高等代數-北京大學第三版--北京大學精品課程(共68頁)

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上第一學期第一次課第一章 代數學的經典課題§1 若干準備知識1.1.1 代數系統的概念一個集合，如果在它里面存在一種或若干種代數運算，這些運算滿足一定的運算法則，則稱這樣的一個體系為一個代數系統。1.1.2 數域的定義定義（數域） 設是某些復數所組成的集合。如果K中至少包含兩個不同的復數，且對復數的加、減、乘、除四則運算是封閉的，即對內任意兩個數、（可以等于），必有，則稱K為一個數域。例1.1 典型的數域舉例： 復數域C；實數域R；有理數域Q；Gauss數域：Q (i) = i |Q，其中i =。命題 任意數域K都包括有理數域Q。證明 設為任意一個數域。由定義

2、可知，存在一個元素。于是。進而Z, 。最后，Z，。這就證明了Q。證畢。1.1.3 集合的運算，集合的映射（像與原像、單射、滿射、雙射）的概念定義(集合的交、并、差) 設是集合，與的公共元素所組成的集合成為與的交集，記作；把和B中的元素合并在一起組成的集合成為與的并集，記做；從集合中去掉屬于的那些元素之后剩下的元素組成的集合成為與B的差集，記做。定義（集合的映射） 設、為集合。如果存在法則，使得中任意元素在法則下對應中唯一確定的元素（記做），則稱是到的一個映射，記為如果，則稱為在下的像，稱為在下的原像。的所有元素在下的像構成的的子集稱為在下的像，記做，即。若都有 則稱為單射。若 都存在，使得，則

3、稱為滿射。如果既是單射又是滿射，則稱為雙射，或稱一一對應。1.1.4 求和號與求積號 1求和號與乘積號的定義. 為了把加法和乘法表達得更簡練，我們引進求和號和乘積號。設給定某個數域上個數，我們使用如下記號：,.當然也可以寫成,.2. 求和號的性質. 容易證明，事實上，最后一條性質的證明只需要把各個元素排成如下形狀：分別先按行和列求和，再求總和即可。第一學期第二次課§2一元高次代數方程的基礎知識1.2.1高等代數基本定理及其等價命題1. 高等代數基本定理 設為數域。以表示系數在上的以為變元的一元多項式的全體。如果，則稱為的次數，記為。定理（高等代數基本定理） C的任一元素在C中必有零點

4、。命題 設是C上一個次多項式，是一個復數。則存在C上首項系數為的次多項式，使得證明 對作數學歸納法。推論 為的零點，當且僅當為的因式（其中）。命題（高等代數基本定理的等價命題） 設 為C上的次多項式，則它可以分解成為一次因式的乘積，即存在個復數，使證明 利用高等代數基本定理和命題1.3，對作數學歸納法。2高等代數基本定理的另一種表述方式定義 設是一個數域，是一個未知量，則等式 （1）（其中）稱為數域上的一個次代數方程；如果以帶入（1）式后使它變成等式，則稱為方程（1）在中的一個根。定理（高等代數基本定理的另一種表述形式） 數域上的次代數方程在復數域C內必有一個根。命題 次代數方程在復數域C內有

5、且恰有個根（可以重復）。命題（高等代數基本定理的另一種表述形式）給定C上兩個n次、m次多項式，如果存在整整數,及個不同的復數，使得，則。1.2.2 韋達定理與實系數代數方程的根的特性設，其中。設的復根為（可能有重復），則所以；我們記；（稱為的初等對稱多項式）。于是有定理2.5 (韋達定理) 設，其中。設的復根為。則；命題 給定R上次方程 ， ，如果i是方程的一個根，則共軛復數i也是方程的根。證明 由已知，.兩邊取復共軛，又由于R，所以.推論 實數域上的奇數次一元代數方程至少有一個實根。證明 因為它的復根（非實根）必成對出現，已知它在C內有奇數個根，故其中必有一根為實數。第一學期第三次課

6、7;3線性方程組 1.3.1數域K上的線性方程組的初等變換舉例說明解線性方程組的Gauss消元法。定義（線性方程組的初等變換） 數域上的線性方程組的如下三種變換（1） 互換兩個方程的位置；（2） 把某一個方程兩邊同乘數域內一個非零元素；（3） 把某一個方程加上另一個方程的倍，這里的每一種都稱為線性方程組的初等變換。容易證明，初等變換可逆，即經過初等變換后的線性方程組可以用初等變換復原。命題 線性方程組經過初等變換后與原方程組同解證明 設線性方程組為 （*）經過初等變換后得到的線性方程組為（*），只需證明（*）的解是（*）的解，同時（*）的解也是（*）的解即可。設是（*）的解，即（*）中用代入后

7、成為等式。對其進行初等變換，可以得到代入（*）后也成為等式，即是（*）的解。反之，（*）的解也是（*）的解。證畢。1.3.2線性方程組的系數矩陣和增廣矩陣以及矩陣的初等變換定義（數域上的矩陣） 給定數域K中的個元素（，）。把它們按一定次序排成一個行列的長方形表格稱為數域K上的 一個行列矩陣，簡稱為矩陣。定義（線性方程組的系數矩陣和增廣矩陣） 線性方程組中的未知量的系數排成的矩陣稱為方程組的系數矩陣；如果把方程組的常數項添到內作為最后一列，得到的矩陣稱為方程組的增廣矩陣。定義(矩陣的初等變換) 對數域上的矩陣的行（列）所作的如下變換（1） 互換兩行（列）的位置；（2） 把某一行（列）乘以K內一個

8、非零常數；（3） 把某一行（列）加上另一行（列）的倍，這里稱為矩陣的行（列）初等變換。定義（齊次線性方程組） 數域上常數項都為零的線性方程組稱為數域K上的齊次線性方程組。這類方程組的一般形式是命題 變元個數大于方程個數的齊次線性方程組必有非零解；證明 對變元個數作歸納。說明 線性方程組的解的存在性與數域的變化無關（這不同于高次代數方程）。事實上，在（通過矩陣的初等變換）用消元法解線性方程組時，只進行加、減、乘、除的運算。如果所給的是數域上的線性方程組，那么做初等變換后仍為上的線性方程組，所求出的解也都是數域中的元素。因此，對上線性方程組的全部討論都可以限制在數域中進行。第一學期第四次課第二章

9、向量空間與矩陣第一節(jié) m維向量空間2.1.1 向量和m維向量空間的定義及性質定義（向量）設是一個數域。中個數所組成的一個元有序數組稱為一個m維向量； （）稱為一個m維列向量；而稱為一個m 維行向量。我們用記集合。定義（中的加法和數量乘法） 在中定義加法如下：兩個向量相加即相同位置處的數相加，即.在定義數量乘法為用中的數去乘向量的各個位置，即對于某個， 定義（維向量空間） 集合和上面定義的加法、數乘運算組成的代數系統稱為數域上的m維向量空間。命題（向量空間的性質） 向量空間中的元素關于加法和數乘運算滿足如下性質（其中表示數域，表示中的向量）：（1） 加法結合律：；（2） 加法結合律：（3） 向量

10、（0,0,0）（記為）具有性質：對于任意，有；（4） ，令，稱其為的負向量，它滿足；（5） 對于數1，有（6） 對內任意數, ，有；（7） 對內任意數, ，有；（8） 對內任意數，有 。2.1.2 線性組合和線性表出的定義定義（線性組合） 設 ，則稱向量為向量組的一個線性組合。定義（線性表示） 設，。如果存在，使得，則稱可被向量組線性表示。2.1.3 向量組的線性相關與線性無關的定義以及等價表述定義（線性相關與線性無關） 設。如果存在不全為零的，使得，則稱線性相關，否則稱為線性無關。注意：根據這個定義，線性無關可以表述如下：若，使得，則必有。如果，顯然線性相關當且僅當齊次線性方程組有非零解，線

11、性無關當且僅當此齊次線性方程組只有零解。命題 設，則下述兩條等價：1）線性相關；2）某個可被其余向量線性表示。證明 1）2）. 由于線性相關，故存在不全為零的個數，使得。不妨設某個。于是，由向量空間的性質有2）1）. 如果某個可被其余向量線性表示，即存在，使得.由向量空間的性質有.于是線性相關。證畢。推論 設，則下述兩條等價：1）線性無關；2）任一不能被其余向量線性表示。第一學期第五次課2.1.4 向量組的線性等價和集合上的等價關系定義（線性等價） 給定內的兩個向量組 ， （*） ， （*）如果向量組（*）中每一個向量都能被向量組（*）線性表示，反過來向量組（*）中的每個向量也都能被向量組（*

12、）線性表示，則稱向量組（*）和向量組（*）線性等價。定義（集合上的等價關系） 給定一個集合，上的一個二元關系“”稱為一個等價關系，如果“”滿足以下三條：（1） 反身性：；（2） 對稱性：；（3） 傳遞性：。與等價的元素的全體成為所在的等價類。命題 若與在不同的等價類，則它們所在的等價類的交集是空集。進而一個定義了等價關系的集合可以表示為所有等價類的無交并。證明 記所在的等價類為，的等價類為。若它們的交集非空，則存在，于是有。由等價關系定義中的對稱性和傳遞性即知，與和在不同的等價類矛盾。這就證明了和所在的等價類交集是空集。而集合包含所有等價類的并集，又集合中的任一個元素都屬于一個等價類，于是集合

13、是等價類的并集。綜上可知，命題成立。證畢。命題 給定內兩個向量組 ， （1） ， （2）且（2）中每一個向量都能被向量組（1）線性表示。如果向量能被向量組（2）線性表示，則也可以被向量組（1）線性表示。證明 若向量組（2）中的每一個向量都可以被向量組（1）線性表示，則存在 ，使得 () . （i）由于能被向量組（2）線性表示，故存在 ，使得.將（i）代入，得，即可被線性表示。由此易推知命題 線性等價是的向量組集合上的等價關系。2.1.5向量組的極大線性無關部分組和向量組的秩定義（ 向量組的極大線性無關組） 設為中的一個向量組，它的一部分組稱為原向量組的一個極大線性無關組，若（1） 線性無關；（

14、2） 中的每一個向量都可被線性表出。容易看出向量組和線性等價。引理 給定上的向量組和，如果可被線性表出，且，則向量組線性相關。證明 由于可被線性表出，故存在，使得 （*）設 . （*）將（*）代入（*），得.設各系數均為零，得到 ， （*）（*）是一個含有個未知量和個方程的其次線性方程組，而，故方程組（*）有非零解，于是存在不全為零的，使得（*）成立。由線性相關的定義即知向量組線性相關。定理 線性等價的向量組中的極大線性無關組所含的向量個數相等。證明 設和中的線性等價的向量組。設向量組和分別是原向量組的極大線性無關部分組，則由線性無關部分組的定義和線性等價的傳遞性知此二極大線性無關部分組線性等

15、價。由于可將中的每一個向量線性表出，知（否則由引理知向量組線性相關，矛盾）。同理。于是。推論 任意向量組中，任意極大線性無關組所含的向量個數相等。定義（向量組的秩） 對于內給定的一個向量組，它的極大線性無關組所含的向量的數量稱為該向量組的秩。第一學期第六次課第二章 §2矩陣的秩2.1.1矩陣的行秩與列秩、矩陣的轉置定義2.1 矩陣的行秩與列秩。一個矩陣的行向量組的秩成為的行秩，它的列向量組的秩稱為的列秩。命題2.1 矩陣的行（列）初等變換不改變行（列）秩；證明 只需證明行變換不該行秩。容易證明，經過任意一種初等行變換，得到的行向量組與原來的向量組線性等價，所以命題成立。證畢。定義2.

16、2 矩陣的轉置把矩陣A的行與列互換之后，得到的矩陣稱為矩陣的轉置矩陣。命題2.2 矩陣的行（列）初等變換不改變列（行）秩。證明 只需證明行變換不改變列秩。列變換可用矩陣的轉置證得。假設的列向量為，它的一個極大線性無關部分組為，而經過初等行變換之后的列向量為，只需證明是變換后列向量的一個極大線性無關部分組即可。只需分別證明向量組（*）線性無關和中的任意一個向量都可以被（*）線性表出。構造方程，由于線性無關，線性方程組只有零解。而方程是由經過初等行變換得來的，而初等行變換是同解變換，所以只有零解，于是線性無關。對于的任意一個列向量，都可被線性表出，利用初等行變換是同解變換同樣可以證明經過初等行變換

17、后，可以被（*）線性表出。證畢。推論 矩陣的行、列秩相等，稱為矩陣的秩，矩陣的秩記為r；證明 設，不妨考慮，經過行、列調換后，可使左上角元素不等于零。用三種行、列變換可使矩陣化為如下形式其中(*)代表一個矩陣。若（*）不是零矩陣，重復上面做法，歸納下去，最后得到形如的一個矩陣，可知，矩陣的行秩和列秩都等于矩陣中“1”的個數。于是由初等變換可逆和推論可以知道，矩陣的行秩等于列秩。定義2.3 一個矩陣的行秩或列秩成為該矩陣的秩，記作。2.2.2 矩陣的相抵定義2.4 給定數域上的矩陣和，若經過初等變換能化為，則稱矩陣和相抵。命題2.3 相抵是等價關系，且秩是相抵等價類的完全不變量。證明 逐項驗證等

18、價類的定義，可知相抵是等價關系；由于初等變換不改變矩陣的秩，于是矩陣的秩是等價類的完全不變量。2.2.3用初等變換求矩陣的秩用初等行變換或列變換將矩陣化為階梯形，階梯形矩陣的秩這就是原矩陣的秩。第一學期第七次課第二章 §3線性方程組的理論課題3.1.1齊次線性方程組的基礎解系對于齊次線性方程組令，則上述方程組即為 （*）（其中0為零向量）。將（*）的解視為維向量，則所有解向量構成中的一個向量組，記為。命題 中的元素（解向量）的線性組合仍屬于（仍是解）。證明 只需要證明S關于加法與數乘封閉。設，則， ，于是，故；又因為，所以。證畢。定義（線性方程組基礎解系） 齊次線性方程組（*）的一組

19、解向量如果滿足如下條件：（1） 線性無關；（2） 方程組（*）的任一解向量都可被線性表出，那么，就稱是齊次線性方程組（*）的一個基礎解系。定理 數域上的齊次線性方程組的基礎解系中的向量個數等于變元個數減去系數矩陣的秩；證明 記線性方程組為，其中，設的秩為，無妨設為其極大線性無關部分組，則皆可被線性表出， 即存在，使得 即。于是中含有向量 .只需要證明是解向量組的一個極大線性無關部分組即可。易見，向量組線性無關。只需要再證明能線性表出任意一個即可。為此，需要證明引理：引理 設線性無關，可被線性表出，則表示法唯一。證明 設，兩式相減，得到.由于線性無關，故各的系數皆為零，于是，即的表示法唯一。引理

20、證畢?，F在回到定理的證明。設，則有 . （1）考慮，則形如，且有 . （2）記，則由引理，它可以被線性無關的向量組唯一地線性表示，于是由（1）、（2）兩式可知，于是。這就證明了是解向量組的一個極大線性無關部分組。再由矩陣的秩的定義可知命題成立。證畢。基礎解系的求法我們只要找到齊次線性方程組的各自有未知量，就可以獲得它的基礎解系。具體地說，我們先通過初等行變換把系數矩陣化為階梯形，那么階梯形的非零行數就是系數矩陣的秩。把每一個非零行最左端的未知量保留在方程組的左端，其余個未知量移到等式右端，再令右端個未知量其中的一個為1，其余為零，這樣可以得到個解向量，這個解向量構成了方程組的基礎解系。例 求數

21、域上的齊次線性方程組的一個基礎解系。解 用初等行變換把系數矩陣化為階梯形：，于是r，基礎解系中有 r個向量。寫出階梯形矩陣所對應的方程組移項，得（1）、取，得一個解向量；（2）、取，得另一解向量.即為方程組的一個基礎解系，方程組的全部解可表示為.解畢。非齊次線性方程組的解的結構設給定一個一般線性方程組 （*）于是其系數矩陣和增廣矩陣分別為和。定理 (數域K上線性方程組有解的判別定理) 對于數域K上的線性方程組（*），若rr，則方程組無解；rr，則有唯一解；rr，則有無窮多解。證明 寫出線性方程組的向量形式，其中，。若rr，則由矩陣秩的定義，可知列向量組的秩小于列向量的秩，即向量組的秩小于向量組

22、的秩。只需證明不可以被向量組線性表出即可證明方程組無解。事實上，若可以將線性表出，則向量組與線性等價，則兩個向量組的秩相等，矛盾于向量組的秩小于向量組的秩。所以不能將線性表出，方程組無解得證。若rr，則的極大線性無關部分組就是的極大線性無關部分組。于是能被線性表出，即線性方程組有解。任取線性方程組的一個解向量，記為，對于線性方程組的任意一個解向量，是由原方程組系數矩陣所對應的齊次線性方程組（稱為線性方程組（*）的導出方程組）的解向量。事實上，可以分別將和帶入（*），再將對應方程相減，即可證明上述結論。反過來，容易證明，對于導出方程組的每一個解向量，都是線性方程組（*）的解向量。以記導出方程組的

23、解向量組成的集合，則（*）的解為.詳言之，記導出方程組的基礎解系為，則（*）的解為：.如果rr，則，故方程組（*）有唯一解；如果rr，則為無窮集合，故方程組（*）有無窮多解。第一學期第八次課第二章 §4矩陣的運算2.4.1矩陣運算的定義定義（矩陣的加法和數乘） 給定兩個矩陣， ，和加法定義為；給定數域中的一個元素，與的數乘定義為.定義（矩陣的乘法） 給定一個矩陣和一個矩陣， ，和的乘法定義為.2.4.2 矩陣的運算（加法、數乘、乘法、轉置）的性質命題 矩陣和定義在矩陣上的運算滿足如下運算規(guī)律（其中均為上的矩陣，為數域中的元素）（1） 加法結合律 ；（2） 加法交換律 ；（3） 數乘結

24、合律 ；（4） 數乘分配律 ；（5） 乘法結合律 ；（6） 乘法分配律 ；（7） ;（8） 。2.4.3 矩陣的和與積的秩命題 矩陣的運算與秩的關系滿足如下性質（其中均為數域上的矩陣，為中的元素）：（1） 若，則rr；（2） rr；（3） rrr證明 （1）和（2）顯然成立。關于（3），由矩陣的秩的定義，只需要證明的列向量組的秩小于等于的列向量組的秩加上的列向量組的秩即可。的列項量可以被和的所有列向量線性表出，于是的秩小于等于所有列向量的所組成的向量組的秩，小于等于秩的和。于是命題成立。命題 設分別為矩陣和一個矩陣，則rminrr證明 由矩陣乘法的定義，有.的列向量（記為）可表示為，（），于是

25、每一個列向量都可以寫成的列向量組的線性組合，故rr；同理可證，rr，于是rminrr。命題 rrr.證明 記，設的列向量為，則的列向量可以表示為 . （1）設的列向量的一個極大線性無關部分組為，任取的一個列向量，存在，使得， 將（1）式代入，得到，于是是方程組的一個特解。設齊次線性方程組的基礎解系為，由線性方程組理論知，方程的解可以表示為，其中，由，是方程的解，于是的列向量可以被向量組線性表示，于是rrr，即rrr. 證畢。定義 階方陣自左上角到右下角這一條對角線稱為的主對角線。主對角線上的個元素的連加稱為的跡。第一學期第九次課第二章 §5 n階方陣2.5.1 n階方陣，對角矩陣，數

26、量矩陣，單位矩陣，初等矩陣，對稱、反對稱、上三角、下三角矩陣定義（數域上的階方陣） 數域上的矩陣成為上的階方陣，上全體階方陣所成的集合記作。定義（階對角矩陣、數量矩陣、單位矩陣） 數域上形如的方陣被稱為n階對角矩陣，與其他矩陣相乘，有；。形如的方陣被稱為n階數量矩陣，與其他矩陣相乘，有；。矩陣被稱為n階單位矩陣，記作，有；。我們記第i行第j列為1，其余位置全為零的n階方陣。定義 初等矩陣我們把形如其中對角線上除了第i個元素為k以外，全為1，其他位置全為0的矩陣和形如其中對角線上的元素全為1，第i行j列位置上為k，其余位置都為0的矩陣和形如其中對角線上的元素除了第i和第j個元素為零外，都為1，第

27、i行第列和第（n-i）行第（n-j）列位置上為1，其余位置均為零的矩陣稱為初等矩陣，分別用，來表示。初等矩陣都是由單位陣經過一次初等變換得到的。定義 對稱矩陣、反對稱矩陣設為數域K上的n階方陣，若，稱A為對稱矩陣；若，則稱為反對稱矩陣。若為數域上的階對稱（反對稱）矩陣，則仍為K上的n階對稱（反對稱）矩陣，其中。定義 上三角、下三角矩陣數域K上形如的n階方陣被稱為上三角矩陣；形如的n階方陣被稱為下三角矩陣。對于n階上（下）三角矩陣，同樣有若為數域K上的n階上（下）三角矩陣，則仍為K上的n階上（下）三角矩陣，其中。命題 矩陣的初等行（列）變換等價于左（右）乘初等矩陣；證明 我們分別考察三種初等矩陣

28、對于，有，等價于初等行變換中將第i行乘以一個非零數，等價于初等列變換中將第i列乘以一個非零數；對于，有等價于初等行變換中將第j行加上第i行的k倍，等價于初等列變換中將第j列加上第i列的k倍；對于，有，等價于初等行變換中互換i，j兩行，而等價于初等列變換中互換i，j兩列。于是初等行（列）變換可以等價為左（右）乘初等矩陣。證畢。定理 一個方陣是滿秩的當且僅當它能表示為初等矩陣的乘積。證明 必要性 經過初等變換可以將一個滿秩n階矩陣（記為A）化為對角形，由初等變換與乘初等矩陣的等價性，可知存在初等矩陣和，使得，由于初等變換存在逆變換，于是可知用初等變換的逆變換可以將單位矩陣化為滿秩矩陣A，于是，存在

29、n階初等矩陣和，使得，由矩陣運算的結合律和單位矩陣的性質，可以知道，必要性證畢。 充分性 若可以表示成為初等矩陣的乘積，則，表示可由階單位陣經過次初等變換得到，于是滿秩。證畢。推論 設是滿秩矩陣，對于任意矩陣，有rr，rr（只要乘法有意義）.證明 由于滿秩矩陣可以寫作初等矩陣的乘積，于是存在初等矩陣，使得，于是，由初等矩陣于初等變換的等價關系，相當于對B做r次初等行變換。由于初等變換不改變矩陣的秩，所以rr；同理，rr。證畢。第一學期第十次課2.5.2可逆矩陣，方陣的逆矩陣1、可逆矩陣，方陣的逆矩陣的定義定義 設A是屬于K上的一個n階方陣，如果存在屬于K上的n階方陣B，使，則稱B是A的一個逆矩

30、陣，此時A稱為可逆矩陣。2、群和環(huán)的定義定義 設A是一個非空集合。任意一個由到A的映射就成為定義在A上的代數運算。定義 設G是一個非空集合。如果在G上定義了一個代數運算（二元運算），稱為乘法，記作，而且它適合以下條件，那么就成為一個群：1、 乘法滿足結合律對于G中的任意元素a,b,c有 ；2、 存在單位元素，對于任意，滿足 ；3、 對于任意，存在，使得 。關于群的性質，我們有如下命題：命題 對于任意，同樣有證明 對于，存在，使得，兩端右乘，得到。命題 對于任意，同樣有證明 。命題 單位元素唯一證明 假設存在，均是單位元素，則。命題 對于任意，存在唯一，使得 ，于是元素就稱為的逆元素，記為。證明

31、 設存在，滿足條件，則。易知，。命題 對于G中的任意元素a,b，方程有唯一解。定義 一個群G稱為一個交換群（Abelian Group），若定義在上面的代數運算滿足交換律，即對于任意，都有。定義 設L是一個非空集合，在L上定義了兩個代數運算，一個叫加法，記為a+b，一個叫乘法，記為ab。如果具有性質：（1）、L關于加法成為一個交換群；（2）、乘法滿足結合律，即，有；（3）、乘法關于加法滿足分配律，即，有那么L就稱為一個環(huán)。命題 數域上的階可逆矩陣的全體關于矩陣的乘法構成群，稱為上的一般線性群，記為GL；數域上的階方陣的全體關于矩陣的加、乘法構成環(huán)，稱為上的全矩陣環(huán)，記為M；證明 按定義逐項驗證

32、即可。其中GL中乘法的單位元是n階單位矩陣，而M中加法的單位元是n階零方陣。命題 證明 ，由逆矩陣的唯一性可知，命題成立。命題 假設n階可逆方陣A的逆矩陣是B，則是的逆矩陣。證明 只需要證明即可。事實上，于是命題得證。命題 矩陣可逆當且僅當滿秩；證明 必要性 若n階方陣A可逆，則存在n階方陣B，使得，于是有，于是；充分性 若n階方陣滿秩，則A可以表為初等矩陣的乘積，即存在初等矩陣，使得。只需要證明初等矩陣是可逆的。事實上，；，所以由命題 。證畢。2.5.3用初等變換求可逆矩陣的逆矩陣，矩陣方程和的解法（為可逆陣）1、 用初等變換求可逆矩陣的逆矩陣如果A可逆，則A滿秩。于是A可以經過初等行變換化

33、為對角形，即，則。于是，對單位矩陣做與把A化為標準形相同的初等行變換（由矩陣乘法和初等變換的等價性可以知道這是可行的）就可以得到A的逆矩陣，不妨把可逆矩陣A和單位矩陣E并在一起，得到，對A進行初等行變換，將其化為對角形，即得到；同樣地，將可逆矩陣和單位矩陣拼成如下形狀，進行初等列變換，同樣可以得到。2、關于矩陣方程和的解法（其中為可逆陣）a、關于矩陣方程，其中A是一個矩陣，X和B是矩陣。由關于群性質，可以知道，于是將A和B并排拼成一個矩陣，進行初等行變換，將A化為單位矩陣，于是可以得到；b、關于矩陣方程，其中A是一個矩陣，X和B是矩陣。 同樣地，我們將A和B拼為，可以得到方程的解。例 設和為數

34、域上的和矩陣，則rr+r證明 存在和初等矩陣，使得，其中D為A在初等變換的下標準形，記為的秩。令,則。Q和P均為滿秩方陣，則， 記為，則=，于是的秩為前s個行向量的秩。而可以被前s個行向量的極大線性無關部分組和的后n-s個向量線性表示，于是，于是。證畢。第一學期第十一次課第二章 §6分塊矩陣2.6.1分塊矩陣的乘法，準對角陣的乘積和秩1、矩陣的分塊和分塊矩陣的乘法設A是屬于K上的矩陣，B是K上矩陣，將A的行分割r段，每段分別包含個行，又將A的列分割為s段，每段包含個列。于是A可用小塊矩陣表示如下： ，其中為矩陣。對B做類似的分割，只是要求它的行的分割法和A的列的分割法一樣。于是B可以

35、表示為，其中是的矩陣。這種分割法稱為矩陣的分塊。此時，設，則C有如下分塊形式：，其中是矩陣，且。 定義 稱數域K上的分塊形式的n階方陣為準對角矩陣，其中為階方陣（），其余位置全是小塊零矩陣。2、分塊矩陣的一些性質命題 階準對角矩陣有如下性質：（1）、對于兩個同類型的n階準對角矩陣（其中同為階方陣），有；（2）、；（3）、A可逆可逆，且。命題 分塊矩陣的秩大于等于與的秩的和。證明 記，設A為矩陣，B為矩陣， A在初等變換標準形為，；B在初等變換下的標準形為，則對M前m行前n列做初等變換，對它的后k行后l列也做初等變換，這樣可以把M化為?，F在利用左上角的“1”經過初等列變換消去它右邊位置中的非零元

36、；再用左上角的“1”經過初等行變換消去它上面處的非零元素，于是把再化作。則有。證畢。容易得出，對于矩陣，也有同樣的性質。對于上述和，如果，則；如果，則。命題 設、為數域上的三個可以連乘的矩陣，則rrr r證明 假設A、B、C分別為、和矩陣。令，考慮由可逆矩陣乘法的性質（命題 ）和命題 可以知道，2.6.2矩陣分塊技巧的運用（挖洞法）和其應用可逆矩陣的分塊求逆1、挖洞法設，其中A為矩陣，B為矩陣，C為矩陣，D為矩陣。不妨設A可逆，取，則，取，則。由于分塊矩陣的乘法形式上與普通矩陣相同，所以也可以用左乘（或右乘）一個適當的分塊方陣來讀一個分塊矩陣做類似的變換。但是要注意：（1）、兩個小塊矩陣相乘時

37、必須遵守左邊矩陣的列數等于右邊矩陣的行數這一原則；（2）、兩個小塊矩陣相乘成不能交換次序，要分清那個在左，那個在右。2、矩陣的分塊求逆設方陣，其中A可逆。令，記，若M可逆，則N可逆，于是可逆。，求得。第一學期第十二次課第三章 §1，§2 階方陣的行列式3.1.1平行四邊形的有向面積和平行六面體的有向體積具有的三條性質在解析幾何中已證明，給定二維向量空間中的單位正交標架，設向量的坐標分別為和，則由向量張成的平行四邊形的有向面積為，這里記為；給定三維空間內右手單位正交標架，設向量的坐標分別為、和，則由向量張成的平行六面體的有向體積為。我們引入如下記號：對于二階方陣，定義；對于三

38、階方陣，定義。不難發(fā)現，（有向面積與有向體積）滿足以下三條性質：（1）、如果的某行或某列換為兩個向量的線性組合，則，其中分別為把該行（列）換為所得的階方陣；（2）、如果不滿秩，則；（3）、當為單位矩陣時，。3.1.2利用上述三條性質定義階方陣的行列式函數的det定義 線性函數若滿足如下條件：對中任意向量(寫成橫排形式)以及K中任意數k，都有=+；=，則稱為上的一個行線性函數。設滿足如下條件對中任意向量（寫成豎排形式）以及K中任意數k，都有；，則稱為上的一個列線性函數。同樣地，行（列）線性函數的定義還可以寫作，有=+和。容易證明它們與上面定義的等價性。定義 反對稱線性函數記號如上，若列線性函數f

39、滿足，則稱f為列反對稱函數。定理 設為列線性函數，則下述四條等價：i）、反對稱；ii）、；iii）、；iv）、若M不滿秩，則。證明 i）ii） 若反對稱，則，于是。ii）iii） 若，由于列線性，則iii）iv） 若，則由已知，不滿秩矩陣必有一個列向量可以被其他列向量線性表出。若記M的列向量為，則必存在一個，滿足，其中，于是。iv）ii） 矩陣不滿秩，則。ii）i） 若，則，于是，則有。證畢定義 函數被稱為一個行列式函數，當且僅當滿足下列3條性質：1、列線性；2、反對稱；3、。2.3.3行列式函數的存在性與唯一性引理 設和為烈現行反對稱函數，。則若經過相同的初等列變換化為和，則。證明 由初等變

40、換的可逆性，只需證“”。只需分別對三類基本初等列變換進行證明。定理 行列式函數存在且唯一。證明 首先證明若行列式函數存在，則唯一。設是行列式函數，若A不滿秩，則；若A滿秩，則可以經過初等列變換化為， ，于是由引理，即和在上取值相等，于是。唯一性證畢。再證明行列式函數的存在性。定義函數det如下：設，定義；設在集合內函數已定義，那么，對，定義其中表示劃去A的第i行和第j列后所剩的n-1階方陣的值，為。用記號來代表，如果，可以寫成下面要證明上述定義的函數是行列式函數，從而說明了行列式函數的存在性。對作歸納，可分別證明； 是列線性函數和反對稱，于是是行列式函數。命題 行列式函數是行線性函數。證明 對

41、作歸納。3.2.4行列式的六條性質命題 行列式函數滿足以下六條性質：1、；2、， 類似地，對行向量，有 ；3、若A的某列（行）為兩列（行）之和，則為兩個相應的行列式之和；4、A不滿秩，則，特別地，A有兩行（列）相等，則；5、將A的一行（列）的若干倍加到B的另一行（列）上去，行列式值不變；6、兩行（列）互換，行列式反號。第一學期第十三次課第三章 §2 階方陣的行列式（續(xù)）3.2.5行列式的按任意列展開和特殊矩陣的行列式1、行列式的按任意行（列）展開定義 命，稱為的代數余子式。命題 按行列式的第行展開，有。 證明 將第行先后與第行交換，再展開。推論 行列式按第行展開，有。2、范德蒙行列式

42、形如的行列式稱為范德蒙行列式。命題 。證明 對作歸納。3、準對角陣的行列式命題 。證明 對作歸納。推論 。推論 。4、可微函數的方陣的行列式的微商命題 設在上可導，則。證明 對作歸納。第一學期第十四次課第三章 §3行列式的初步應用3.3.1行列式的應用：用行列式求逆矩陣；克萊姆法則定義 設矩陣，矩陣稱為的伴隨矩陣。由行列式的性質容易證得，其中，為Kronecker記號。于是有命題 對于階滿秩方陣，有，若，則?？疾炀€性方程組，將其記為，若滿秩，則，而，就是把的第列換成后的行列式，記，于是有：定理 若數域上的個未知量個方程的線性方程組的系數矩陣的行列式，則它有唯一的一組解。這個定理稱為C

43、ramer法則。3.3.2矩陣乘積的行列式、用矩陣的子式的行列式刻畫矩陣的秩命題 設，則。證明 對討論滿秩與不滿秩的情況。定義 設，取，稱為的一個階子式，記為。引理 存在非零的階子式。證明 “” 若，則由矩陣的秩的定義，存在個線性無關的行向量，設它們?yōu)樾?，取它們構成一個秩為的矩陣存在個線性無關的列向量，設它們?yōu)榱校谑?；“?若存在，則此子式的個列向量線性無關，將它們擴充成為原矩陣的第，它們仍線性無關。證畢。命題 對于上的階方陣，當且僅當存在某個階子式不等于零，但所有階子式都等于零。證明 “” 若，則由引理，存在某個階子式不等于零。若存在某個階子式不等于零，則由引理，矛盾于，必要性得證；“”

44、若對于，存在某個階子式不等于零，則，而但所有階子式都等于零，則，于是，證畢。第一學期第十五次課第三章 §4行列式的完全展開式3.4.1一些基本概念定義 給定個互不相同的自然書，把它們按一定次序排列起來：，稱為該個自然數的一個排列。在上述排列中，如果有一個較大的自然豎排在一個較小的自然數前面，則稱為一個反序。一個排列中包含的反序的總數稱為該排列的反序數。排列的反序數計作。一個排列的反序數為奇數時，該排列稱為奇排列；如果反序數時偶數，則稱為偶排列。的算法給定個自然數，按大小順序排列：，現在把它們按任意次序重排，得元排列，這個排列的反序數可用下法計算：先找出排在前面的數字有多少，設為，然后

45、劃去，再看前面未劃去的數字有多少，設為，然后劃去，再看前面未劃去的數字有多少，設為，然后劃去，經過次后，即得。命題 給定數域上的矩陣，（），取定個自然數，按大小次序排列：，又設是這個自然數的一個排列，則。推論 將命題中的互換，則其奇偶性發(fā)生變化。定理 數域上的階行列式有如下展開式。證明 令，證明是行列式函數。推論 設，則。第一學期第十六次課期中考試第一學期第十七次課第四章 線性空間與線性變換§1 線性空間的基本概念4.1.1線性空間的定義及例1、線性空間的定義定義4.1 線性空間設V是一個非空集合，且V上有一個二元運算“+”，又設K為數域，V中的元素與K中的元素有運算數量乘法“”，且

46、“+”與“”滿足如下性質：1、 加法交換律 ，有；2、 加法結合律 ，有；3、 存在“零元”，即存在，使得；4、 存在負元，即，存在，使得；5、 “1律” ；6、 數乘結合律 ，都有；7、 分配律 ，都有；8、 分配律 ，都有，則稱V為K上的一個線性空間，我們把線性空間中的元素稱為向量。注意：線性空間依賴于“+”和“”的定義，不光與集合V有關。2、零向量和負向量的唯一性，向量減法的定義，線性空間的加法和數乘運算與通常數的加、乘法類似的性質命題4.1 零元素唯一，任意元素的負元素唯一。證明： 設與均是零元素，則由零元素的性質，有； ，設都是的負向量，則，于是命題得證。由于負向量唯一，我們用代表的

47、負向量。 定義4.2 減法 我們定義二元運算減法“-”如下：定義為。 命題4.2 線性空間中的加法和數乘滿足如下性質：1、 加法滿足消去律 ；2、 可移項 ；3、 可以消因子 且，則；4、 。3、線性空間的例子例4.1令V表示在上可微的函數所構成的集合，令，V中加法的定義就是函數的加法，關于K的數乘就是實數遇函數的乘法，V構成K上的線性空間。4.1.2線性空間中線性組合和線性表出的定義，向量組的線性相關與線性無關的定義以及等價表述，向量組的秩，向量組的線性等價；極大線性無關組定義4.3 線性組合給定V內一個向量組，又給定數域K內s個數，稱為向量組的一個線性組合；定義4.4 線性表出給定V內一個

48、向量組，設是V內的一個向量，如果存在K內s個數，使得，則稱向量可以被向量組線性表出。定義4.5 向量組的線性相關與線性無關給定V內一個向量組，如果對V內某一個向量，存在數域K內不全為零的數，使得，則稱向量組線性相關；若由方程必定推出，則稱向量組線性無關。命題4.3 設，則下述兩條等價：1）線性相關；2）某個可被其余向量線性表示。證明同向量空間。定義4.6 線性等價給定V內兩個向量組 （）， （），如果（）中任一向量都能被（）線性表示，反過來，（）中任一向量都能被（）線性表示，則稱兩向量組線性等價。定義4.7 極大線性無關部分組給定V內一個向量組，如果它有一個部分組滿足如下條件：（i）、線性無關

49、；（ii）、原向量組中任一向量都能被線性表示，則稱此部分組為原向量組的一個極大線性無關部分組。由于在向量空間中我們證明的關于線性表示和線性等價的一些命題中并沒有用到的一些特有的性質，于是那些命題在線性空間中依然成立。定義4.8 向量組的秩一個向量組的任一極大線性無關部分組中均包含相同數目的向量，其向量數目成為該向量組的秩。例4.2 求證：向量組的秩等于2（其中）證明：方法一：設，滿足，則，假若不全為零，不妨設，則有，而由于，等號左邊為嚴格單調函數，矛盾于等號右邊為常數。于是。所以線性無關，向量組的秩等于2。證畢。方法二：若在上，兩端求導數，得，以代入，而，于是。證畢。第一學期第十八次課4.1.

50、3 線性空間的基與維數，向量的坐標 設V是數域K上的線性空間，定義4.9 基和維數如果在V中存在n個向量，滿足：1）、線性無關；2）、V中任一向量在K上可表成的線性組合，則稱為V的一組基。基即是V的一個極大線性無關部分組?；膫€數定義為線性空間的維數。命題4.4 設V是數域K上的n維線性空間，而。若V中任一向量皆可被線性表出，則是V的一組基。證明：由與V的一組基線性等價可以推出它們的秩相等。命題4.5 設V為K上的n維線性空間，則下述兩條等價：1）、線性無關；2）、V中任一向量可被線性表出。定義4.10 向量的坐標設V為K上的n維線性空間，是它的一組基。任給，由命題 ，可唯一表示為的線性組合，即，使得 ，于是我們稱為在基下的坐標。易見，在某組基下的坐標與V/K中的向量是一一對應的關系。第一學期第十九次課4.1.4線性空間的基變換，基的過渡矩陣設V/K是n維線性空間，設和是兩組基，且將其寫成矩陣形式，定義4.11 我們稱矩陣為從到的過渡矩陣。命題4.6 設在n維線性空間V/K中給定一組基。T是K上