眼科病床安排的數(shù)學(xué)模型獲國家一等獎的數(shù)模論文_百度文庫

1、眼科病床安排的數(shù)學(xué)模型摘 要本文解決的是醫(yī)院眼科病床的安排問題,現(xiàn)醫(yī)院安排病人入院的原則是先來先服 務(wù),這樣雖然公平,但缺乏合理性以致等待住院的病人隊列越來越長,為解決此問題, 我們建立了三個最優(yōu)化模型。對于問題一:我們確定了三個評價指標(biāo):手術(shù)前的平均逗留時間 q T ,平均每天出院 人數(shù) NO ,病人手術(shù)前的準(zhǔn)備時間 g T 。然后計算出在原來先來先服務(wù)的原則下各指標(biāo)值 為:13.1519q T =, 7.8605NO =, 2.4413g T =。對于問題二:我們采用優(yōu)先級原則動態(tài)地對病床進行安排。首先,統(tǒng)計初始數(shù)據(jù), 通過 6SQ 軟件進行分布的卡方擬合檢驗得:每類病人的到來均服從泊松分

2、布、術(shù)后觀察 時間服從均勻分布。然后,我們發(fā)現(xiàn)合理的調(diào)度方案必須使得病人的術(shù)前準(zhǔn)備時間盡量 短。因此,重新制定入院規(guī)則:外傷優(yōu)先級始終最高;其它病的優(yōu)先級隨時間的變化而 變化。接著,再以三個指標(biāo)為目標(biāo)函數(shù),病人入院規(guī)則為約束建立了多目標(biāo)的最優(yōu)化模 型,最后,根據(jù)入隊與服務(wù)時間服從的分布,用計算機隨機模擬,得到在隊列穩(wěn)定時, 此規(guī)則下三個指標(biāo)值為:10.311q T =, 9.633NO =9.633, 1.6526g T =;這樣手術(shù)前的 平均逗留時間減少 21.6%,平均每天出院人數(shù)增加了 22.55%,平均術(shù)前準(zhǔn)備時間減少了 32.31%。對于問題三:在問題二的計算機隨機模擬的基礎(chǔ)上,已經(jīng)

3、可以求得對應(yīng)的等待隊列 中病人的入院時間的模擬結(jié)果,因為存在一定隨機性,我們模擬 10次,取出每次所得 結(jié)果中的模擬入院時間,作為病人的一個大致入院時間。對于問題四:由于星期六與星期日不安排除了外傷手術(shù)的其它手術(shù), 故安排在周四, 五住院的視網(wǎng)膜和青光眼病人的手術(shù)要推遲到下周二、四,以此我們同樣建立了多目標(biāo) 的最優(yōu)化模型,得出在隊列穩(wěn)定時,三個指標(biāo)值分別為:10.436q T =, 9.1667NO =, 2.017g T =;對于問題五:為便于醫(yī)院的管理,可根據(jù)各類病人服從的分布按照比例給各類病人 安排固定的病床數(shù),但要先單獨分配外傷類的病床,因為醫(yī)院要保證有足夠的床鋪滿足 外傷類病人,據(jù)統(tǒng)

4、計結(jié)果知外傷病人到達和外傷病人被服務(wù)的時間都是服從泊松分布, 則先建立排隊論中的 M/M/C模型求出分配給外傷病人的病床數(shù), 余下的病床按照一定的 比例分配給其它類的病人。為得到平均逗留時間最短,我們建立了單目標(biāo)最優(yōu)化模型。關(guān)鍵詞:優(yōu)先級 調(diào)度 排隊論 計算機模擬 最優(yōu)化1. 問題重述醫(yī)院就醫(yī)排隊是大家都非常熟悉的現(xiàn)象,它以這樣或那樣的形式出現(xiàn)在我們面前, 例如,患者到門診就診、到收費處劃價、到藥房取藥、到注射室打針、等待住院等,往 往需要排隊等待接受某種服務(wù)。在本文中,我們考慮某醫(yī)院眼科病床的合理安排的數(shù)學(xué)建模問題。該醫(yī)院眼科門診每天開放,住院部共有病床 79張。該醫(yī)院眼科手術(shù)主要分四大類:

5、白內(nèi)障、視網(wǎng)膜疾病、青光眼和外傷。附錄一中給出了 2008年 7月 13日至 2008年 9月 11日這段時間里各類病人的情況。各類眼病手術(shù)的安排情況:白內(nèi)障手術(shù):較簡單,而且沒有急癥。目前該院是每周一、三做白內(nèi)障手術(shù),此類 病人的術(shù)前準(zhǔn)備時間只需 1、 2天。做兩只眼的病人比做一只眼的要多一些,大約占到 60%。如果要做雙眼是周一先做一只,周三再做另一只。外傷手術(shù):通常屬于急癥, 病床有空時立即安排住院, 住院后第二天便會安排手術(shù)。 視網(wǎng)膜、青光眼手術(shù):比較復(fù)雜,有各種不同情況,但大致住院以后 2-3天內(nèi)就可 以接受手術(shù),主要是術(shù)后的觀察時間較長。這類疾病手術(shù)時間可根據(jù)需要安排,一般不 安排

6、在周一、周三。由于急癥數(shù)量較少,建模時這些眼科疾病可不考慮急癥。該醫(yī)院眼科手術(shù)條件比較充分,在考慮病床安排時可不考慮手術(shù)條件的限制,但考 慮到手術(shù)醫(yī)生的安排問題,通常情況下白內(nèi)障手術(shù)與其他眼科手術(shù)(急癥除外不安排 在同一天做。當(dāng)前該住院部對全體非急癥病人是按照 FCFS (First come, First serve 規(guī)則安排住院,但等待住院病人隊列卻越來越長,醫(yī)院方面希望你們能通過數(shù)學(xué)建模來 幫助解決該住院部的病床合理安排問題,以提高對醫(yī)院資源的有效利用。本文需解決的問題有:問題一:試分析確定合理的評價指標(biāo)體系, 用以評價該問題的病床安排模型的優(yōu)劣。 問題二:試就該住院部當(dāng)前的情況,建立合

7、理的病床安排模型,以根據(jù)已知的第二 天擬出院病人數(shù)來確定第二天應(yīng)該安排哪些病人住院。 并對你們的模型利用問題一中的 指標(biāo)體系作出評價。問題三:作為病人,自然希望盡早知道自己大約何時能住院。能否根據(jù)當(dāng)時住院病 人及等待住院病人的統(tǒng)計情況,在病人門診時即告知其大致入住時間區(qū)間。問題四:若該住院部周六、周日不安排手術(shù),請你們重新回答問題二,醫(yī)院的手術(shù) 時間安排是否應(yīng)作出相應(yīng)調(diào)整 ?問題五:有人從便于管理的角度提出建議,在一般情形下,醫(yī)院病床安排可采取使 各類病人占用病床的比例大致固定的方案,試就此方案,建立使得所有病人在系統(tǒng)內(nèi)的 平均逗留時間(含等待入院及住院時間最短的病床比例分配模型。2. 模型的

8、假設(shè)與符號說明2.1模型的假設(shè)假設(shè) 1:題目所給數(shù)據(jù)是合理、正確的假設(shè) 2:視網(wǎng)膜與青光眼兩類病不考慮急癥假設(shè) 3:白內(nèi)障手術(shù)與其他眼科手術(shù)(急癥除外不安排在同一天假設(shè) 4:該醫(yī)院眼科手術(shù)條件比較充分,在安排病床時不考慮手術(shù)條件的限制 假設(shè) 5:對于問題四,假定周六和周日可安排外傷手術(shù),但不能安排其他手術(shù) 2.2符號說明3. 問題分析此題研究的是某醫(yī)院眼科病床合理安排的數(shù)學(xué)建模問題。要對病床進行合理的安 排,就要有合理的安排規(guī)則,尤其是在醫(yī)院病床不夠的時候。當(dāng)前該住院部對全體非急 癥病人是按照 FCFS (First come, First serve規(guī)則安排住院,這樣雖然對病人很公 平,但缺

9、乏合理性,例如根據(jù) FCFS 原則,白內(nèi)障雙眼的病人可能會在星期二入院,但 醫(yī)院規(guī)定“白內(nèi)障雙眼的患者在星期一做一只眼,在星期三做另一只眼” ,所以該患者 的術(shù)前準(zhǔn)備時間就變?yōu)?6天,而一般情況下,白內(nèi)障患者的術(shù)前準(zhǔn)備時間只需 1、 2天; 這樣的情況會延遲其它類病人的入院時間,進而使得病人隊列越來越長。在病床不夠的 情況下, 從醫(yī)院的角度講, 醫(yī)院自然希望在多做手術(shù)的同時, 減小病人占用病床的時間。 為了得到合理的安排規(guī)則,首先要確定合理的評價指標(biāo)體系,用此評價按該規(guī)則建立的 病床安排模型的優(yōu)劣。針對問題一:從病人的角度看,病人到醫(yī)院看病分為以下幾個階段 :掛號看病時間 即門診時間,入院,手

10、術(shù)前的準(zhǔn)備,手術(shù),手術(shù)后的觀察,出院。合理的安排就是讓病 人從掛號看病到出院的時間盡量的短。 但根據(jù)實際情況知病人的術(shù)后觀察時間是由病情 決定的, 故所建立的模型只能縮短門診看病到接受手術(shù)的時間間隔即病人手術(shù)前的逗留 時間,所以模型的評價指標(biāo)可以是病人手術(shù)前的平均逗留時間,平均術(shù)前準(zhǔn)備時間。從 醫(yī)院的角度看,我們可以將病床的周轉(zhuǎn)次數(shù)作為評價指標(biāo)。由于病床的周轉(zhuǎn)次數(shù)與醫(yī)院 每天出院人數(shù)是密切相關(guān)的在病床不夠的情況下,醫(yī)院每天出院的人數(shù)越多,能夠 入院的病人就越多,病床周轉(zhuǎn)次數(shù)就越多,醫(yī)院的效益就越好。所以,綜合考慮病人和 醫(yī)院的利益,我們把病人手術(shù)前的平均逗留時間,平均術(shù)前準(zhǔn)備時間,平均每天出院

11、人 數(shù)作為評價指標(biāo),當(dāng)前兩個指標(biāo)值越小,最后一個指標(biāo)值越大的時候,病床安排模型越 好。針對問題二:在確定病人入院規(guī)則時,要考慮以下幾點 :白內(nèi)障病人只能安排在周 一與周三做手術(shù),而其它病人除外傷病人外不能在周一和周三做手術(shù),還有不同的病人 的術(shù)前準(zhǔn)備時間不一樣;使得建立的入院規(guī)則能夠讓病人的等待時間盡量短,這就可以 縮短病人在醫(yī)院的時間,亦可縮短病人從門診到入院的時間。再對題給數(shù)據(jù)進行分析, 得出各類病人到門診看病的統(tǒng)計規(guī)律,然后就可以以問題一的評價指標(biāo)作目標(biāo)函數(shù),以 安排病人入院規(guī)則為約束建立一個病床安排的多目標(biāo)最優(yōu)化模型。針對問題三:根據(jù)各類病人的統(tǒng)計結(jié)果,可得出每天有多少人患病以及患什么

12、病, 找出其分布規(guī)律,然后根據(jù)病人的入院規(guī)則,可以得出各類病人大致在星期幾入院,再 根據(jù)術(shù)后觀察時間的統(tǒng)計規(guī)律,便可以得到病人的出院時間,從而可安排病人入院,這 樣就可在病人門診時告知其大致的入院時間。針對問題四:同問題二一樣,以問題一的評價標(biāo)準(zhǔn)作為目標(biāo)函數(shù),建立一個病床安 排的多目標(biāo)最優(yōu)化模型。但由于周六、日不安排手術(shù),會使得約束條件發(fā)生改變。 針對問題五:從便于管理的角度醫(yī)院可以根據(jù)各類病人的到達規(guī)律安排病床,故先 統(tǒng)計出各類病人的到達服從什么樣的分布, 再建立模型求出平均逗留時間最短時的病床 分配方案,但在分配時要把外傷類除外,因外傷類病人不允許等待,故分派給外傷病人 的病床必須保證每天

13、都能滿足需入院的外傷病人,因此先分配外傷類的病床,再統(tǒng)一分 配余下各類病的病床。4. 數(shù)據(jù)分析定義 1術(shù)后觀察時間指病人出院與第一次手術(shù)的時間間隔定義 2手術(shù)前的平均逗留時間指門診到第一次手術(shù)的平均時間根據(jù)對題給數(shù)據(jù)的統(tǒng)計結(jié)果知:4.1各類病的術(shù)前準(zhǔn)備時間時間為 1-7天(包括 1天和 7天4.2等待住院病人隊列越來越長的原因因為 08年 7月 13日 -08年 9月 11日平均每天到門診看病的人數(shù)為 8.6885人,平 均每天出院人數(shù)為 8.1163人,所以近似認(rèn)為平均每天到門診看病的人數(shù)為 8.6885人, 平均每天出院人數(shù)為 8.1163人。正因為每天到門診看病的人數(shù)大于每天出院的人數(shù),

14、 所以才導(dǎo)致了等待住院病人隊列越來越長。4.3各類病人的到達(病人到達時間指病人的門診時間服從泊松分布由于醫(yī)院就醫(yī)排隊是典型的排隊論問題,而一般的排隊論模型都是泊松輸入,所以 我們先假定病人的到達服從泊松分布, 然后根據(jù)附錄一給出的數(shù)據(jù)求出每天到門診看病 的各類病人的人數(shù)(統(tǒng)計結(jié)果見附錄二 , 再利用 6SQ 統(tǒng)計軟件進行卡方擬合優(yōu)度檢驗 得到如下結(jié)果(結(jié)果見表 4.1 : 根據(jù)指數(shù)分布與泊松分布的關(guān)系 1:如相繼兩個事件出現(xiàn)的間隔時間服從參數(shù)為 的指數(shù)分布,則在單位時間間隔內(nèi)事件出現(xiàn)的次數(shù)服從參數(shù)為 的泊松分布,即單位時 間內(nèi)該事件出現(xiàn) k 次的概率為( (0,1,2, , !k e p k

15、 k n k -X= 將各類病人平均每天到達的人數(shù),即 值代入式,可得相應(yīng)的概率密度函數(shù),計 算結(jié)果見表 4.2。 4.4首先統(tǒng)計出各類病人的術(shù)后觀察時間(統(tǒng)計結(jié)果見附錄三 ,根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果,我們 假定各類病人的術(shù)后觀察時間服從均勻分布, 然后通過 6SQ 統(tǒng)計軟件進行卡方擬合優(yōu)度 檢驗,檢驗結(jié)果見表 4.3。 4.5外傷病人住院時間服從泊松分布首先統(tǒng)計出外傷病人的住院時間,根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果,我們假定其服從泊松分布,然后 通過 6SQ 統(tǒng)計軟件進行卡方擬合優(yōu)度檢驗,檢驗結(jié)果見表 4.4.表 4.4: 5. 問題一的解答本文研究的是某醫(yī)院眼科病床的合理安排的數(shù)學(xué)建模問題, 對于病床安排模型的優(yōu)劣,不能

16、憑人們的主觀感受進行判斷,而要確定合理的評價指標(biāo)體系進行判斷,為此我 們確定了如下的評價指標(biāo)體系: 指標(biāo) 1:手術(shù)前的平均逗留時間手術(shù)前的平均逗留時間指門診到第一次手術(shù)的平均時間,其數(shù)學(xué)表達式為(51151( (n i qgi j q i T i j T i j T n i =+=該指標(biāo)值越小,表示病床安排模型越好。指標(biāo)二:平均每天出院人數(shù)平均每天出院人數(shù)的數(shù)學(xué)表達式為:511(ni j NO i j NO n=該指標(biāo)值越大,表示病床安排模型越優(yōu)。 指標(biāo)三:病人平均術(shù)前的準(zhǔn)備時間病人平均術(shù)前準(zhǔn)備時間的數(shù)學(xué)表達式為(51151(n i gi j g i T i j T n i =該指標(biāo)值越小,表

17、示病床分配模型越優(yōu)。對于題目中給出的以 FCFS 為原則(急癥除外的病床安排模型,我們通過求解得 到其三個評價指標(biāo)分別為:13.1519q T =天3387.860544NO =人(從題給數(shù)據(jù)知,在 7月 30日之前,只有外傷病人出院,但 在 7月 30日之后,各類病人均出院達到穩(wěn)定,所以用 7月 30日之后的統(tǒng)計數(shù)據(jù)求解平 均每天出院人數(shù)2.4413g T =天6. 問題二的解答該模型是為了解決醫(yī)院的病床安排問題,為了使病床的安排更加合理,我們只需使 三個評價指標(biāo)手術(shù)前的平均逗留時間 q T 最小,平均每天出院人數(shù) NO 最大,病人平 均術(shù)前的準(zhǔn)備時間 g T 最小即可,所以我們建立了如下的

18、目標(biāo)函數(shù):min max min q g T NO T 由于白內(nèi)障手術(shù)比較簡單,此類病人的術(shù)前準(zhǔn)備時間只需 1、 2天,而且根據(jù)附 表一知,各類病人的術(shù)前準(zhǔn)備時間均在 1-7天之內(nèi)(包括 1天和 7天 ,所以白內(nèi)障單 眼和雙眼病人術(shù)前準(zhǔn)備時間為 1-7天,即1( 7, 1,2g T i j i =由于視網(wǎng)膜和青光眼疾病比較復(fù)雜,大致住院以后 2-3天內(nèi)就可以接受手術(shù),而且根據(jù)附表一知,各類病人的術(shù)前準(zhǔn)備時間均在 1-7天之內(nèi)(包括 1天和 7天 ,所以 這兩類疾病的術(shù)前準(zhǔn)備時間為 2-7天,即2( 7, 3,4g T i j i =外傷疾病有空床時立即安排住院,且住院后第二天便會安排手術(shù),所以

19、此類病的 術(shù)前準(zhǔn)備時間為 1天,即(5( 1g T j =根據(jù)數(shù)據(jù)分析結(jié)果,為了縮短等待入院病人的隊列長度,我們制定了如下的病床 安排原則:原則 1 白內(nèi)障單眼患者一般安排在周一、周二、周六、周日入院 原則 2 白內(nèi)障雙眼患者一般安排在周六、周日入院原則 3 視網(wǎng)膜和青光眼患者安排在周三、周四、周五入院 原則 4 外傷病人當(dāng)天入院,第二天手術(shù)原則 5 當(dāng)病人等待時間達到 25天時,只要有空病床立即安排入院說明:外傷病人在任意一天優(yōu)先級是最高的,在某一天病人可安排住院此時此類病 (除外傷人的優(yōu)先級第二高,且若有兩類或兩類以上的病(除外傷人都可在同一天 入院,則這些病人優(yōu)先級第二高且相等,在這天不

20、安排住院的病人的優(yōu)先級最低。例如 白內(nèi)障單眼患者在周一、 周二、 周六、 周日的優(yōu)先級第二高, 在其它的時間優(yōu)先級最低。 故患者的優(yōu)先級隨時間動態(tài)的發(fā)生改變。因 為 ( ( h T i j 表 示 患 第 i 類 病 的 第 j 個 病 人 的 入 院 時 間 ( 1,2,3, h T i j = , ( 1h T i j =表示 2008年 7月 13日, ( 2h T i j =表示 2008年 7月 14日,依此類推 , 又由于 2008年 7月 13日是星期日,所以(1, 2, 3, ( 1%74, 5, 6, 0, h T i j -=表示該病人的入院時間為周一 表示該病人的入院時間

21、為周二 表示該病人的入院時間為周三 表示該病人的入院時間為周四 表示該病人的入院時間為周五 表示該病人的入院時間為周六 表示該病人的入院時間為周日(2根據(jù)式(2和病床安排原則,我們確定了如下的約束條件:(1(1( 1%712602(2( 1%7063( 1%7345,3, 44(5( 15( 25( ( 1, 2,3h h h g q q h T j T j T i j i T j T i j T i j T i j -=原則 , , , 原則 , 原則 , , 原則 原則 整數(shù)約束:, (%是求余運算(51151511(51151( ( min ( ( max ( min ( n i q g

22、 i j q i ni j n i g i j g i T i j T i j T n i NO i j NO n T i j T n i =+= (1( 7, 1, 22( 7, 3, 4(5( 1, (1( 1%71260%(2( 1%760( 1%7345,3, 4( 25( ( 1, 2,3g g g h h hq q h T i j i T i j i T j T j T j T i j i T i j T i j T i j =-=, , , s.t. 是求余運算 , , , 6.2模型一的求解首先我們由數(shù)據(jù)分析可知,對于每一類病人,從第一次接受手術(shù)到出院之間經(jīng)歷的 時間服從均勻分

23、布,每天到來的各類病人的數(shù)目分別服從各自參數(shù)的 possion 分布,我 們首先可以模擬得 79個已住院的人的出院時間(肯定在 9.11號之后 ,就可以將排隊 隊列的一定數(shù)量的病人送入服務(wù)隊列。 并且可以按照每天到來的各類病人的 possion 流 來補充每天的排隊隊列人數(shù)。接著,由于本題涉及到大量的隨機現(xiàn)象,故用一般的規(guī)劃方法難以求得最優(yōu)解,所 以我們采用一種計算機隨機模擬(相關(guān)程序見附錄五的算法求得本題的最優(yōu)解。算法思想:從 9月 12日開始,根據(jù)服務(wù)隊列中正在接受服務(wù)的對象的服務(wù)時間分 布,模擬得到正在接受服務(wù)的對象的出隊時間(即病人的出院時間 ,然后按照約束條 件中給定的的原則,將等待

24、隊列中的對象分配進入服務(wù)隊列,然后改變等待隊列與服務(wù) 隊列的狀態(tài),進行下一步的模擬,直到我們得到一定數(shù)量滿足我們需要的對象(即:滿 足退出條件 ,得出此時的天數(shù)即可。模擬的流程如下所示 :(注:退出條件即為我們需要用模擬分配病人的天數(shù)如 20或 60圖 6-1:計算機模擬的簡化流程圖 模擬后的數(shù)據(jù)的存儲格式為: 二次手術(shù)的時間。 102號以后是 ,表明該行數(shù)據(jù)是我們自己通過 possion流對隊列追 加顧客后的效果,是新加入排隊系統(tǒng)的,方便進行連續(xù)模擬。統(tǒng)計從 2008年的 9月 12日開始后 60天的隊列的長度,我們即可認(rèn)為在這段時間 內(nèi)的接受服務(wù)的對象達到了穩(wěn)定狀態(tài)。然后作出隊列長度的隨時

25、間的變化圖示:如下所 示: 0102030405060天 數(shù)對 應(yīng) 天 數(shù) 的 隊 列 長 度隊 長 隨 天 數(shù) 的 變 化 趨 勢圖 6-2:隊長隨時間變化趨勢此時,在我們的分配原則下,可以發(fā)現(xiàn)隊列的長度不斷減小,并且有趨于穩(wěn)定的趨 勢,我們可以認(rèn)為此時的穩(wěn)態(tài)是 50,因此我們認(rèn)為這種方案是比較合理的?，F(xiàn)在,我們 取得從 9月 12日后的 20天的一個模擬的入院安排情況,因為 20天已經(jīng)足夠確定我們 需要填滿的 102個排隊對象的的數(shù)據(jù)。 然后計算得我們定義的三個目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解為:病人手術(shù)前的平均逗留時間:12.1天(越小越好 病人平均術(shù)前準(zhǔn)備時間:1.6722天; (越小越好 平均每天出

26、院人數(shù):9人(越大越好 6.3模型一結(jié)果分析在這種分配方案下,我們發(fā)現(xiàn)與原模型的手術(shù)前的平均逗留時間:13.1519,平均 術(shù)前準(zhǔn)備時間:2.4413,平均每天出院人數(shù):7.8605相比,并沒有太大的差別,我們認(rèn) 為這是在隊列沒有進入穩(wěn)定狀態(tài)時的統(tǒng)計數(shù)據(jù)造成的,我們用以下的方法處理:我們可以認(rèn)為當(dāng)系統(tǒng)服務(wù)了 100個顧客后,它已經(jīng)進入了穩(wěn)定狀態(tài),又由于我們要 去足夠的數(shù)據(jù)才能具有說服力,因此我們定義一個評價區(qū)間:從第 100個排隊等待手術(shù) 的病人到第 30天結(jié)束時最后一個出院的病人。在此區(qū)間上,我們再用同樣的方法進行 評價,會發(fā)現(xiàn)我們的三個評價指標(biāo)值為:病人手術(shù)前的平均逗留時間:10.311天

27、 病人平均術(shù)前準(zhǔn)備時間:1.6526天; 平均每天出院人數(shù):9.633人此時我們就可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)這個排隊系統(tǒng)在盡量趨于穩(wěn)定狀態(tài)時,它的手術(shù)前的平均逗留時間、術(shù)前準(zhǔn)備時間、平均每天出院人數(shù)均比前邊的結(jié)果有了一定的優(yōu)化,這是由 于 9月 12日后的 20天的排隊系統(tǒng)受醫(yī)院最初的先來先服務(wù)的影響較大, 而當(dāng)系統(tǒng)服務(wù) 了 100個病人后,此時的排隊系統(tǒng)趨于穩(wěn)定,所以求得的結(jié)果較優(yōu)。從而進一步證明我們的排隊系統(tǒng)比原有的效率更高。7. 問題三的解答根據(jù)問題二的模型,我們已經(jīng)完全模擬出來了每位病人的入院時間、第一次手術(shù)時 間、出院時間(如上表所示 ,所以我們可以求得排隊隊列的 102人的入院時間,但是 每次隨

28、機模擬的結(jié)果均不相同,所以,我們可以通過模擬若干次,求出每次每一個病人 的出院時間,從中選擇一個最大值和一個最小值,將它作為病人的一個大概的入院時間 的區(qū)間。我們?nèi)∧M的次數(shù)為 10,下面是我們所得的一個近似的結(jié)果: 那么我們就可以根據(jù)以上表格中的數(shù)據(jù)確定出病人的大致入院區(qū)間:8. 問題四的解答針對問題四我們建立了模型二。問題四與問題二的區(qū)別在于:在問題二中,醫(yī)院每 天都可以安排手術(shù),而在問題四中,只能在周一至周五安排手術(shù)(外傷每天均可安排手術(shù) 。8.1模型二的建立以三個評價指標(biāo)最優(yōu)為目標(biāo)函數(shù):min max min q g T NO T 該模型的約束條件除了包含模型一的約束條件外,還有以下幾

29、個:由于白內(nèi)障手術(shù)之后安排在周一和周三,外傷手術(shù)每天都可以安排,所以周六和周 日不安排手術(shù)只會影響視網(wǎng)膜和青光眼的手術(shù)安排。在模型一給出的病床安排原則下, 對于視網(wǎng)膜病人和青光眼病人,將其中周三入院的手術(shù)安排在同一周的周五,在周四和 周五入院的手術(shù)安排在下周周二。據(jù)此,我們又建立了如下的約束條件:( ( 2( 1%73(51151511(51151( ( min ( ( max ( min ( n i q g i j q i ni j n i g i j g i T i j T i j T n i NO i j NO n T i j T n i =+=(1( 7, 1, 22( 7, 3, 4

30、(5( 1( 25( ( 1, 2,3(1( 1%71260(2( 1%760( ( 2( 1%73 ( ( 5( 1%74 g g gq q h h ho h h o h h T i j i T i j i T j T i j T i j T i j T j T j T i j T i j T i j T i j T i j T i j T =-=+-=+-= , s.t. , , , ( ( 4( 1%75o h h i j T i j T i j =+-= (%表示求余運算 8.2. 模型二的求解我們按照與問題二相同的思想,按照同樣的原理進行計算機模擬(相關(guān)程序見附錄 五 ,在這里只是改

31、變了對于青光眼和視網(wǎng)膜疾病的分配方案:若這兩類患者在周四、 周五分配入院,則他們均到下周二進行手術(shù)。統(tǒng)計從 2008年的 9月 12號開始后 60天的隊列的長度,我們即可認(rèn)為在這段時間 內(nèi)的接受服務(wù)的對象達到了穩(wěn)定狀態(tài)。然后作出隊列長度的隨時間的變化圖示:如下所 示:0102030405060 天 數(shù)對 應(yīng) 天 數(shù) 的 隊 列 長 度隊 長 隨 天 數(shù) 的 變 化 趨 勢圖 8-1:隊長隨時間的變化趨勢此時,我們同時發(fā)現(xiàn) :當(dāng)我們忽略外傷病人的等待時間時,隨著時間的推移,病人 的等待時間的規(guī)律如下圖所示: 病 例 序 號對 應(yīng) 病 例 的 等 待 時 間等 待 時 間 的 變 化 趨 勢圖 8

32、-2:病人的等待時間隨時間的變化趨勢此時,在我們的分配原則下,隊列的長度不斷減小,并且有趨于穩(wěn)定的趨勢,我們 可以認(rèn)為此時的穩(wěn)態(tài)等待人數(shù)是 60, 而且, 病人從就診到第一次手術(shù)的時間也有一個逐 步下降的趨勢,所以因此我們認(rèn)為這種分配的方案是比較合理的:據(jù)此我們可以在這種 條件下求得的三個指標(biāo)值:現(xiàn)在,我們同樣取得從 9月 12號后的 20天的一個模擬的入院安排情況,然后計算 得我們定義的三個目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解為:手術(shù)前的平均逗留時間:12.691天 病人平均術(shù)前準(zhǔn)備時間:2.2191天; 平均每天出院人數(shù):8.9人 8.3模型二的結(jié)果分析在這種分配方案下,我們發(fā)現(xiàn)與原模型的手術(shù)前的平均逗留時間

33、:13.1519,平均 術(shù)前準(zhǔn)備時間:2.4413,平均每天出院人數(shù):7.8605相比,并沒有太大的差別,所以可 以同樣按照問題二中的解決辦法,我們會發(fā)現(xiàn)我們的三個評價指標(biāo)值為:手術(shù)前的平均逗留時間:10.432天 病人平均術(shù)前準(zhǔn)備時間:2.017天; 平均每天出院人數(shù):9.1667人此時我們就可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)這個排隊系統(tǒng)在盡量趨于穩(wěn)定狀態(tài)時,它的各個指標(biāo)均比 前邊的結(jié)果有了一定的優(yōu)化,從而進一步證明我們的排隊系統(tǒng)比原有的效率更高。9. 問題五的解答針對問題五我們建立了模型三。 相關(guān)知識引入:在排隊論 23中有一種多服務(wù)臺多顧客的模型機制, 即 M/M/C(C>=2模型 . 顧客到達服務(wù)臺具

34、有隨機性,服從泊松分布,服務(wù)臺對顧客服務(wù)服從指數(shù)分布, 則:110011! ! k C C K C P k C C -=+ -001, ! 1, ! nn nn C P n C n P P n CC C - => 其中:單位時間內(nèi)顧客到達服務(wù)臺的平均人數(shù) , :單位時間內(nèi)服務(wù)臺服務(wù)的人數(shù) C:服務(wù)臺的個數(shù)( :( :P n C P n C >服務(wù)臺空閑的概率顧客到達服務(wù)臺需等待的概在問題五中,有人從便于管理的角度建議 “將各類病人占用的病床數(shù)大致固定” , 就此方案建立使得所有病人在系統(tǒng)內(nèi)的平均逗留時間最短的病床比例分配模型。在分配病床時因外傷病人特殊,故應(yīng)先分配病床,從數(shù)據(jù)統(tǒng)計知

35、患外傷的病人到醫(yī)院的人數(shù)服 1=(5 的泊松分布,醫(yī)院對其服務(wù)的時間同樣股從 17=的泊松分布,故 可把病床看作排隊系統(tǒng)中的服務(wù)臺,把外傷病人看作顧客,這樣就可以建立一個 M/M/C的模型,則只要 (5C 使得 (5P n C >盡量小,我們設(shè)定 (50.05P n C >,就能求出(5C ,即為安排給外傷病人的病床數(shù)。那么 41( *(79(5(i i C i C i =- 1, 2,3, 4i =設(shè)病人在在系統(tǒng)內(nèi)的平均逗留時間為 w T ,則 (51151( ( (n i qfi j w i T i j Ti j T n i =+=其中 ( q T i j 表示患第 i 類病的

36、第 j 個病人的等待入院時間, ( f T i j 表示患第 i 類病 的第 j 個病人的住院時間, ( n i 表示一段時間內(nèi)患第 i 類病的人數(shù)所以,目標(biāo)函數(shù)為(51151( ( min (n i qfi j w i T i j Ti j T n i =+=因各類病人都分配了相應(yīng)的病床, 故每一類病人在可在任意一天住院且是先來先服 務(wù)的,這一點和模型一,二不一樣,故約束條件只有:(1各類病人的術(shù)前準(zhǔn)備時間(2白內(nèi)障的手術(shù)只能安排在周一 三。(3由于分配給各類病人的病床數(shù)的比例大致固定,所以每天各類病人分別占用的 病床數(shù)不能超過醫(yī)院分配的數(shù)目,由此得到如下的約束:( ( ( (, 1,2,3

37、,4,5; 1,2, NI i j N i j NO i j C i i j +=(51151( ( min (n i qfi j w i T i j Ti j T n i =+=1( 7, 1, 22( 7, 3, 4(5( 11, 2,3, 4,5; 1, 2, ( 20( 1, 2,3( ( ( (,g g g q h T i j i T i j i T j i j T i j T i j NI i j N i j NO i j C i =+ s.t. ( 9.2模型三的求解與結(jié)果分析問題五:由 (50.05P n C >,即外傷病人到醫(yī)院不需等待的概率小于 0.05,通過 計算得

38、:當(dāng)分配 12張床給外傷病人時, 則外傷病人等待入院的概率小于 0.035(基本認(rèn) 和青光眼病人的逗留時間會減少,因為這兩種病的術(shù)前準(zhǔn)備時間可以控制在兩天內(nèi),這 樣就可使病人的住院時間縮短,使排隊的隊長變短?？墒前變?nèi)障病人的平均逗留時間會增多, 原因是這兩類病只能在周一, 周三做手術(shù), 這就使得在周三周日入院的病人要等到周一,三才能做手術(shù),這樣使得病人的住院 時間增長,使排隊的隊長變長。10. 模型的評價、改進及推廣10.1模型評價優(yōu)點:(1根據(jù)我們定下的安排病人入院規(guī)則,建立的模型在一定程度上縮短了病人排 隊的隊長,因為原模型的三個指標(biāo) 13.1519q T =, 7.8605NO =, 2

39、.4413g T =;我們建的 模型三個指標(biāo):10.311q T =, 9.633NO =, 1.6526g T =;這樣手術(shù)前的平均逗留時間減 少 21.6%, 平均每天出院人數(shù)增加了 22.55%,平均術(shù)前準(zhǔn)備時間減少了 32.31%;(2根據(jù)模型可推算出當(dāng)前病人的出院時間,故我們把表二出院時間的填充了; (3利用我們建立的模型二,可根據(jù)第二天擬出院的病人確定病人入院的最佳時 間;缺點:由于所給數(shù)據(jù)太少以致在統(tǒng)計數(shù)據(jù)時不是很準(zhǔn)確,又由于計算機模擬帶有一 定的隨機性,以致得到模型的三個指標(biāo)不是很讓人滿意。 10.2模型改進(1查詢更多的數(shù)據(jù),以使得統(tǒng)計結(jié)果更正確,也可使計算機模擬更少的數(shù)據(jù)或

40、 不模擬以減少不確定性。 因我們建模時沒有考慮到經(jīng)濟性, 若考慮到不同的手術(shù)經(jīng)費不 一樣,則在制定安排病人入院規(guī)則時要考慮一定的優(yōu)先級,即手術(shù)費用高的優(yōu)先級高。(2所建模型是針對當(dāng)前所給數(shù)據(jù)的,對長遠病人入院和出院的預(yù)測并不能很準(zhǔn)確,故建模時應(yīng)把時間加上去, 即建立動態(tài)規(guī)劃模型。使所建模型能準(zhǔn)確的預(yù)測出病人 的入院和出院時間。10.3模型推廣我們建的模型不僅可用于醫(yī)院病床安排, 也可用于其它資源的安排, 還可用于諸如 像試卷評價模型的其它類型的問題。參考文獻1 宋來忠,王志明 , 數(shù)學(xué)建模與實驗 , 北京:科學(xué)出版社 ,2005。2 運籌學(xué)教材編寫組編,運籌學(xué)(3版 ,北京:清華大學(xué)出版社,

41、2005.6 3 王玉升,排隊論模型及其在醫(yī)院管理中的作用 , 中國醫(yī)院管理 , 58-62, 1985.2附錄附錄一:2008-07-13到 2008-09-11的該醫(yī)院的病人信息(略 附錄四:未入院的 102名病人的最佳入院時間編號 生病類別 最佳入院時間1 白內(nèi)障 (雙眼 9月 13日2 視網(wǎng)膜疾病 9月 12日3 青光眼 9月 12日4 視網(wǎng)膜疾病 9月 12日5 視網(wǎng)膜疾病 9月 12日6 白內(nèi)障 (雙眼 9月 13日7 白內(nèi)障 9月 13日8 青光眼 9月 12日9 白內(nèi)障 (雙眼 9月 13日10 視網(wǎng)膜疾病 9月 12日11 視網(wǎng)膜疾病 9月 12日12 視網(wǎng)膜疾病 9月 12

42、日13 青光眼 9月 12日, 9月 17日 14 白內(nèi)障 9月 13日, 9月 14日 15 視網(wǎng)膜疾病 9月 12日, 9月 17日 16 視網(wǎng)膜疾病 9月 12日, 9月 17日 17 青光眼 9月 12日, 9月 17日 18 白內(nèi)障 (雙眼 9月 13日, 9月 14日 19 白內(nèi)障 (雙眼 9月 13日, 9月 14日 20 白內(nèi)障 (雙眼 9月 13日, 9月 14日 21 視網(wǎng)膜疾病 9月 12日, 9月 17日, 9月 18日 22 白內(nèi)障 9月 13日, 9月 14日 23 視網(wǎng)膜疾病 9月 12日, 9月 17日, 9月 18日 24 視網(wǎng)膜疾病 9月 12日, 9月 1

43、7日, 9月 18日 25 白內(nèi)障 9月 13日, 9月 14日 26 白內(nèi)障 9月 13日, 9月 14日 27 白內(nèi)障 (雙眼 9月 13日, 9月 14日, 9月 20日 28 白內(nèi)障 9月 14日, 9月 15日 29 視網(wǎng)膜疾病 9月 12日, 9月 17日, 9月 18日30 視網(wǎng)膜疾病 9月 12日, 9月 17日, 9月 18日 31 視網(wǎng)膜疾病 9月 12日, 9月 17日, 9月 18日, 9月 19日 32 白內(nèi)障 (雙眼 9月 14日, 9月 20日33 白內(nèi)障 9月 12日, 9月 17日, 9月 18日, 9月 19日 34 視網(wǎng)膜疾病 9月 12日, 9月 17日

44、, 9月 18日, 9月 19日 35 白內(nèi)障 9月 14日, 9月 15日36 視網(wǎng)膜疾病 9月 17日, 9月 18日, 9月 19日 37 視網(wǎng)膜疾病 9月 17日, 9月 18日, 9月 19日 38 白內(nèi)障 (雙眼 9月 14日, 9月 20日39 白內(nèi)障 9月 14日, 9月 15日, 9月 16日 40 青光眼 9月 17日, 9月 18日, 9月 19日 41 視網(wǎng)膜疾病 9月 17日, 9月 18日, 9月 19日 42 視網(wǎng)膜疾病 9月 17日, 9月 18日, 9月 19日 43 視網(wǎng)膜疾病 9月 17日, 9月 18日, 9月 19日 44 青光眼 9月 18日, 9月

45、 19日45 白內(nèi)障 (雙眼 9月 14日, 9月 20日46 白內(nèi)障 (雙眼 9月 14日, 9月 20日47 青光眼 9月 18日, 9月 19日48 青光眼 9月 18日, 9月 19日49 視網(wǎng)膜疾病 9月 18日, 9月 19日50 視網(wǎng)膜疾病 9月 18日, 9月 19日51 白內(nèi)障 (雙眼 9月 14日, 9月 20日52 白內(nèi)障 (雙眼 9月 14日, 9月 20日, 9月 21日 53 白內(nèi)障 (雙眼 9月 14日, 9月 20日, 9月 21日 54 視網(wǎng)膜疾病 9月 18日, 9月 19日55 白內(nèi)障 (雙眼 9月 20日, 9月 21日56 青光眼 9月 18日, 9月

46、 19日57 白內(nèi)障 (雙眼 9月 20日, 9月 21日58 白內(nèi)障 9月 15日, 9月 16日59 白內(nèi)障 (雙眼 9月 20日, 9月 21日60 白內(nèi)障 (雙眼 9月 20日, 9月 21日61 白內(nèi)障 (雙眼 9月 20日, 9月 21日62 視網(wǎng)膜疾病 9月 18日, 9月 19日63 青光眼 9月 19日64 白內(nèi)障 (雙眼 9月 20日, 9月 21日65 視網(wǎng)膜疾病 9月 19日66 白內(nèi)障 (雙眼 9月 20日, 9月 21日67 視網(wǎng)膜疾病 9月 19日68 白內(nèi)障 9月 15日, 9月 16日, 9月 21日 69 視網(wǎng)膜疾病 9月 19日70 視網(wǎng)膜疾病 9月 19

47、日, 9月 24日71 白內(nèi)障 9月 15日, 9月 16日, 9月 21日 72 白內(nèi)障 (雙眼 9月 20日, 9月 21日73 白內(nèi)障 9月 15日, 9月 16日, 9月 21日74 視網(wǎng)膜疾病 9月 19日, 9月 24日75 白內(nèi)障 9月 15日, 9月 16日, 9月 20日, 9月 21日, 9月 22日 76 青光眼 9月 19日, 9月 24日77 青光眼 9月 19日, 9月 24日78 視網(wǎng)膜疾病 9月 19日, 9月 24日79 白內(nèi)障 9月 15日, 9月 16日, 9月 20日, 9月 21日, 9月 22日 80 白內(nèi)障 9月 15日, 9月 16日, 9月 2

48、0日, 9月 21日, 9月 22日 81 視網(wǎng)膜疾病 9月 19日, 9月 24日82 白內(nèi)障 9月 16日, 9月 20日, 9月 21日, 9月 22日 83 白內(nèi)障 (雙眼 9月 20日, 9月 21日, 9月 22日84 白內(nèi)障 9月 16日, 9月 20日, 9月 21日, 9月 22日 85 白內(nèi)障 9月 16日, 9月 21日, 9月 22日, 9月 23日 86 白內(nèi)障 (雙眼 9月 20日, 9月 21日, 9月 27日87 白內(nèi)障 9月 16日, 9月 21日, 9月 22日, 9月 23日 88 青光眼 9月 19日, 9月 24日89 白內(nèi)障 (雙眼 9月 20日,

49、9月 21日, 9月 27日90 視網(wǎng)膜疾病 9月 19日, 9月 24日, 9月 25日91 視網(wǎng)膜疾病 9月 19日, 9月 24日, 9月 25日92 青光眼 9月 19日, 9月 24日, 9月 25日93 白內(nèi)障 (雙眼 9月 20日, 9月 21日, 9月 27日94 白內(nèi)障 (雙眼 9月 20日, 9月 21日, 9月 27日95 青光眼 9月 19日, 9月 24日, 9月 25日96 白內(nèi)障 (雙眼 9月 20日, 9月 21日, 9月 27日97 外傷 9月 12日98 白內(nèi)障 (雙眼 9月 21日, 9月 27日99 視網(wǎng)膜疾病 9月 19日, 9月 24日, 9月 25

50、日, 9月 26日 100 白內(nèi)障 9月 16日, 9月 21日, 9月 22日, 9月 23日, 9月 28日 101 視網(wǎng)膜疾病 9月 19日, 9月 24日, 9月 25日, 9月 26日 102 視網(wǎng)膜疾病 9月 24日, 9月 25日, 9月 26日附錄五:模擬所用的程序(1函數(shù) M 文件 jsdata.m 用來計算連個日期之間的天數(shù)function f=jsdata(data1,data2if str2num(data1(6-str2num(data2(6<0f1=31*(str2num(data2(6-str2num(data1(6;elsef1=0;endn1=str2n

51、um(data1(8:end;n2=str2num(data2(8:end;f=n2-n1+f1;(2模擬的程序:clear;clcload t1,load t2,load t3;%t1 t2 t3分別是給出的三部分的數(shù)據(jù)%時間統(tǒng)一化處理for i=1:size(t1,1t1i,2=jsdata('2008-7-12',t1i,2;t1i,3=jsdata('2008-7-12',t1i,3;t1i,4=jsdata('2008-7-12',t1i,4;t1i,6=jsdata('2008-7-12',t1i,6;if strcm

52、p(t1i,5,'/'t1i,5=jsdata('2008-7-12',t1i,5;endendfor i=1:size(t2,1t2i,2=jsdata('2008-7-12',t2i,2;t2i,3=jsdata('2008-7-12',t2i,3;t2i,4=jsdata('2008-7-12',t2i,4;if strcmp(t2i,5,'/'t2i,5=jsdata('2008-7-12',t2i,5;endendfor i=1:size(t3,1t3i,2=jsdata(

53、'2008-7-12',t3i,2;end%計算機模擬產(chǎn)生對于 t2中的 79個人的出院情況%已知到第 61天都還沒有出院,所以最早的出院時間是第 62天 for i=1:size(t2,1if strcmp(t2i,1,'白內(nèi)障 'time=unidrnd(3+1;t2i,6=t2i,4+time;elseif strcmp(t2i,1,'白內(nèi)障 (雙眼 'time=unidrnd(3+3;t2i,6=t2i,4+time;elseif strcmp(t2i,1,'青光眼 'time=unidrnd(9+3;t2i,6=t2i,

54、4+time;elseif strcmp(t2i,1,'視網(wǎng)膜疾病 'time=unidrnd(11+4;t2i,6=t2i,4+time;elseif strcmp(t2i,1,'外傷 'time=unidrnd(8+2;t2i,6=t2i,4+time;endif t2i,6<62t2i,6=62;endendfor i=1:size(t1,1t1i,7=mod(t1i,2-1,7;t1i,8=mod(t1i,3-1,7;t1i,9=mod(t1i,4-1,7;t1i,10=mod(t1i,6-1,7;t1i,11=11;endfor i=1:size

55、(t2,1t2i,7=mod(t2i,2-1,7;t2i,8=mod(t2i,3-1,7;t2i,9=mod(t2i,4-1,7;t2i,10=mod(t2i,6-1,7;t2i,11=11;endfor i=1:size(t3,1t3i,7=mod(t3i,2-1,7;t3i,8=-1;t3i,9=-1;t3i,10=-1;t3i,11=11;endtt=t2;%初始的序列;k=1;in=;inn=;long=102;lon=;f=62;%9月 12號的序號,以后以此遞增;while k<=30index=;%存儲需要記錄的下標(biāo)號。n=0;%統(tǒng)計每天調(diào)度時的可用的病床數(shù)for i=1:size(tt,1;if tti,6=fn