斐波拉契數(shù)列

1、斐波拉契數(shù)列13世紀(jì)初，歐洲最好的數(shù)學(xué)家是斐波拉契;他寫了一本叫做?算盤書?的著作，是當(dāng)時歐洲最好的數(shù)學(xué)書。書中有許多有趣的數(shù)學(xué)題，其中最有趣的是下面這個題目：“假如一對兔子每月能生1對小兔子，而每對小兔在它出生后的第3個月裹，又能開場生1對小兔子，假定在不發(fā)生死亡的情況下，由1對初生的兔子開場，1年后能繁殖成多少對兔子?斐波拉契把推算得到的頭幾個數(shù)擺成一串：1，1，2，3，5,8這串?dāng)?shù)里隱含著一個規(guī)律：從第3個數(shù)起，后面的每個數(shù)都是它前面那兩個數(shù)的和。而根據(jù)這個規(guī)律，只要作一些簡單的加法，就能推算出以后各個月兔子的數(shù)目了。于是，按照這個規(guī)律推算出來的數(shù)，構(gòu)成了數(shù)學(xué)史上一個有名的數(shù)列。大家都叫

2、它“斐波拉契數(shù)列，又稱“兔子數(shù)列。這個數(shù)列有許多奇特的的性質(zhì)，例如，從第3個數(shù)起，每個數(shù)與它后面那個數(shù)的比值，都很接近于0.618，正好與大名鼎鼎的“黃金分割律相吻合。人們還發(fā)現(xiàn)，連一些生物的生長規(guī)律，在某種假定下也可由這個數(shù)列來刻畫呢。斐氏本人對這個數(shù)列并沒有再做進(jìn)一步的討論。直到十九世紀(jì)初才有人詳加研究，1960年左右，許多數(shù)學(xué)家對斐波拉契數(shù)列和有關(guān)的現(xiàn)象非常感到興趣，不但成立了斐氏學(xué)會，還創(chuàng)辦了相關(guān)刊物，其后各種相關(guān)文章也像斐氏的兔子一樣迅速地增加。斐波拉契(Fibonacci)數(shù)列來源于兔子問題，它有一個遞推關(guān)系，f(1)=1f(2)=1f(n)=f(n-1)f(n-2),其中n&am

3、p;gt;=2f(n)即為斐波拉契數(shù)列。斐波拉契數(shù)列的公式它的通項(xiàng)公式為:(1+√5)/2An-(1-√5)/2An/√5(注：√5表示根號5)斐波拉契數(shù)列的某些性質(zhì) 1)，f(n)f(n)-f(n1)f(n-1)=(-1)An; 2),f(1)f(2)f(3)f(n戶f(n2)-1 3),arctan1/f(2n1)=arctan1/f(2n2)arctan1/f(2n3)比方：隨著數(shù)列項(xiàng)數(shù)的增加，前一項(xiàng)與后一項(xiàng)之比越逼近黃金分割0.6180339887(后一項(xiàng)與前一項(xiàng)之比1.6180339887)還有一項(xiàng)性質(zhì)，從第二項(xiàng)開場，每個奇數(shù)項(xiàng)的平方都比前后兩項(xiàng)之積多1，每個偶數(shù)項(xiàng)的平方都比前后兩項(xiàng)之積少1假如你看到有這樣一個題目：某人把一個8*8的方格切成四塊，拼成一個5*13的長方形，故作驚訝地問你：為什么64=65?其實(shí)就是利用了斐波那契數(shù)列的這個性質(zhì)：5、8、13正是數(shù)列中相鄰的三項(xiàng)，事實(shí)上前后兩塊的面積確實(shí)差1，只不過后面那個圖中有一條細(xì)長的狹縫，一般人不容易注意到。假如任意挑兩個數(shù)為起始，比方5、-2.4，然后兩項(xiàng)兩項(xiàng)地相加下去，形成5、-2.4、2.6、0.2、2.8、3、5.8、8.8、14.6等，你將發(fā)現(xiàn)隨著數(shù)列的開展，前后兩項(xiàng)之比也越來越逼近黃金分割，且某一項(xiàng)的平方與前后兩