指數(shù)與指數(shù)函數(shù)板塊二學生版

1、Go the distance板塊二.指數(shù)函數(shù)典例分析題型一 指數(shù)函數(shù)的定義與表示【例1】求下列函數(shù)的定義域æ 1 ö5 x1(4) y = (0.7)x(1) y = 23-x(2) y = 32 x +1(3) y = ç÷è 2 ø【例2】求下列函數(shù)的定義域、值域1 y = 3- x ；2 y = 0.51+2 x- x y = 2 x -1 ；【例3】求下列函數(shù)的定義域和值域：1211 y = 1- a x2 y = () x +3【例4】求下列函數(shù)的定義域、值域1(1) y = 0.4 x-1 ；(2) y = 3 5x-1

2、 .(3) y = 2x + 1Go the distance【例5】求下列函數(shù)的定義域1(1) y = 3x ;(2) y = 5 x -1 .已知指數(shù)函數(shù) f ( x) = ax (a > 0 , 且 a ¹ 1) 的圖象經(jīng)過點(3 , ) ，求 f (0) ， f (1) ，【例6】f (-3) 的值若 a > 1， b > 0 ，且ab + a-b = 2 2 ，則ab - a-b 的值為（）【例7】A 6B 2 或-2C -2D 2題型二 指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)【例8】 已知a > b > c > 1，比較下列各組數(shù)的大小：æ 1

3、 öbæ 1 öc11 abac ； ç； abac ； baca ÷ç ÷è a øè a ø【例9】 比較下列各題中兩個值的大?。?0.8-0 1 ， 0.8-0 2 ； 1.72 5 ，1.73 ； 1.70 3 ， 0.93 1 【例10】比較下列各題中兩個值的大小(2) 0.75-0 1 ，0.750 1(1) 30 8 ，30 7(3)1.012 7 ，1.013 5(4) 0.993 3 ，0.994 5Go the distance【例11】已知下列不等式，比較 m、n

4、 的大小2m < 2n(2) 0.2m > 0.2n(4) am > an (a > 1)(1)(3) am < an (0 < a < 1)【例12】圖中的曲線是指數(shù)函數(shù) y = ax 的圖象，已知a 取 3 , 1 , 3 四個值，則相應于3 10 54曲線c1 , c2 , c3 , c4 的a 依次為yc 3c 2c 4P2c 1P1 P4P31xO【例13】已知a = 5 -1 ，函數(shù) f (x) = ax ，若實數(shù)m，n 滿足 f (m) > f (n) ，則m，n 的大小2為【例14】設 a = 4 24 ， b = 3 12 ，

5、c = 6 ，則a ， b ， c 的大小是 【例15】若對 x Î1, 2 ，不等式2x+m > 2 恒成立，求實數(shù)m 的取值范圍Go the distance1函數(shù) y = ( )31- x【例16】的單調(diào)性【例17】函數(shù) f (x) = e|x| （）A是奇函數(shù)，在(-¥, 0 上是減函數(shù)C是奇函數(shù)，在0, +¥) 上是增函數(shù)B是偶函數(shù)，在(-¥, 0 上是減函數(shù)D是偶函數(shù)，在(-¥, +¥) 上是增函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，當 x Î(0 ，+ ¥) 時， f ( x) = -2x+1 ,求當 x 

6、06;(-¥ ，0) 時，【例18】已知函數(shù)f ( x) 的式.【例19】證明函數(shù) y = a x 和 y = a -x (a > 0且a ¹ 1) 的圖象關于 y 軸對稱。題型三 關于指數(shù)的復合函數(shù)1.二次函數(shù)復合型2æ 1 öx -2 x【例20】求函數(shù) y = ç 2 ÷單調(diào)區(qū)間，并證明è øGo the distance2æ 1 öx -2 x【例21】函數(shù) f (x) = ç 3 ÷的單調(diào)增區(qū)間為，值域為è ø【例22】函數(shù) f (x) =

7、 3 × 4x - 2x ，求 f (x) 在 x Î0, +¥) 上的最小值【例23】求函數(shù) f (x) = 4x - a × 2x+1 + 3 (x Î R) 的值域【例24】已知 y = 4x - 3 × 2x + 3 ，當其值域為1, 7 時， x 的取值范圍是 【例25】求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間2 y = a- x +3x+2 （ a > 0 ，且a 1 ）；已知9x - 10 ´ 3x + 9 0 ，求函數(shù) y = (1)x-1 - 4 × (1)x-1 + 5 最值422【例26】函數(shù) y = a-

8、2x -8x+1(0 < a < 1) 的單調(diào)增區(qū)間是【例27】設 f (x) = 1 + 2x + a × 4x (a Î R) ，當 x Î (-¥,1 時， f (x) 的圖象在 x 軸上方，求a 的Go the distance取值范圍【例28】如果函數(shù) y = a2x + 2ax - 1(a > 0, a ¹ 1) 在區(qū)間-1,1 上的最大值是14 ，求a 的值æ 1 öxæ 1 öx【例29】求函數(shù) f (x) = ç 4 ÷- ç 2 

9、7;+ 1 (x Î-3, 2) 的單調(diào)區(qū)間及其值域è øè ø【例30】已知-1 x 2 ，求函數(shù) f (x) = 3 + 2 × 3x+1 - 9x 的最大值和最小值- 2a (2x + 2-x ) 的最小值，并指出使 f ( x) 取得最小值時 x 的【例31】求函數(shù) f ( x) = 4值-2.分式函數(shù)復合型【例32】當 a1 時，證明函數(shù) f (x) =ax + 1是奇函數(shù)ax -1Go the distance【例33】求證下列命題：ax - a- x(1) f ( x) =（a0，a1)是奇函數(shù)；2(ax + 1)x(2

10、) f ( x) =（a0，a1）是偶函數(shù).ax -12x - 1【例34】已知函數(shù) f ( x) =+ 1 ，2x函數(shù) f ( x) 的奇偶性；(1)(2)求證函數(shù) f ( x) 在(-¥ ，+ ¥) 上是增函數(shù).2x - 1【例35】討論函數(shù) f (x) =的奇偶性、單調(diào)性，并求它的值域2x + 110x -10-x10x + 10-x【例36】已知 f (x) =，函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，并求 f (x) 的值域Go the distance及函數(shù) f ( x) 滿足4x = 1 + f ( x) ，且 f ( x ) + f ( x ) = 1，求 f ( x)+ x

11、【例37】正實數(shù) x ，x1 - f ( x)121212的最小值2【例38】設a Î R ， f (x) = a -(x Î R) ，若 f (x) 為奇函數(shù)，求a 的值2x +1【例39】在計算機的算法語言中有一種函數(shù)x 叫做取整函數(shù)（也稱函數(shù)），它表示 x的整數(shù)部分， 即x 是不超過 x 的最大整數(shù) 例如： 2 = 2 ， 3.1 = 3 ，2x1-2.6 = -3 設函數(shù) f (x) =-，則函數(shù) y = f (x) + f (-x) 的值域為 1 + 2x2題型四 其他綜合題目【例40】小明即將進入一大學就讀，為了要支付 4 年學費，小明欲將一筆錢存入，使得每年皆

12、有 40000 元可以支付學費而所提供的年利率為 6%，且為連續(xù)復利，試求出小明現(xiàn)在必須存入的錢的數(shù)額Go the distance- x2 +2 x+3 的單調(diào)區(qū)間【例41】求函數(shù) y = 2【例42】已知函數(shù) y =| 2x - 2 |，作出函數(shù)的圖象；根據(jù)圖象指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；根據(jù)圖象指出當 x 取什么值時，函數(shù)有最值【例43】方程2x = 2 - x 的解的個數(shù)為12|x| 【例44】已知函數(shù) f ( x) = 2x -，若 f (x) = 2 ，求 x 的值；若2t f (2t ) + mf (t ) 0 對于t Î1，2 恒成立，求實數(shù)m 的取值范圍【例45】函數(shù) y

13、= lg(3 - 4x + x2 ) 的定義域為M，當 xM 時，求 f ( x) = 2x + 2 - 3´ 44 的最值.2【例46】設 a 是實數(shù)， f ( x) = a -(xR)2x +1Go the distance(1) 試證明對于任意af ( x) 為增函數(shù)；(2) 試確定 a 值，使 f(x)為奇函數(shù).【例47】因為復雜的函數(shù)，往往是由多個簡單函數(shù)的加、減、乘、除運算得到，或者是多個函數(shù)的復合后得到的，比如下列函數(shù)： f (x) = 2x ，g (x) =x ，h(x) = x2 ，g éë f (x)ùû = g (2x )

14、 =f ( x) ，g ( x )2x則復 合 后 可 得 到 函 數(shù)和f ( x ) = 2 x ，像這樣，一個函數(shù)的函數(shù)值作為另一個函數(shù)的自變量f éëg ( x)ùû =的取值，得到的函數(shù)稱為復合函數(shù)；也可以由 f ( x) ，g ( x ) 進行乘法運算得到函數(shù) f ( x) g ( x) =x × 2x 所以我們在研究較復雜的函數(shù)時，常常設法把復雜的函數(shù)進行逆向操作，把其拆分轉化為簡單的函數(shù)，借助簡單函數(shù)的性質(zhì)進行研究復合函數(shù) f h éëg ( x)ùû 的為式為；其定義域f (x) g (x

15、) =x × 2x 是增函數(shù)，那么兩個增函數(shù)相乘后得到的新函數(shù)是可否一定是增函數(shù)？若是請證明，若不是，請舉一個反例；已知函數(shù) f (x) =x - 2-x ，若 f ( x + 1) > f (2x - 1) ，則 x 的取值范圍為請用函數(shù) f (x) = 2x ，g (x) = x ，h(x) = x2 ，k (x) = ln x 中的兩個進行復合，得到三個函數(shù)，使它們分別為偶函數(shù)且函數(shù)、奇函數(shù)且非偶函數(shù)、非偶函數(shù)a【例48】已知函數(shù) f (x) =(ax - a-x ) ，其中a > 0 ， a ¹ 1a2 -1Go the distance函數(shù) f (x)

16、 的奇偶性；函數(shù) f (x) 的單調(diào)性，并證明a【例49】已知 f (x) =(ax - a-x )(a > 0 , a ¹ 1) 是R 上的增函數(shù)，求a 的取值范圍a2 - 2【例50】已知函數(shù) f ( x) = b ax (其中B(3,24).(1)求 f ( x) ；a，b 為，且 a>0，a1)的圖象經(jīng)過點 A(1,6)，æ 1 öxæ 1 öx³ m 在 x Î(-¥ ，1)+ ç 3 ÷成立，求實數(shù)m 的取值范圍.(2)若不等式ç 2 ÷è

17、øè ø【例51】已知 f (x) = x æ+ 1 ö 1ç2 ÷2 -1xèø求證： f (x) > 0 ；若 F (x) = f (x + t) + f (x - t) （ t 為常數(shù)），F(xiàn) (x) 的奇偶性Go the distancemina ，b ，c【例52】用表 示 a ， b ， c 三 個 數(shù) 中 的 最 小 值 ， 設f (min2x ，x + 2 ，10 - x (x 0) ，則 f (x) 的最大值為（）A4B5C6D7【例53】已知函數(shù) f ( x) = ax 滿足條件：

18、當 x Î(-¥,0) 時， f ( x) > 1 ；當 x Î (0,1) 時，不等f (1 + mx - x2 ) >式， f (3mx -1) >f (m + 2) 恒成立，求實數(shù)m 的取值范圍且a ¹ 1) 仔區(qū)間0, + ¥) 上是增函數(shù)，那么【例54】如果函數(shù) f (x) = ax (ax - 3a2 -1) (a > 0,實數(shù)a 的取值范圍是（）é 3B,ö1A æ 0, 2 ùC (1,D æ 2 , +¥ö3ùêçç 3÷3 ú÷ûèûèø