單因素優(yōu)化實驗設計

1、第二節(jié)第二節(jié) 單因素優(yōu)化實驗設計單因素優(yōu)化實驗設計一、定義一、定義 實驗中只有一個影響因素，或雖有多個影實驗中只有一個影響因素，或雖有多個影響因素，在安排實驗時，只考慮一個對指標影響因素，在安排實驗時，只考慮一個對指標影響最大的因素，其它因素盡量保持不變的實驗，響最大的因素，其它因素盡量保持不變的實驗，即為單因素實驗。即為單因素實驗。二二、步驟、步驟 1）確定實驗范圍）確定實驗范圍 x：實驗點：實驗點 axb 2）確定指標）確定指標 3）根據(jù)實際情況及實驗要求，選擇實驗方法，）根據(jù)實際情況及實驗要求，選擇實驗方法，科學安排實驗點科學安排實驗點三、單因素優(yōu)化實驗設計方法三、單因素優(yōu)化實驗設計方法

2、 1、均分法、均分法 2、對分法、對分法 3、黃金分割法（、黃金分割法（0.618法）法） 4、分數(shù)法、分數(shù)法 5.拋物線法拋物線法1均分法均分法 1） 作法作法 2） 優(yōu)點：優(yōu)點：只要把實驗放在等分點上，實驗只要把實驗放在等分點上，實驗點安排簡單。點安排簡單。n次實驗可同時做，節(jié)約時間，次實驗可同時做，節(jié)約時間，也可一個接一個做，靈活性強。也可一個接一個做，靈活性強。 3）缺點）缺點：實驗次數(shù)較多，代價較大，不經(jīng)濟。：實驗次數(shù)較多，代價較大，不經(jīng)濟。2對分法（中點取點）對分法（中點取點） 1）作法）作法 每次實驗點都取在實驗范圍的中點，即中每次實驗點都取在實驗范圍的中點，即中點取點法。點取點

3、法。 2）優(yōu)點：）優(yōu)點：每做一個實驗就可去掉試驗范圍的每做一個實驗就可去掉試驗范圍的一半，且取點方便，試驗次數(shù)大大減小，故效一半，且取點方便，試驗次數(shù)大大減小，故效果較好。果較好。 3）適用情況）適用情況：適用于預先已了解所考察因素適用于預先已了解所考察因素對指標的影響規(guī)律，能從一個試驗的結果直接對指標的影響規(guī)律，能從一個試驗的結果直接分析出該因素的值是取大了或取小了的情況，分析出該因素的值是取大了或取小了的情況，即每做一次實驗，根據(jù)結果就可確定下次實驗即每做一次實驗，根據(jù)結果就可確定下次實驗方向的情況，這無疑使對分法應用受到限制。方向的情況，這無疑使對分法應用受到限制。對分法舉例對分法舉例

4、例例1：如火電廠沖灰水，當水膜除塵器中出來的酸性水進入沖：如火電廠沖灰水，當水膜除塵器中出來的酸性水進入沖灰管以前，必須加堿調(diào)整灰管以前，必須加堿調(diào)整pH=78，加堿量范圍，加堿量范圍a，b，試確，試確定最佳投藥量。因素是加堿量，指標是加藥后定最佳投藥量。因素是加堿量，指標是加藥后pH。采用對分。采用對分法安排實驗。法安排實驗。第一次加藥量第一次加藥量 i）若加藥后水樣）若加藥后水樣pH7，加藥范圍中小于，加藥范圍中小于x1的范圍可舍棄，新的實驗范圍的范圍可舍棄，新的實驗范圍x1，b ，第二次加藥量第二次加藥量 。實驗后再測加藥后水樣實驗后再測加藥后水樣pH。根據(jù)。根據(jù)pH大小再次取舍，直到得

5、到滿意結果。大小再次取舍，直到得到滿意結果。 ii）若加藥后水樣）若加藥后水樣pH8，說明第一次實驗堿加多了，舍棄加藥，說明第一次實驗堿加多了，舍棄加藥范圍中大于范圍中大于x1的范圍，取另一半重復實驗，直至得到滿意結果。的范圍，取另一半重復實驗，直至得到滿意結果。 21bax212bxx對分法舉例 例例2：稱量質(zhì)量為：稱量質(zhì)量為2060g某種樣品時，某種樣品時，第一次砝碼的質(zhì)量為第一次砝碼的質(zhì)量為40g，如果砝碼偏，如果砝碼偏輕，則可判斷樣品的質(zhì)量為輕，則可判斷樣品的質(zhì)量為4060g，于是，第二次砝碼的質(zhì)量為于是，第二次砝碼的質(zhì)量為50g，如果，如果砝碼又偏輕，則可判斷樣品的質(zhì)量為砝碼又偏輕，

6、則可判斷樣品的質(zhì)量為5060g，接下來砝碼的質(zhì)量為，接下來砝碼的質(zhì)量為55g，如，如此稱下去，直到天平平衡為準。此稱下去，直到天平平衡為準。20604050553黃金分割法（黃金分割法（0.618法）法）1）單峰函數(shù)單峰函數(shù)（實驗中指標函（實驗中指標函數(shù)）數(shù)）注：單峰函數(shù)不一定是光滑注：單峰函數(shù)不一定是光滑的，甚至也不一定是連續(xù)的，的，甚至也不一定是連續(xù)的，它只要求在定義區(qū)間內(nèi)只有它只要求在定義區(qū)間內(nèi)只有一個一個“峰峰”。函數(shù)的單峰性使我們可以根函數(shù)的單峰性使我們可以根據(jù)消去法原理逐步地縮小搜據(jù)消去法原理逐步地縮小搜索區(qū)間，已知其中包括了極索區(qū)間，已知其中包括了極小點的區(qū)間，稱為小點的區(qū)間，稱

7、為搜索區(qū)間搜索區(qū)間。2）0.618法（黃金分割法）法（黃金分割法）的構思的構思 設指標函數(shù)是一個單峰函數(shù)，即在某區(qū)間內(nèi)只有一極設指標函數(shù)是一個單峰函數(shù)，即在某區(qū)間內(nèi)只有一極小點，為最佳實驗點小點，為最佳實驗點 以圖以圖a看，設區(qū)間看，設區(qū)間a，b的長為的長為1，在與點，在與點a相相距分別為距分別為、的點處插入的點處插入c、d兩點，為確定兩點，為確定、 的數(shù)值，提出如下條件：的數(shù)值，提出如下條件：f(c)f(d) 3） 0.618法一般步驟法一般步驟確定實驗范圍確定實驗范圍（在一般情況下，通過預實驗或其它先驗信息，確定了（在一般情況下，通過預實驗或其它先驗信息，確定了實驗范圍實驗范圍a，b ）；

8、）；選實驗點選實驗點（這一點與前述均分、對分法的不同處在于它是按（這一點與前述均分、對分法的不同處在于它是按0.618、0.382的特殊位置定點的，一次可得出兩個實驗點的特殊位置定點的，一次可得出兩個實驗點x1,x2的實驗結果）；的實驗結果）；根據(jù)根據(jù)“留好去壞留好去壞”的原則對實驗結果進行比較，留下好點，從壞點處的原則對實驗結果進行比較，留下好點，從壞點處將實驗范圍去掉，從而縮小了實驗范圍；將實驗范圍去掉，從而縮小了實驗范圍； 在在新實驗范圍內(nèi)新實驗范圍內(nèi)按按0.618、0.382的特殊位置的特殊位置再次安排實驗點再次安排實驗點，重復上述過程，直至得到滿意結果，找出最佳點。重復上述過程，直至

9、得到滿意結果，找出最佳點。3） 0.618法具體作法法具體作法黃金分割法舉例例例2：為了達到某種產(chǎn)品質(zhì)量標準，需要加入一種材料。已知：為了達到某種產(chǎn)品質(zhì)量標準，需要加入一種材料。已知其最佳加入量在其最佳加入量在1000g2000g之間的某一點，現(xiàn)在要通過之間的某一點，現(xiàn)在要通過做實驗的辦法找到最佳加入量。做實驗的辦法找到最佳加入量。解：首先在實驗范圍的解：首先在實驗范圍的0.618處做第一個實驗，這一點的加處做第一個實驗，這一點的加入量為：入量為：x1=1000+(2000-1000) 0.618=1618g在這一點的對稱點，即在這一點的對稱點，即0.382處做第二個試驗，這一點加入處做第二個

10、試驗，這一點加入量為：量為：x2=1000+(2000-1000) 0.382=1382g比較兩次試驗結果，如果第二點較第一點好，則去掉比較兩次試驗結果，如果第二點較第一點好，則去掉1618g以上部分，然后在以上部分，然后在(1000,1618)之間，找之間，找x2的對稱點：的對稱點：X3=1000+(1618-1000) 0.382=1236g如果仍然是第二點好，則去掉如果仍然是第二點好，則去掉1236g以下的一段，在留下的以下的一段，在留下的部分部分(12361618)，繼續(xù)找第二點的對稱點，做第四次試驗。，繼續(xù)找第二點的對稱點，做第四次試驗。如果這一點比第如果這一點比第2點好，則去掉點好

11、，則去掉12361382這一段，在留下這一段，在留下的部分按同樣方法繼續(xù)做下去，直到找到最佳點。的部分按同樣方法繼續(xù)做下去，直到找到最佳點。4、分數(shù)法、分數(shù)法（Fibonacci Search） 分數(shù)法又稱費波那契搜索（分數(shù)法又稱費波那契搜索（Fibonacci Search），基本思想和），基本思想和0.618法是一致法是一致的，的，主要不同點是主要不同點是：0.618法每次都按法每次都按同一比例常數(shù)同一比例常數(shù)0.618來縮短區(qū)間，而分來縮短區(qū)間，而分數(shù)法每次都是按不同的比例來縮短區(qū)間數(shù)法每次都是按不同的比例來縮短區(qū)間的，它是按菲波那契數(shù)列的，它是按菲波那契數(shù)列Fn產(chǎn)生的分產(chǎn)生的分數(shù)序列為

12、比例來縮短區(qū)間的數(shù)序列為比例來縮短區(qū)間的 。3）分數(shù)法具體作法）分數(shù)法具體作法 分兩種情況分兩種情況4）分數(shù)法的特點）分數(shù)法的特點 1)具體搜索步驟與前述具體搜索步驟與前述0.618法基本一致，所不法基本一致，所不同之處僅僅是選的實驗點位置是分同之處僅僅是選的實驗點位置是分數(shù)數(shù) ， ，且要求預先給出實驗，且要求預先給出實驗總次數(shù)?？偞螖?shù)。 2)在實驗點能取在實驗點能取整數(shù)整數(shù)時，或由于某種條件限制只時，或由于某種條件限制只能做幾次實驗時，或由于某種原因，實驗范圍由能做幾次實驗時，或由于某種原因，實驗范圍由一些一些不連續(xù)的不連續(xù)的、間隔不等的點間隔不等的點組成或組成或?qū)嶒烖c只能實驗點只能取某些特

13、定值時取某些特定值時，利用分數(shù)法安排實驗更為有利、，利用分數(shù)法安排實驗更為有利、方便。方便。 3)適合于單峰函數(shù)。適合于單峰函數(shù)。111nnFF21nnFF 通過數(shù)學計算可知，經(jīng)過同樣次數(shù)的分割通過數(shù)學計算可知，經(jīng)過同樣次數(shù)的分割 后，后，分數(shù)法的縮減速度比分數(shù)法的縮減速度比0.618法快法快，當，當N很大時，分數(shù)法比很大時，分數(shù)法比0.618法法效率高效率高17%，對于這種對于這種兩方法而言，大約每分割十次，可提高兩位精兩方法而言，大約每分割十次，可提高兩位精度，度，適用于單峰函數(shù)，對于實驗范圍為間斷點的尤為適用于單峰函數(shù)，對于實驗范圍為間斷點的尤為適用。適用。5、拋物線法、拋物線法 不論是

14、不論是0.618法，還是分數(shù)發(fā)，都只是法，還是分數(shù)發(fā)，都只是比較兩個實驗結果的好壞，而不考慮實比較兩個實驗結果的好壞，而不考慮實驗的實際值，即目標函數(shù)值。而拋物線驗的實際值，即目標函數(shù)值。而拋物線法是根據(jù)已得的三個實驗數(shù)據(jù)，找到這法是根據(jù)已得的三個實驗數(shù)據(jù)，找到這三個點的拋物線方程，然后求出該拋物三個點的拋物線方程，然后求出該拋物線的極大值，作為下次試驗的根據(jù)。線的極大值，作為下次試驗的根據(jù)。 例例1 某廠在某電解工藝技術改進時，希望提高電解率，作了如下初某廠在某電解工藝技術改進時，希望提高電解率，作了如下初步實驗，結果是：步實驗，結果是： X： 電解溫度 （）： 電解溫度 （） 65 74 80 ：電解率（）：電解率（） 94.3 98.9 81.5 其中，其中，74效果最好，但是最佳溫度是不是就在效果最好，但是最佳溫度是不是就在 74？還有沒有改？還有沒有改進的余地？這就要在進的余地？這就要在 74附近安排實驗。附近安排實驗。第一種方案是在第一種方案是在 70、71、72、73、75、76逐個進行實驗，這樣工作量太大，第二種方案是對這逐個進行實驗，這樣工作量太大，第二種方案是對這批數(shù)據(jù)進行分析，找出科學的設計方法。批數(shù)據(jù)進行分析，找出科學的設計方法。 分析這三個數(shù)據(jù)，可以看出，分析這三個數(shù)據(jù)，可以看出，y 值中間高兩邊低，形成一條拋物線。值