公開課同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

1、一、創(chuàng)設(shè)情境：一、創(chuàng)設(shè)情境： 問題問題2. 如圖如圖1，三角函數(shù)線是：，三角函數(shù)線是：正弦線正弦線；余弦線余弦線；正切線正切線.yxxy)0( xMPOMATcos；tansin；問題問題3. 三角函數(shù)是以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)來定義的，你能從圓的幾何性三角函數(shù)是以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)來定義的，你能從圓的幾何性質(zhì)出發(fā)，討論一下同一個角的不同三角函數(shù)之間的關(guān)系嗎？質(zhì)出發(fā)，討論一下同一個角的不同三角函數(shù)之間的關(guān)系嗎？問題問題1. 如圖如圖1，設(shè)，設(shè) 是一個任意角，是一個任意角， 它的它的終邊終邊 與單位圓交于與單位圓交于 ，那么，那么),(yxPPOxyMA AT221MPOM22sincos1知識探究知識

2、探究(一一)：基本關(guān)系：基本關(guān)系思考思考1 1：如圖，設(shè)：如圖，設(shè)是一個任意角，它是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)的終邊與單位圓交于點(diǎn)P，那么，正弦，那么，正弦線線MP和余弦線和余弦線OM的長度有什么內(nèi)在的長度有什么內(nèi)在聯(lián)系？由此能得到什么結(jié)論？聯(lián)系？由此能得到什么結(jié)論？ POxyM1 1( , )x y思考思考2 2：上述關(guān)系反映了角：上述關(guān)系反映了角的正弦和的正弦和余弦之間的內(nèi)在聯(lián)系，根據(jù)等式的特點(diǎn)，余弦之間的內(nèi)在聯(lián)系，根據(jù)等式的特點(diǎn)，將它稱為將它稱為. .那么當(dāng)角那么當(dāng)角的終邊的終邊在坐標(biāo)軸上時，上述關(guān)系成立嗎？在坐標(biāo)軸上時，上述關(guān)系成立嗎？22sincos1Ox xy y知識探究知

3、識探究(一一)：基本關(guān)系：基本關(guān)系(0,1)P(0,1)Pxysintancos知識探究知識探究(一一)：基本關(guān)系：基本關(guān)系思考思考3：設(shè)角：設(shè)角的終邊與單位圓交于的終邊與單位圓交于點(diǎn)點(diǎn) ，根據(jù)三角函數(shù)定義，有，根據(jù)三角函數(shù)定義，有 由此由此可得可得sin，cos，tan滿足什么關(guān)系？滿足什么關(guān)系？tan(0),yxxsin, ycos, x( , )P x yOxyPMATsincostanMPOMATsintancos思考思考4 4：上述關(guān)系稱為：上述關(guān)系稱為，那么商，那么商數(shù)關(guān)系成立的條件是多么？數(shù)關(guān)系成立的條件是多么？()2kkZsintancos知識探究知識探究(一一)：基本關(guān)系：基

4、本關(guān)系 同一角同一角 的正弦、余弦的平方和等于的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角商等于角 的正切的正切結(jié)論：結(jié)論：思考思考1 1：對于平方關(guān)系：對于平方關(guān)系 可作哪些變形？可作哪些變形？ 22sincos122sin1cos 22cos1 sin 2sin1 cos 2cos1 sin 知識探究知識探究(二二)：基本變形：基本變形思考思考2 2：對于商數(shù)關(guān)系：對于商數(shù)關(guān)系 可可作哪些變形？作哪些變形？sintancossi ncostan,aaa=?sincos.tan知識探究知識探究(二二)：基本變形：基本變形例1、3,.5 已知sin求cos,tan 的值1640.cos255 如果 是

5、第三象限角，那么cos于是0,sin1, 解：因?yàn)閟in所以 是第三或第四象限角.22222316sincos1cos1 sin1.525 由得sin353tan()().cos544 從而43costan.54 如果 是第四象限角，那么，分類討論的值，求、已知問題cos,sin3tan1解：解：cossintan0tan為第二或第四象限角3cossin1cossin2243sin41cos22解得：2141cos,2343sin2141cos,2343sin為第四象限角時當(dāng)為第二象限角時當(dāng)1cossin22tancossin方程方程(組組)思想思想tan3 3、已知 ，求下列式子的值。23

6、cossin(1);3 cossin(2)2sin3sincos. 2、化簡 。21sin440 的值；求、已知：tan,sin,1312cos11變式證明：證明：cossin1sin1coscos)sin1 ()sin1 (cos220cos)sin1 (coscos22因此因此cossin1sin1cos作差法作差法課本例題課本例題7發(fā)散思維 提問：本題還有其他證明方法嗎？求證：求證：cossin1sin1cos證法二：證法二：2sin1)sin1)(sin1 (因?yàn)橐驗(yàn)?coscoscos因此因此cossin1sin1cos由原題知：由原題知：0cos, 0sin1恒等變形恒等變形的條件

7、的條件證法三：證法三： 由原題知：由原題知：0cos則則1sin原式左邊原式左邊=)sin1)(sin1 ()sin1 (cos2sin1)sin1 (cos2cos)sin1 (coscossin1=右邊右邊因此因此cossin1sin1cos恒等變形恒等變形的條件的條件三角函數(shù)恒等式證明的一般方法三角函數(shù)恒等式證明的一般方法（2）證明原等式的等價關(guān)系）證明原等式的等價關(guān)系注：注：要注意兩邊都有意義的條件下才恒等要注意兩邊都有意義的條件下才恒等（1）從一邊開始證明它等于另一邊）從一邊開始證明它等于另一邊（由繁到簡）（由繁到簡）（3）證明左、右兩邊等于同一式子）證明左、右兩邊等于同一式子xxx

8、xxxtan1tan1sincoscossin21222、求證問題證法一：證法一：xxxxxxxxxxxxxxxxxxsincossincos)sin)(cossin(cos)sin(cos)sin)(cossin(coscossin2cossin222左邊xxxxxxxxsincossincoscos)tan1(cos)tan1(右邊 左邊左邊=右邊右邊所以原等式成立所以原等式成立左邊左邊中間中間右邊右邊所以原等式成立所以原等式成立 左邊左邊 右邊右邊右邊左邊xxxxxxxxxxxxtan1tan1cos)sin(coscos)sin(cossincossincos證法二：證法二：四、歸納總

9、結(jié)：四、歸納總結(jié)：（2）三角函數(shù)值的計(jì)算與證明）三角函數(shù)值的計(jì)算與證明 利用平方關(guān)系時，往往要開方，因此要先根據(jù)角的所利用平方關(guān)系時，往往要開方，因此要先根據(jù)角的所在象限確定符號，即將角所在象限進(jìn)行分類討論。在象限確定符號，即將角所在象限進(jìn)行分類討論。 證明時常用方法：證明時常用方法： 方法方法1：從一邊開始證明它等于另一邊；從一邊開始證明它等于另一邊； 方法方法2：證明原等式的等價關(guān)系，：證明原等式的等價關(guān)系， 方法方法3： 證明左、右兩邊等于同一式子；證明左、右兩邊等于同一式子；在化簡證明過程中要注意兩邊都有意義的條件下才恒等。在化簡證明過程中要注意兩邊都有意義的條件下才恒等。（1）同角三

10、角函數(shù)的基本關(guān)系式）同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式R, 1cossin22),2( ,tancossinZkkcossintan, 1cossin22（前提是（前提是“同角同角”， 因此因此 ） 本節(jié)課同學(xué)們有哪些學(xué)習(xí)體驗(yàn)與收獲，學(xué)到了本節(jié)課同學(xué)們有哪些學(xué)習(xí)體驗(yàn)與收獲，學(xué)到了哪些數(shù)學(xué)知識與方法哪些數(shù)學(xué)知識與方法（應(yīng)用極為廣泛；巧用“1” ， ）22cossin1五、拓展延伸：五、拓展延伸：）的關(guān)系式嗎？（的基本關(guān)系推導(dǎo)出更多你能利用同角三角函數(shù)的一個變形，就是可以看出，從例題題第組422221cossincossin1sin1cos7BPxxxxxx的變形也是所以解：1cossincossin21c

11、ossincossin21cossin1coscossin2sin1)cos(sin1cossin2222442244422422222xxxxxxxxxxxxxxxxxx的變形和是所以時，可得：當(dāng)解：xxxxxxxxxxxxxxxxtancossin1cossincos11tancos11tancos1coscossin0cos1cossin222222222222等等。；變形得,cos1tan1cossin21cossin1cossin22224422xxxxxxxx六、課后作業(yè)六、課后作業(yè)）組的值；（，求、已知）組；（、求證）組的值（，求、已知題第）題題（第題第33131122222221cossincossin2tan3cos22sin) 1(cos2tan,cos31sin1BPAPAPxxx課題：1.2.2 同角三角函數(shù)的同角三角函數(shù)的 基本關(guān)系基本關(guān)系一、探究公式：一、探究公式： ）（、R1cossin122),2(;tancossin2Zkk、二、例