階變系數(shù)齊次微分方程

1、畢業(yè)論文題目二階變系數(shù)齊次線性微分方程的若干解法院 系濱江學(xué)院專 業(yè) 信息與計(jì)算科學(xué)學(xué)生姓名xxx XX學(xué)號(hào) xxxXX指導(dǎo)教師XXX職稱教授二0 二年五月二十日目錄摘要 3引言 31、用常數(shù)變易法求解二階變系數(shù)齊次微分方程的解 3已知方程的一個(gè)特解求通解 32、化為恰當(dāng)方程通過降階法求解二階變系數(shù)齊次微分方程的解 5求滿足定理 1 的恰當(dāng)方程的通解 5求滿足定理 2 的恰當(dāng)方程的通解 63、化為 RICCAIT 方程求二階變系數(shù)齊次線性微分方程的解 6若方程系數(shù)滿足 p(x)' q(x)情況 8若方程系數(shù)滿足 p(x) q(x) 1情況. 9若方程系數(shù)滿足 p(x) q(x) 1情況

2、 10結(jié)束語 . 11參考文獻(xiàn) 11二階變系數(shù)齊次線性微分方程的若干解法姓名xx 大學(xué) xx 專業(yè)，南京 210044摘要 ：二階線性齊次微分方程無論是在微分方程理論上還是在應(yīng)用上都占有重要位置。現(xiàn)在對(duì)于常系數(shù) 的線性微分方程的解法研究已經(jīng)比較完備。但對(duì)于變系數(shù)線性微分方程如何求解，卻沒有通用的方法，因 此探求二階變系數(shù)微分方程的解法就很有必要。 本文主要討論二階變系數(shù)齊次線性微分方程的解法問題， 通過利用常數(shù)變易法，和系數(shù)在滿足特定條件下，化為恰當(dāng)方程和 riccati 方程來求解二階變系數(shù)齊次微 分方程的解法，直接通過具體例題解決具有滿足相同條件關(guān)系的二階變系數(shù)齊次微分方程的解，從而進(jìn)一

3、步加深對(duì)二階變系數(shù)齊次線性微分方程的解法的理解。關(guān)鍵詞 ：二階變系數(shù)齊次線性微分方程；常數(shù)變易法；降階法；恰當(dāng)方程；riccati 方程；通解；引言：盡管由于計(jì)算數(shù)學(xué)和計(jì)算技術(shù)的迅猛發(fā)展, 通過電子計(jì)算機(jī)可以迅速而且比較準(zhǔn)確地處理有關(guān)微分方程的求解問題。但是，在實(shí)際學(xué)習(xí)生活 中對(duì)于一個(gè)常微分方程， 不論從理論研究的角度， 或從實(shí)際應(yīng)用的角度看， 都具有十分重要的地位。現(xiàn)在我們對(duì)于常系數(shù)線性微分方程的解法，已非 常完備，但是對(duì)于理論比較完整的、有廣泛應(yīng)用的線性變系數(shù)微分方程至 今卻沒有一般的求解方法，因此二階變系數(shù)齊次微分方程的求解問題一直 是人們感興趣的研究課題。本文對(duì)系數(shù)滿足特定條件的二階變

4、系數(shù)微分方 程，通過觀察其形式， 巧妙利用常數(shù)變易法， 化為恰當(dāng)方程， 和化為 riccati 方程來求解。主要針對(duì)不同類型的二階變系數(shù)方程用不同的方法實(shí)現(xiàn)解決 部分滿足一定條件下的方程的解的目的。詣在通過具體例題的解法，解決 系數(shù)滿足特定條件下的二階變系數(shù)齊次線性微分方程求解的問題，從而使 我們能更進(jìn)一步加深對(duì)二階變系數(shù)齊次微分方程解法的理解，以便適應(yīng)在 工程技術(shù)的實(shí)際領(lǐng)域或?qū)W生在學(xué)習(xí)相關(guān)專業(yè)中的需要。本文主要通過把方程轉(zhuǎn)化為我們所熟悉形式，來討論二階變系數(shù)齊次 微分方程y'' p(x)y' q(x)y 0(1)的解，其中p(x),q(x)是關(guān)于x的連續(xù)函數(shù)。1、用常

5、數(shù)變易法求解二階變系數(shù)齊次微分方程的通解已知方程一個(gè)特解求方程通解在我們課本上所學(xué)的關(guān)于求解二階常系數(shù)齊次線性微分方程，我們可以通過特征方程法求其線性無關(guān)的特解，然后再利用微分方程解的相關(guān)性質(zhì)從而求得其通解，對(duì)于這個(gè)方法我們已經(jīng)很熟悉了。那對(duì)于二階變系 數(shù)齊次線性微分方程求解怎么進(jìn)行？因?yàn)槎A變系數(shù)齊 線性微分方程由于其系數(shù)的變化不同，使用特征方程法就沒用，為此我們想到通過常數(shù)變易法，來討論二階變系數(shù)齊次線性微分方程(1)的解，具體思路如下:若已知yi為方程(1)的一個(gè)特解，則知cyi( C 為任意常數(shù))是方程 (1)的一般解，我們可以通過變易常數(shù)，設(shè)與方程 (1)的解y1線性無關(guān)的 解為y2

6、 c(x)y“，其中c( x)是待定的函數(shù)，將其代入方程(1)可以得到:c''y1(2y pyjc' c(y' py1' qyj 0(已知y1為方程(1)的一個(gè)特解，化簡(jiǎn)可以得到：c''y1 (2y1' pyjc' 0()觀察此方程是一個(gè)可降階的微分方程，則令u c可得：u y12y1py1 u 0，利用變量分離得：2y1賓0uy1()積分得：u2pdx屮e則:2Pdxc xy1 edx()2p x dx所以，y2 y1 y1 edx2例 1 若 已 知 y1 ex 是 二 階 變 系 數(shù) 齊 次 線 性 微 分 方 程

7、y 4xy 4x2 2 y 0的一個(gè)特解 , 求此二階變系數(shù)齊次微分方程的通 解。解: 已知一個(gè)特解 y 1 ，利用()的結(jié)論 ,得另一個(gè)線性無關(guān)的特解為 :2所以原方程的通解為： y =( c1+c2x)e 其中( c1， c2 為任意常數(shù))。 例 2求解 (x 1)y'' xy' y 0 ，已知它的一個(gè)特解是 y1 x ，求其通解。解： y1 x ，利用常數(shù)變易法 ，得到所求通解為：一般的若已知二階齊次線性微分方程的一個(gè)特解(對(duì)某些方程我們可 通過觀察法或分析法快速確定) ，然后利用常數(shù)變易法設(shè)另外一個(gè)特解， 代入原方程后就可得到一個(gè)可降階的微分方程，從而很簡(jiǎn)便的求

8、得二階變 系數(shù)齊次微分方程的通解。2、化為恰當(dāng)方程通過降階法求解二階變系數(shù)齊次微分方程的通解 引入概念 如果二階變系數(shù)齊次微分方程滿足以下 條件 1和條件 2中的系 數(shù)p(x),q(x)所限制的條件時(shí)，所能得到的方程就稱之為恰當(dāng)方程。如何化為化為恰當(dāng)方程通過降階法求解方程通解？我們的思路就是 觀察二階變系數(shù)齊次線性微分方程的系數(shù)，把系數(shù)化成滿足恰當(dāng)方程的系 數(shù)形式，然后將轉(zhuǎn)化后的的系數(shù)形式帶入方程，然后利用變量代換，通過 降階法，把方程變?yōu)槲覀兯煜さ囊浑A方程積分求得方程的通解。求滿足條件 1 的恰當(dāng)方程的通解條件1二階變系數(shù)線性常微分方程(1), 對(duì)于系數(shù)p(x), q(x)若滿足 其中函數(shù)

9、F(x),F'(x),W(x)都是連續(xù)函數(shù),則把此類方程為恰當(dāng)方程。 例1 求方程 y'' 4xy' (4x2 2)y 0 的通解解： 令 F(x) 2x,W(x)2x, 則 F '(x) W(x)F(x) 4x2 2系數(shù)滿足定理1的條件則是恰當(dāng)方程。將其帶入方程(1)就可以得到y(tǒng)' (F(x) W(x)y' (F'(x) W(x)F(x)y 0形得：基于換元法，令u y' F(x)y 則有：(解上面的方程(就得到： 把式(代入式得 解得：將上式通過變u' W(x)u 0即得方程的通解為：(其中qq是任意的常數(shù)。)

10、所以原方程的解為:即:2x21 x2 2x2Ge xc2e x2求滿足條件2的恰當(dāng)方程的通解條件2二階變系數(shù)線性常微分方程(1),對(duì)于系數(shù)p(x), q(x)若滿足其中F(x),W(x)為一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)的函數(shù)，則把此類方程稱為恰當(dāng)方程。99例2求方程y'' (1 -)y' 2y 0的通解xx解： 令 F(x) x2,W(x) x2，則可知:p(x)F'(x) W(x)F(x)c22x x2x;1，q(x)W'(x)F(x)2x 22 x x系數(shù)p(x),q(x)滿足條件(，將其代入方程(1)便得: 將上式兩端減掉Q'整理便得到：于是進(jìn)一步便得到：F

11、(x)y' W(x)y Q Q 'dx CW(x)dx Q c Wlxldx解得： y e F(x) 土2eF(x)(其中& , c2為任意常數(shù)。)F(x)若方程滿足 條件2中的條件，且Q(x) O,F(x) W(x)則方程(1)有通解為：y e x Jexdx c2其中 g， c2為任意常。F(x)根據(jù)通解公式得出所求原方程的解為：xy e xC2其中Ci， C2為任意常數(shù)。x將二階變系數(shù)齊次線性微分方程化為恰當(dāng)方程，通過觀察系數(shù)之間的關(guān)系代入方程，利用變量代換法將方程降階來求解通解問題，使得問題變得簡(jiǎn)單可行，這個(gè)方法對(duì)于滿足條件的二階變系數(shù)齊次方程適用性強(qiáng)，但 是不

12、具普遍性，而且對(duì)于相對(duì)復(fù)雜的系數(shù)我們也難一眼看出它們之間的關(guān) 系，這對(duì)我們解決問題具有一定的局限性。3、將二階變系數(shù)微分方程化為riccati方程求解將二階變系數(shù)齊次線形微分方程化為 riccati方程,主要是利用原有的riccati 方程方程的通解結(jié)論，將方程通過換元法化為riccati 方程，然后得出相關(guān)的結(jié)論，進(jìn)而再求出通解，思路比較簡(jiǎn)單。引入以下幾個(gè)結(jié)論：法國(guó)數(shù)學(xué)家劉維爾在(1841年)證明了著名的riccati方程一般來說不可積，文4-5均給出待定函數(shù)滿足定理?xiàng)l件時(shí)方程的通積分。4'引理1 若系數(shù)滿足 q(x) r(x)，則riccati方程可積且其通積分為 p(x)引理2

13、5若系數(shù)滿足p(x) 魁，則riccati方程可積且其通積分為p(x)若方程系數(shù)滿足p'(x) q(x)的情況u'(x)y u(x)y'將y'和y''代入原方例1 求方程y'' - y' y 0的通解 x x解： 基于換元法 令y u(x)y，則y''程(其中u(x)是新的未知函數(shù))2 1 1即：u(x)y u (x)y -u(x)y y 0xx經(jīng)過化簡(jiǎn)可得：y( u'(x) u2(x) -u(x)0x xy 0很顯然是方程()的解。所以可知： u'(x) u2(x) -u(x)0x x11

14、則：u(x) u2(x)丄u(x) 是關(guān)于 u' (x)的 riccatixx11可知p(x) ， q(x) 因?yàn)閜(x)' q(x)，即(p(x)'q(x)滿足上面的 引xxI理1輕 r(x)的條件。p(x)所以關(guān)于u(x)的riccati方程的通積分為：u(x)1(C1為任意常數(shù))dx業(yè)dx1 .e dxxhxx(c1 edx1dx)yx(C11 .e dx3p(x)dxdxe x dxc2 exp(dxe xIdxxG edx)(其中g(shù)，C2為任意常數(shù)。解得：yC2e(1 .e dxx1dxq e x dx丄)dx)(其中C1， C2為任意常數(shù)。)x當(dāng) C20 時(shí)

15、，y 0。所以原方程的通解為:y C2 exp (1 .e dx171)dx竺-dxxxx dxc2x其中C|eC1，C2為任意常數(shù))若方程系數(shù)滿足p(x)q(x)1的情況例2求方程y''(-x解：基于換元法y'12)y'(xexu(x)y ,則 y''exu'(x)y3)y0的通解exu(x) y exu(x) y' 將 y 和y代入原方程(其中u(x)是新的未知函數(shù)),化簡(jiǎn)可得:很顯然y 0方程()的解u (x) exu2(x)是一個(gè)關(guān)于u(x)的riccati1(1 (- 2)u(x)x方程。1(-3) xxe因?yàn)閜(x)

16、q(x) 1,所以方程(可化為因?yàn)镼(xQ(x)xe即上述方程滿足引理2的條件，所以關(guān)于u(x)的riccati 方程的通積分為:u(x)2exexdxdxdx亠(其中G為任意常數(shù)。)e dx由此可得：解得：當(dāng)C2 0時(shí)，y 0,所以原方程的通解為y c2 expe1x1dx121dxx|xx /e (4)dx C2(c (x 2)ex)e其中c1, c2為任意常數(shù)。)若方程系數(shù)滿足p(x) q(x) 1情況11_例3 求方程y'' (3)y' (2 )y 0的通解xx解：基于換元法，令 y' e 2 q(x)|dx Gee dx由此得解得:u(x)y ,則 y

17、'' e xu'(x)y e xu(x)y e xu(x)y將y'和y代入原方程(其中u(x)是新的未知函數(shù))，化簡(jiǎn)可得：顯然y 0方程(的解。而是一個(gè)關(guān)于 u(x)的riccati 方程。因?yàn)閜(x) q(x) 1 ,所以方程( 可化為：因?yàn)閝(x)q(x)xee x,即上述方程滿足 引理2的條件，所以關(guān)于u(x)的riccati 方程的通積分為:u(x)ex (其中d為任意常數(shù)e 2 q(x) dxc2 exp( e x(e2 q(x)c1x 2 q(x)|dxe e dxex)dx)當(dāng) C20時(shí),y o,所以原方程的通解為:c2 exp( e x(2 2

18、1) e x dx ex)dx)2 2 1dxxG e exdx°(c(x 1)exe中Ci , C2為任意常數(shù)。）這種方法要求系數(shù)在滿足特定條件下，采用換元法進(jìn)行運(yùn)算，要求我 們對(duì)系數(shù)關(guān)系有很好的把握，主要是利用已有結(jié)論求通解，方法簡(jiǎn)單明了,但是對(duì)于如何化為riccati方程是解決此類題目的關(guān)鍵，這并不適用于每 一個(gè)方程的求通解問題，但是這種方法能使我們對(duì)于二階變系數(shù)齊次線性微分的解法有了更深刻的理解。四、結(jié)束語本文主要討論二階變系數(shù)齊次線性微分方程的若干解法，求解在方程 滿足特定條件下，巧妙地求解二階變系數(shù)齊次微分方程的通解。主要是通 過常數(shù)變易法，化為恰當(dāng)方程通過降階法，以及把

19、二階變系數(shù)齊次線性微 分方程轉(zhuǎn)為riccati方程求解，使得變系數(shù)齊次微分方程的解法變得有效 可行。這幾種方法的使用，需要我們能夠準(zhǔn)確把握題目中暗含的條件，從 而對(duì)應(yīng)的找到相應(yīng)解決辦法，然后轉(zhuǎn)化為我們熟悉的方程形式來求解方程 的解，使得二階變系數(shù)齊次微分方程解法變得更容易理解。本文提供的及 幾種方法雖然可以解決不少二階變系數(shù)齊次微分方程，但卻不具普適性， 對(duì)于很多的二階變系數(shù)方程的解法仍具有一定的局限性，仍需要大家今后 不斷在這一課題上努力研究。在本文實(shí)際解題過程中也利用了解決方程問 題常用的一些方法，常數(shù)變易法、換元法、降階法等讓我們對(duì)于這些方法 的研究有了更廣泛運(yùn)用和更深刻的理解，但還有很

20、多的方法如初等函數(shù) 法、積分法、向量法等，在此就不逐一討論了參考文獻(xiàn)】 1 曹友娣 , 劉玉彬。一類二階變系數(shù)微分方程的解 A. 惠州學(xué)院學(xué)報(bào) ( 自然科學(xué)版 ) 2010(3):6-30 2 楊萬順 . 二階變系數(shù)線性常微分方程的求解 M . 濰坊學(xué)院學(xué)報(bào) 2011 : 10-61. 3 劉瓊 . 一類二階變系數(shù)微分方程的解 J. 廣西右江民族師專學(xué)報(bào) 2002( 6): 18- 20 . 4 馮錄祥 . 一特殊類型 R i ccati 方程的積分 J. 石河子大學(xué)學(xué)報(bào) 自然科學(xué)版 , 1997( 4): 316- 318 . 5 龐建華 . R iccati 方程的一些新的可積條件 J.

21、廣西工學(xué)院學(xué)報(bào)2008( 2) : 89- 92 . 6 顧建吾, 張 亭. 二階變系數(shù)線性微分方程求解的幾點(diǎn)研究 A. 南 通職業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào) , 2010( 2): 60- 07 . 7 李姝菲, 趙明. 二階線性微分方程解的討論 J. 吉林師范學(xué)院學(xué) 報(bào), 1998( 1) : 21- 24 . 8 王瑋 . 二階變系數(shù)線性微分方程的解 J. 焦作大學(xué)學(xué)報(bào) : 綜合版 , 1996( 6) : 27- 29 .9 李永利 . 桑改蓮 一類二階變系數(shù)齊次微分方程通解的求法 J- 高等 數(shù)學(xué)研究 2006 ， 910 袁相碗，徐洪義，包雪松，常微分方程 M. 南京：南京大學(xué)出版 社.1994.1

22、1 王高雄 . 常微分方程 M. 北京：高等教育出版社several solutions for the Second order variablecoefficient and homogeneous linear of differentialequationFengXinNanjing information engineering university institute of binjianginformation and computer science major, nanjing 210044Abstract: the second order and homogeneous

23、linear differential equation whether in theoryor in the application of differential equation are an important place. Now for a linear differential equation with constant coefficients of studies have relatively complete solutions. But for variable coefficient linear differential equation how to solve, but there is no universal way, so to search for second order variable coefficient of the differential equation solution is very necessary. This paper mainly discusses the second order homogeneous linear differential equation v