專(zhuān)題反比例函數(shù)與三角形四邊形地面積等

1、實(shí)用文案反比例函數(shù)比例系數(shù)k與圖形面積經(jīng)典專(zhuān)題知識(shí)點(diǎn)回顧由于反比例函數(shù)解析式及圖象的特殊性， 很多中考試題都將反比例函數(shù)與面 積結(jié)合起來(lái)進(jìn)行考察。這種考察方式既能考查函數(shù)、反比例函數(shù)本身的基礎(chǔ)知識(shí) 內(nèi)容，又能充分體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想方法，考查的題型廣泛，考查方法靈活，可 以較好地將知識(shí)與能力融合在一起。下面就反比例函數(shù)中與面積有關(guān)的問(wèn)題的四 種類(lèi)型歸納如下：利用反比例函數(shù)中|k|的幾何意義求解與面積有關(guān)的問(wèn)題ky=-j _ _設(shè)p為雙曲線x上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸、y軸的垂線PM PN垂足分別為M N,則兩垂線段與坐標(biāo)軸所圍成的的矩形PMON勺面積為S=|PM|X|PN|二|y|X |x|二|x

2、y|xy=k故 S=|k|從而得標(biāo)準(zhǔn)文檔積S=以及上述結(jié)論，可得出對(duì)應(yīng)的結(jié)論1:過(guò)雙曲線上任意一點(diǎn)作x軸、y軸的垂線，所得矩形的面積S為定值|k|對(duì)于下列三個(gè)圖形中的情形，利用三角形面積的計(jì)算方法和圖形的對(duì)稱(chēng)性面積的結(jié)論為:角形AMBfr,面積為S=|k|結(jié)論4:在三結(jié)論3:在直角三角形ACB中，面積為S=2|k|類(lèi)型之一 k與三角形的面積1、如圖，已知雙曲線y= k (k>0)經(jīng)過(guò)直角三角形OAB斗邊OB的中點(diǎn)D, x與直角邊AB相交于點(diǎn)C若 OBC勺面積為6,則k=.最佳答案過(guò)D點(diǎn)作DHx軸，垂足為E,由雙曲線上點(diǎn)的性質(zhì)，得 S AAOC =S ADOE = 1 k,2.DEL x

3、軸，AB! x 軸，DE / AB, .OAB s AOED又 ; OB=2ODS AOAB =4S ADOE =2k,由 S AOAB -S AOAC =S AOBC ,得 2k- 1k=6, 2解得：k=4.2、如圖1-ZT-1 ,分別過(guò)反比例函數(shù)軸的垂線，垂足分別為G D,連接&,比較它們的大小，可得A.Si>&B.S尸Sy= 2018（X >0）的圖象上任意兩點(diǎn)A B作X XOA OB設(shè)AOG口 BOD勺面積分別是Si、C.Si<&D.Si、&大小不確定。3、在下列圖形中，陰影部分面積最大的是（C）k4、如圖1-ZT-3,在平面直角坐標(biāo)

4、系中，點(diǎn)A是函數(shù)y=（x<0）圖象上的點(diǎn)，x過(guò)點(diǎn)A作y軸的垂線交y軸于點(diǎn)B,點(diǎn)C在x軸上，若 ABC的面積為1,則k 的值為。V =5、X如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) A在函數(shù).X (k<0, x<0)的圖象上，過(guò)點(diǎn)A作AB/ y軸交x軸于點(diǎn)B,點(diǎn)C在y軸上，連結(jié)AC BC.若 ABC的面積 是 3,貝 k=.乙> XBO 下試題分析：謾點(diǎn)A的坐標(biāo)為£ ),由點(diǎn)A的坐標(biāo)結(jié)合AABC的面積即可得k&=-AB-OE= X ( - pi)=3,解得k=-6.7ABe 2 m6、如圖1-ZT-4, OACffiBAD®是等腰直角三角形，/ ACO=A

5、DB=90 ,反比例函數(shù)y=k在第一象限的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) B,若OA-AB2=8,則k的值為。x試題解析,設(shè)R點(diǎn)坐標(biāo)為巧b),一0M和ABAD都是等腰直角三角形，0A二應(yīng) 蛾篤 AB=在 皿 OC=AC? AD=BD?70必-國(guó)=8,二2第7心電即痣-仙曰，(AC+AD) (AC-AD)二4,二. (OC+ED> CD=4,.二a,b=4：/.k=4.類(lèi)型之二k與平行四邊形的面積7、X如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) A是函數(shù)y=- (k<0, x<0)圖象上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) A x與y軸垂直的直線交y軸于點(diǎn)B,點(diǎn)C、D在x軸上，且BC/ AD.若四邊形ABCD勺面積為3,則k值為優(yōu)質(zhì)解答

6、V AB±y 軸,AB/ CD v BC/ AD, 一四邊形ABC北平行四邊形，四邊形AEOB勺面積二人印OE S平行四邊形 ABCD=ABCD=3 四邊形AEOB勺面積=3, |k|=3 , <0,k=-3,故答案為：-3.8、如圖，菱形OABC勺頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（3,4）,頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上，反比 . k. .例函數(shù)y=-（x >0）的圖象經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)B,則k的值為（）。xA. 12 B. 20 C. 24 D. 32答案:*,C的坐標(biāo)為（3, 4）, .CD=4, OD=3. CB/ AO，B的縱坐標(biāo)是4,過(guò)點(diǎn)C作CD! OA故選D.4 一9、如圖1-ZT-6,函數(shù)y=

7、-x與y=-的圖象相父于A、B兩點(diǎn)，分別過(guò)A、B兩點(diǎn) x作y軸的垂線，垂足分別為C、D,則四邊形ACBD勺面積為（）。A. 2 B. 4 C. 6D. 8分析：首先根據(jù) 反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)與原點(diǎn)所連的線段、坐標(biāo)軸、向坐標(biāo)軸作垂線所圍成的直角三角形面積S的關(guān)系即S=-|k| ,得出Saaoc2=Sa odb=2 ,再根據(jù)反比例函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可知：OC=OD AC=BD,即可求出 四邊形ACBD的面積.解答：解：=過(guò)函數(shù)y=-的圖象上A, B兩點(diǎn)分別作y軸的垂線，垂足分別為 x點(diǎn) C, D,Saaoc=Sa odb= 1 |k|=2 ,又= OC=OD AC=BD, Sa aoc=Sa oda=S

8、 ODB =Sa obc=2 ,二四 邊形 ABCD的面 積為：Sa aoc+Saoda+Sa cdb+Saobc=4X 2=8 .故選D.點(diǎn)評(píng)：本題主 要考 查了反比例函數(shù)y= k中k的幾 何意義，即過(guò)雙曲線上 x任意一點(diǎn)引x軸、y軸垂線，所得矩形面積為|k| ;圖象上的點(diǎn)與原點(diǎn)所連的線段、坐標(biāo) 軸、向坐 標(biāo)軸作垂線所圍成的直角三角形面積S的關(guān)系1即S=1 |k| ,是經(jīng)?？?查的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)；同時(shí)考查了反比例函數(shù)圖象的 對(duì)稱(chēng)性.210、如圖1-ZT-7，點(diǎn)A是反比例函數(shù)y=2（x>0）的圖象 上任意一點(diǎn)，AxB/ x軸交反比例函數(shù)y=-a的圖象于點(diǎn)B,以AB為邊作UABCD其中點(diǎn) xC

9、、D在x軸上，則UABCD的面積未（）。A. 2 B. 3 C. 4 D. 511、如圖、1-ZT-8 ,在UABOCK 兩條對(duì)角線交于點(diǎn) E,雙曲線y=K（k<0）的一支經(jīng)過(guò)C、E兩點(diǎn)，若UABOC勺面積為10,則k的值是（）。A. - 5 B.- 竺 C. -4 D.-5 23分行：設(shè)E的坐標(biāo)是（rr1r n ） r !Wmn=k r平行四邊形ABOC中E是。Affi中點(diǎn),則A的坐標(biāo)是 ：（2mr2n） , C的縱坐標(biāo)是2口，表示出C的橫坐標(biāo),則可以得到AC即0B的長(zhǎng)，然后根據(jù) 平行四邊形的面積公式即可求得的值.解答；解：設(shè)E的坐標(biāo)是（m , n ）,則mn=k .，平行四邊形ABO

10、C中E是0A的中點(diǎn),.A的坐標(biāo)是：（2m，2n ） , C的縱坐標(biāo)是2n, Z-JrZr把V=2n代入y=£得：乂=券，即C的橫坐標(biāo)是：券.'QB=AC=SL2m , 0B邊上的高是2n , lr-（五-2m ） *2n=10 ,即£4mn=10 , . -k-4k=10,解得：k-y .，點(diǎn)平：本題是平形四邊形與反上點(diǎn)U函數(shù)的綜合應(yīng)用,根據(jù)E點(diǎn)的坐標(biāo)表示出AC的長(zhǎng)度是關(guān) 鍵.類(lèi)型之三k與矩形的面積4 ,12、如圖1-ZT-9, A、B兩點(diǎn)在雙曲線y=上，分別過(guò)A B兩點(diǎn)向坐標(biāo)軸作垂 x線段，已知S+S=6,貝U S陰影=()。A. 4 B. 2 C. 1 D.無(wú)法

11、確定>O工13、如圖1-ZT-10,反比例函數(shù)y=x (x>0)的圖象經(jīng)過(guò)矩形 OABC寸角線的交點(diǎn)M分別與AB BC相交于點(diǎn)D E,若四邊形ODBE勺面積為9,則k的值為( )。A. 1 B. 2 C. 3 D. 4考點(diǎn)：反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義.專(zhuān)題：數(shù)形結(jié)合.分析：本題可從反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn) E、M D入手，分別找出 OCE AOAD 矩形OABC勺面積與兇 的關(guān)系，列出等式求出k化解答：Ik|k|解：由題意得：E、M D位于反比例函數(shù)圖象上，則$ OCE=2 ,SAOAD=2 , 過(guò)點(diǎn) M乍MGL y軸于點(diǎn)G,彳MNLx軸于點(diǎn)N,則SDONMG=|k|又M為矩形ABCO

12、寸角線的交點(diǎn)， .S 矩形 ABCO=4SONMG=4|k|由于函數(shù)圖象在第一象限，k >0,則2+9=4k,解得：k=3.故選CO N A點(diǎn) 本題考查反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，過(guò)雙曲線上的任意一點(diǎn)分別向兩 評(píng)：條坐標(biāo)軸作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積就等于|k| ,本知識(shí)點(diǎn)是中考的重要考點(diǎn)，同學(xué)們應(yīng)高度關(guān)注.14、如圖1-ZT-11 ,反比例函數(shù)y=T (,k>0)的圖象與矩形ABCO勺兩邊相交于 E、F兩點(diǎn)，若E是AB的中點(diǎn)，Sabef=2,則k的值為。，.一 、一k分析：設(shè)E (a, 一) a可求得F的橫坐標(biāo)， k解：設(shè) E ( a,-), a，則B縱坐標(biāo)也為k,代入反比例函

13、數(shù)的y=K ,即 ax則根據(jù)三角形的面積公式即可求得k的值.k則B縱坐標(biāo)也為一，aE是AB中點(diǎn)，所以F點(diǎn)橫坐標(biāo)為2a,代入解析式得到縱坐標(biāo)：,2aBF=k-=,所以F也為中點(diǎn),a 2a 2aSa bef=2= K , k=8 ,4故答案是：8.點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，正確表示出BF的長(zhǎng)度是關(guān)鍵.k15、如圖1-ZT-12,點(diǎn)P、Q是反比例函數(shù)y= x圖象上的兩點(diǎn)，PZ y軸于點(diǎn)A, QNLx軸于點(diǎn)N, PMx軸于點(diǎn)M,QBytt于點(diǎn)B,連接PB QM AABP的面積記為 S, zQMN勺面積記為S2,則Si 段(填“>” 或“=”)。16、如圖1-ZT-13,在平面直角坐標(biāo)系中

14、，點(diǎn) O為坐標(biāo)原點(diǎn)，矩形OABC勺邊OAOC分別J在x軸和y軸上，其中OA=6 OC=3已知反比例函數(shù)y=x (,k>0)的圖象經(jīng)過(guò)BC邊的中點(diǎn)D,交AB于點(diǎn)E。(1) k的值為;(2)猜想的面積與的面積之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由。答案：(1)9; (2) SAOCD=SOBE理由見(jiàn)解析. 【解析】 試題分析：(1) 根據(jù)題意得出點(diǎn)D的坐標(biāo)，從而可得出k的值：v OA=6 OC=3點(diǎn)D為BC的中 點(diǎn)，D (3, 3).二反比例函數(shù)(x>0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)D, .k=3X3=9. (2) 根據(jù)三角形的面積公式和點(diǎn) D, E在函數(shù)的圖象上，可得出 SAOCD=SOAE再 由點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，

15、可得出SAOCD= SOB類(lèi)型之四k與多邊形的面積17、如圖1-ZT-14所示，過(guò)點(diǎn)A (2,-1)分別作y軸、x軸的平行線交 雙曲線ky=k于點(diǎn)B、C,過(guò)點(diǎn)C作CHx軸于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)B作BDLy軸于點(diǎn)D,連接ED x若五邊形ABDEC勺面積為34,則k的值為。18、如圖1-ZT-14,點(diǎn)P是反比例函數(shù)y=k1 (ki>0, x>0)圖象上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸、y軸的垂線，分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，交反比例函數(shù)y=-k2 x(k2<0,且|k2|<ki)的圖象于E、F兩點(diǎn)。(1)圖1中，四邊形PEOF勺面積Si=(用含ki、k2的式子表示)；(2)圖2中，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)

16、為(2, 3),點(diǎn)E的坐標(biāo)是(, ),點(diǎn)F的坐標(biāo)是(, )(用含k2的式子表示)；8(3)若OEF勺面積為8,求反比例函數(shù)y=的解析式.3x圖1圖2解答：(1);P是點(diǎn)P是反比例函數(shù)y=k1 (k>0, x>0)圖象上一動(dòng)點(diǎn)，S=k1-.B F分別是反比例函數(shù)y=k2. (k2V 0且|k2|<ki)的圖象上兩點(diǎn)， x1OBF=SAOE=1|k2| ,2四邊形PEOF勺面積Si=S矩形 PBO+S>AOBF+SaAO=kl + |k 2| ,: k2<0,二四邊形 PEOFF勺面積 Si=S矩形pbo+Szxobf+SaAo=ki+|k 2|= ki-k2.(2)

17、PE± x軸，PF, y軸可知，P、E兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，P、F兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，E、F兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為E (2, kp , F (k2, 3);: P (2, 3)在函數(shù)y=殳的圖象上，xki=6,. B F兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為E (2, k) , F (k2, 3); .PE=3與 PF=2-k2-,21 / c k?k2、 (6 - k2)SA PEF=- (3-y) (2-y ) = 2 2,SAOEF=(ki-k2)-(6-312=(6*2)-(6 k2)2 = 36 -k22 =812123k2=二 2: k2<0,2 k2=-2 . y= x題型之五：k與面積綜合16、

18、如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是反比例函數(shù)y=12 (x>0) x圖像上任意一點(diǎn)，以P為圓心，PO為半徑的圓與坐標(biāo)軸分別交于 A Bo(1)求證：線段AB為。P的直徑；(2)求AOB勺面積。(3)如圖2, Q是反比例函數(shù)y= (x>0)圖像上異于點(diǎn)P的另一點(diǎn)，以Q為 x圓心，QOXJ半徑畫(huà)圓與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn) C Db求證：DOOC=BOOA證明工YNAOBWO且NAOB是0P中弦AB所對(duì)的圓周甬, 二AB是0P的直徑.C）解：設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（叫口）（皿>。>0）,.1點(diǎn)P是反比例函數(shù)整衛(wèi)Cx>0）圖象上一點(diǎn)，,二血=1， x如答圖，過(guò)點(diǎn)P作PM_Lx軸于點(diǎn)PN_Ly軸于點(diǎn)N,則ON=n. 由垂徑定理可知，點(diǎn)M為OA中點(diǎn)“點(diǎn)N為OB中點(diǎn)，/.OA=2OM=2m, OB=2ON=2n,/.S_ Q5= OA=x2nx2m=2drL=2,x 12=24.22<3）證明：若點(diǎn)Q為反比例困數(shù)卜* （x>0）圖象上異于點(diǎn)P的另一點(diǎn),參照（2）j 同理可得：S_cod=-OO*CO=24,則有：$二8D=S“qe=24,即工BOOA=1DO.CO, 22.DO-CXr=BO-OA.解答圖反比例函數(shù)相關(guān)練習(xí)題1 .如圖，直線y=-x上有一長(zhǎng)為 應(yīng)動(dòng)線段MN作MH NP都平行y軸交在條件（2） 下，第一象限