《常微分方程》答案習題4.2

1、習題4.21 .解下列方程(1) x(4) - 5x" + 4x = 0解：特征方程4-5/ 4 = 0有根r =2,上=2,飛=1,一 一a ,2t-2tt-t故通解為x= Ge QeGe cde x - 3ax 3a2x - a3x = 0解：特征方程,3.3a.2 . 3a" -a3 =0有三重根. 二a故通解為 x= c1eat - c2teat c3t 2eat(3)x(5) - 4x = 0解：特征方程.5 .4,3 =0有三重根九=0,九4 =2,九5=-2故通解為 x=cet ce2t ct2 ct G(4) x"+2x+ 10x = 0-1-3i

2、解：特征方程九2+2九+10=0有復數(shù)根九1=-1+3i, % =故通解為 x= Ge'cos3t c2e4 sin 3t(5) x x x = 0解：特征方程九2 +九+1=0有復數(shù)根九1 =一槐， = 3 3故通解為 x = c1e 2 cost c2e 2 sin-2 t(6) s1*-a2s =t 1解：特征方程 片a2=0有根 %=a,九2=-a當a#0時，齊線性方程的通解為S=c1eat . c2e"tS = A + Bt代入原方程解得 A = B = 一口 a故通解為 S=c1eat c2e Jt-12-(t -1)a當a=0時,=t2(rtS2)代入原方程解得

3、1=。2=1 62故通解為 S=C1 C2t- -t2(t 3)6x -4x 5x -2x = 2t 3解：特征方程 i.2+52 = 0有根.2,兩重根=1齊線性方程的通解為x= c,e2t qe，C3tet 又因為20不是特征根，故可以取特 解行如=A+Bt代入原方程解得A=-4 ,B=-1故通解為 x= c1e2, c2et C3tet-4-t(8) x(4) 2x x =t2 3解：特征方程 九4 -2A2+1 = 0有2重根九=1,2重根九=-1故齊線性方程的通解為x= c1etc2 tetc3e_tc4te1取特解行如 = At2 + Bt +c代入原方程解得A=1 , B=0,C

4、=1故通解為x= c1et c2tet c3eJ c4te2 +t2 1(9) x -x = cost解：特征方程，J=0有復數(shù)根-1 3i-1 - . 3i .'1 =, ' 2 二,3 " 122故齊線性方程的通解為t . 3sint c3et23x = c1e 2 cos t c2e2取特解行如 = Acost Bsint 代入原方程解得wordA=i，B = 4故通解為11,5t 3 ,7t. , 3 , t 1 /x = Ge 2 cost ae 2 sin t c3e - - (cost sint)(10) x x -2x = 8sin2t解：特征方程。有

5、根32,21故齊線性方程的通解為x=c1et于t因為+-2i不是特征根取特解行如 = Acos2t Bsin 2t 代入原方程解得 A=-2,b -55故XM解為 x= Ciet c?e 2t -2cos2t _6sin 2t55(11)解：特征方程-1=0有復數(shù)根-1. 3i -1 - . 3i'1 = Z , ' 2 = Z , ，3 = 1221是特征方故齊線性方程的通解為3t, 3- 2t t3tx = c1e 2 cos t c2e 2 sin t c3e 22程的根，故=溫代入原方程解得A=13故通解為 x = C1e cos旦 + C2e J sin 曲 Z +1

6、tet223(12) s 2as a2s =et解：特征方程*+2a%+a2=0有2重根a當a=-1時，齊線性方程的通解為 s=c1et +c2 tet ,“1是特征方程的2重根，故二人，代入原方程解得A=2通解為S=c1et cztet為，當a，-1時，齊線性方程的通解為S=c1e -at + c2 te -at ,%=1不是特征方程的根，故 = Aet代入原方程解得A=L(a 1)故通解為 S=c1e C2tL，+(r117et(13) x 6x 5x = e2t解：特征方程2+62.+5=0有根1,%=-5故齊線性方程的通解為x=-t-5tc1ec2e九二2不是特征方程的根，故-2,代入

7、原故通解為x=方程解得A= 214-5t1 2tc1ec2e+ e21(14) x - 2x 3x =e，cost解：特征方程-2%+3=0有根1 = -1+ 2 i, 2 = -1- 2 ix = c1et cos 2t c2et sin . 2t故齊線性方程的通解為-匕不是特征方程的根，取特解行如 二(Acost Bsint)e"代入原方程解得A=aB ='故通解為x =c1et cos . 2tc2et sin . 2t +cost - 4 sint)e41(15) x x = sin t 一 cos2t解：特征方程片+1=0有根?”=i,i故齊線性方程的通解為x =C18st+C2 sintx, + x=sint * =i,是方程的解 = t(Acost B sin t) 代入 原方程解得A= -