gè)“G時(shí)刻”i1，有a1ai（i=2，3，L，i11），則ai1對(duì)于第二個(gè)“G時(shí)刻”i1，有ai（i=2，3，L，i11），則1類似的1，1于是，k（）+（）+L+（）+（a1）=a1對(duì)于aN，若NG（A），則=aN若NG（A），則aN，否則由（2）知，L，aN，中存在“G時(shí)刻”與只有k個(gè)“G時(shí)刻”矛盾從而ka1aNa13（北京15）解：（） （

8、）因?yàn)榧洗嬖谝粋€(gè)元素是3的倍數(shù)，所以不妨設(shè)是3的倍數(shù)。 由 當(dāng)時(shí)，都是3的倍數(shù)。 如果，則集合的所有元素都是3的倍數(shù)。 如果，因?yàn)榛颍?所以是3的倍數(shù)， 于是是3的倍數(shù)。 類似可得，都是3的倍數(shù)。綜上，若集合存在一個(gè)元素是3的倍數(shù)，則的所有元素都是3的倍數(shù)。（）若，由，可歸納證明， 因?yàn)槭钦麛?shù)，由， 所以是2的倍數(shù)。 從而當(dāng)時(shí)，時(shí)4的倍數(shù)。 如果是3的倍數(shù)，由（）知對(duì)所有正整數(shù)，是3的倍數(shù)。 因此當(dāng)時(shí)，.這時(shí)的元素個(gè)數(shù)不超過(guò)5. 如果不是3的倍數(shù)，由（）知對(duì)所有正整數(shù)，不是3的倍數(shù)。因此當(dāng)時(shí)，這時(shí)的元素個(gè)數(shù)不超過(guò)8. 當(dāng)時(shí)，由8個(gè)元素。 綜上可知：集合的元素個(gè)數(shù)的最大值為8.4（北京14）

9、解：（I）=8（） .當(dāng)m=a時(shí)，=因?yàn)椋?，所以?dāng)m=d時(shí)，因?yàn)?，且所以。所以無(wú)論m=a還是m=d，都成立。（）數(shù)對(duì)序列（4,6），（11,11），（16,11），（11,8），（5,2）的值最小，=10，=26，=42，=50，=525（北京13）解：（1）， （2）充分性：若是公差為的等差數(shù)列，則于是，必要性：若（），假設(shè)是第一個(gè)使得的項(xiàng)，則，與矛盾因此是不減的數(shù)列進(jìn)而，即因此是公差為的等差數(shù)列。（3）首先，中的項(xiàng)不能是，否則，矛盾 其次，中的項(xiàng)不能超過(guò)，用反證法證明如下： 若中有超過(guò)的項(xiàng)，設(shè)是第一個(gè)大于的項(xiàng)，中一定存在某項(xiàng)為，否則與矛盾。當(dāng)時(shí)，否則與矛盾；因此存在最大的在到之間，使得，

10、此時(shí)綜上，中沒(méi)有超過(guò)的項(xiàng)所以中的項(xiàng)只能是或下面證明有無(wú)數(shù)個(gè)，用反證法證明如下：若為最后一個(gè)，則，矛盾因此有無(wú)數(shù)個(gè)6（北京12）解：（1）由題意可知，（2）先用反證法證明：若，則，同理可知，由題目所有數(shù)和為即與題目條件矛盾易知當(dāng)時(shí)，存在的最大值為1（3）的最大值為.首先構(gòu)造滿足的：，.經(jīng)計(jì)算知，中每個(gè)元素的絕對(duì)值都小于1，所有元素之和為0，且，.下面證明是最大值. 若不然，則存在一個(gè)數(shù)表，使得.由的定義知的每一列兩個(gè)數(shù)之和的絕對(duì)值都不小于，而兩個(gè)絕對(duì)值不超過(guò)1的數(shù)的和，其絕對(duì)值不超過(guò)2，故的每一列兩個(gè)數(shù)之和的絕對(duì)值都在區(qū)間中. 由于，故的每一列兩個(gè)數(shù)符號(hào)均與列和的符號(hào)相同，且絕對(duì)值均不小于.設(shè)中

11、有列的列和為正，有列的列和為負(fù)，由對(duì)稱性不妨設(shè)，則. 另外，由對(duì)稱性不妨設(shè)的第一行行和為正，第二行行和為負(fù).考慮的第一行，由前面結(jié)論知的第一行有不超過(guò)個(gè)正數(shù)和不少于個(gè)負(fù)數(shù)，每個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值不超過(guò)1（即每個(gè)正數(shù)均不超過(guò)1），每個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值不小于（即每個(gè)負(fù)數(shù)均不超過(guò)）. 因此，故的第一行行和的絕對(duì)值小于，與假設(shè)矛盾. 因此的7（北京11）解：（）0，1，2，1，0是一具滿足條件的E數(shù)列A5。（答案不唯一，0，1，0，1，0也是一個(gè)滿足條件的E的數(shù)列A5）（）必要性：因?yàn)镋數(shù)列A5是遞增數(shù)列，所以.所以A5是首項(xiàng)為12，公差為1的等差數(shù)列.所以a2000=12+（20001）×1=201

12、1.充分性，由于a2000a10001，a2000a10001a2a11所以a2000a19999，即a2000a1+1999.又因?yàn)閍1=12，a2000=2011, 所以a2000=a1+1999.故是遞增數(shù)列.綜上，結(jié)論得證。（）令因?yàn)樗砸驗(yàn)樗詾榕紨?shù),所以要使為偶數(shù),8（北京10）證明：（I）設(shè)， 因?yàn)?，所? 從而 又由題意知，.當(dāng)時(shí)，; 當(dāng)時(shí)，所以(II)設(shè)， ，. 記，由（I）可知 所以中1的個(gè)數(shù)為，的1的個(gè)數(shù)為。 設(shè)是使成立的的個(gè)數(shù)，則 由此可知，三個(gè)數(shù)不可能都是奇數(shù)， 即,三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù)。（III）,其中表示中所有兩個(gè)元素間距離的總和，設(shè)種所有元素的第個(gè)位置的數(shù)字中共有個(gè)1，個(gè)0則=由于所以從而9（北京09）（）由于與均不屬于數(shù)集，該數(shù)集不具有性質(zhì)P. 由于都屬于數(shù)集， 該數(shù)集具有性質(zhì)P. （）具有性質(zhì)P，與中至少有一個(gè)屬于A，由于，