第4章交通流理論

1、tktkePk!)(!kemkmkPmeP0kkmkPP1129.01109.99.9110)11(1)11(ieiiiiPPP！解： P0 = e-0.067 =0.935P0 = e-0.133 =0.875P0 = e-0.2 =0.8190.2P0 = e-ml例例3、設(shè)、設(shè)60輛車隨機(jī)分布在輛車隨機(jī)分布在4km長(zhǎng)的道路上，長(zhǎng)的道路上，求任意求任意400m路段上有路段上有4輛及輛及4輛以上汽車的概輛以上汽車的概率。率。解：解：（1）基本公式： ，k0，1，2，Pk在計(jì)數(shù)間隔t內(nèi)到達(dá)k輛車或k個(gè)人的概率；單位時(shí)間間隔的平均到達(dá)率（輛/s或人/s）；t每個(gè)計(jì)數(shù)間隔持續(xù)的時(shí)間（s）或距離（m

2、）；n觀測(cè)次數(shù)，正整數(shù)。knntkntknkCP)1()(ntp通常記 ，則二項(xiàng)分布為：) 10( )1 ()(pppCPknkknk（2）遞推公式：npP)1(0kppkknkPP111（3）適用條件：車輛比較擁擠、自由行駛機(jī)會(huì)不多的車流。l適用條件:用于描述有充分超車機(jī)會(huì)的單列車流和密度不大的多列車流的車頭時(shí)距分布。l負(fù)指數(shù)分布常與泊松分布相對(duì)應(yīng)，當(dāng)來車符合泊松分布時(shí)，車頭時(shí)距則符合負(fù)指數(shù)分布。 由公式： 可知，當(dāng)車輛平均到達(dá)率為時(shí)，P(0)為計(jì)數(shù)間隔t 內(nèi)無車到達(dá)的概率。 可見，在具體的時(shí)間間隔 t 內(nèi)，如無車輛到達(dá)，則在上一次車和下一次車到達(dá)之間車頭時(shí)距h至少有t，即ht。teP )(

3、0tethP)(例4：對(duì)于單向平均流量為360輛/h的車流，求車頭時(shí)距大于或等于10s的概率。解：車頭時(shí)距大于或等于10s的概率也就是10s以內(nèi)無車的概率。 由=360/3600=0.1 同樣，車頭時(shí)距小于10s的概率為：6301.)(ttheP l車頭時(shí)距服從負(fù)指數(shù)分布的車流特性 見圖，曲線是單調(diào)下降的，說明車頭時(shí)距愈短，出現(xiàn)的概率愈大。這種情形在不 能超車的單列車流中 是不可能出現(xiàn)的，因 為車輛的車頭與車頭 之間至少存在一個(gè)車 長(zhǎng)，所以車頭時(shí)距必 有一個(gè)大于零的最小 值。)(t )()(tethP類別輸入分布服務(wù)方式服務(wù)臺(tái)數(shù)量符號(hào)含義M泊松或負(fù)指數(shù)分布M負(fù)指數(shù)分布1D定長(zhǎng)D定長(zhǎng)NEk 愛爾

4、朗分布Ek 愛爾朗分布M/M/N泊松輸入、負(fù)指數(shù)分布服務(wù)、N個(gè)服務(wù)臺(tái)M/D/1泊松輸入、定長(zhǎng)服務(wù)、單個(gè)服務(wù)臺(tái)lM/M/1系統(tǒng)（單通道服務(wù)系統(tǒng)）的基本概念：由于排隊(duì)等待接受服務(wù)的通道只有單獨(dú)的一條，因此也叫做“單通道服務(wù)”系統(tǒng)。服務(wù)服務(wù)（收費(fèi)站）（收費(fèi)站）輸出輸出輸入輸入M/M/1系統(tǒng)系統(tǒng)主要參數(shù)：設(shè)平均到達(dá)率為，則兩次到達(dá)的平均間隔時(shí)間（時(shí)距）為1/；設(shè)排隊(duì)從單通道接受服務(wù)后出來的系統(tǒng)平均服務(wù)率（輸出率）為， 則平均服務(wù)時(shí)間為1/ ；比率： 稱為交通強(qiáng)度或利用系數(shù)，由比率即可確定各種狀態(tài)的性質(zhì)。 當(dāng)比率1（即），且時(shí)間充分，每個(gè)狀態(tài)都會(huì)以非0的概率反復(fù)出現(xiàn)；當(dāng)比率1（即），任何狀態(tài)都是不穩(wěn)定的

5、，且排隊(duì)會(huì)越來越長(zhǎng)。要保持穩(wěn)定狀態(tài)，確保單通道排隊(duì)消散的條件是1（即）。 例如：某高速公路進(jìn)口收費(fèi)站平均每10s有一輛車到達(dá)，收費(fèi)站發(fā)放通行卡的時(shí)間平均需要8s，即: 1/=10s； 1/=8s 如果時(shí)間充分，這個(gè)收費(fèi)站不會(huì)出現(xiàn)大量阻塞。8081101./ l當(dāng)比率1（即），系統(tǒng)處以穩(wěn)定狀態(tài)：在系統(tǒng)中沒有顧客的概率為（即沒有接受服務(wù)，也沒有排隊(duì)）：在系統(tǒng)中有k個(gè)顧客的概率為（包括接受服務(wù)的顧客與排隊(duì)的顧客之和）：在系統(tǒng)中的平均顧客數(shù)為（平均接受服務(wù)的顧客與排隊(duì)的顧客之和）： 10P)( 1kkP（輛輛）1)1 (n系統(tǒng)中顧客數(shù)的方差： 隨著的增大，n 增大；當(dāng)0.8以后， n 迅速增大，從而使

6、排隊(duì)長(zhǎng)度快速增加，排隊(duì)系統(tǒng)便的不穩(wěn)定，造成系統(tǒng)的服務(wù)能力迅速下降。平均排隊(duì)長(zhǎng)度： 這里是指排隊(duì)顧客（車輛）的平均排隊(duì)長(zhǎng)度，不包括接受服務(wù)的顧客（車輛）。)1()1/(22 （輛輛）)(112 nnq平均非零排隊(duì)長(zhǎng)度： 即排隊(duì)不計(jì)算沒有顧客的時(shí)間，僅計(jì)算有顧客時(shí)的平均排隊(duì)長(zhǎng)度，即非零排隊(duì)。如果把有顧客時(shí)計(jì)算在內(nèi)，就是前述的平均排隊(duì)長(zhǎng)度。排隊(duì)系統(tǒng)中平均消耗時(shí)間： 這里是指排隊(duì)中消耗時(shí)間與接受服務(wù)所用時(shí)間之和。)(輛輛輛輛或或s/ h/1 nd（輛輛）)(qqqww 11排隊(duì)中的平均等待時(shí)間： 這里在排隊(duì)時(shí)平均需要等待的時(shí)間，不包括接受服務(wù)的時(shí)間，等于排隊(duì)系統(tǒng)平均消耗時(shí)間與平均服務(wù)時(shí)間之差。 共有八

7、個(gè)指標(biāo)。)()(輛輛輛輛或或 s/ h/1 dw例1：高速公路入口收費(fèi)站，車輛到達(dá)是隨機(jī)的，流入量為400輛/h，如果收費(fèi)工作人員平均能在8s內(nèi)發(fā)放通行卡，符合負(fù)指數(shù)分布，求：收費(fèi)站排隊(duì)系統(tǒng)中的平均車輛數(shù)，平均排隊(duì)長(zhǎng)度，排隊(duì)系統(tǒng)中的平均消耗時(shí)間和排隊(duì)中的平均等待時(shí)間。 解：=400/3600（輛/s）, =1/8 （輛/s） =/=0.89 1 ，排隊(duì)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 收費(fèi)站排隊(duì)系統(tǒng)中的平均車輛數(shù)：)(.輛輛889018901 n 平均排隊(duì)長(zhǎng)度： 排隊(duì)系統(tǒng)中的平均消耗時(shí)間： 排隊(duì)中的平均等待時(shí)間：（輛輛）7.110.898 nq)(輛輛s/ 7236004008111 d)(輛輛s/ 64872

8、1 dw例2：修建一個(gè)服務(wù)能力為120輛/h的停車場(chǎng)，布置一條進(jìn)入停車場(chǎng)的引道，經(jīng)調(diào)查車輛到達(dá)率為72輛/h，進(jìn)入停車場(chǎng)的引道長(zhǎng)度能夠容納5輛車，是否合適 。 解： =72（輛/h）, =120 （輛/h） =/=0.6 1 ，排隊(duì)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 進(jìn)入停車場(chǎng)的引道長(zhǎng)度能夠容納5輛車,如果系統(tǒng)中的平均車輛數(shù)小于5輛車則是合適的，否則，準(zhǔn)備停放的車輛必然影響交通。合合適適輛輛輛輛)()(.51.5601601 n 驗(yàn)證系統(tǒng)中平均車輛數(shù)超過5輛車的概率P(5)，如果P(5)很小，則得到 “合適”的結(jié)論正確。由： 驗(yàn)證結(jié)果表明：系統(tǒng)中平均車輛數(shù)超過5輛車的概率P(5)不足5%，概率很小，進(jìn)入停車場(chǎng)的引

9、道長(zhǎng)度是合適的。0.046710.03110.05180.08640.14400.24000.400011555432100）（）（得得：和和PPPPPPPPPPkk)( n+1 n+1 n n+1 n S(t) )(txn )(txn 1 t 時(shí)時(shí)刻刻兩兩車車位位置置 前前車車開開始始減減速速的的位位置置 3d 1d 2d L 后后車車開開始始減減速速的的位位置置 完完全全剎剎車車后后兩兩車車位位置置 線性跟車模型示意圖線性跟車模型示意圖l兩車在剎車操作后的相對(duì)位置如圖所示。 第i 輛車在時(shí)刻t 的位置； 兩車在時(shí)刻 t 的間距，且: 后車在反應(yīng)時(shí)間T內(nèi)行駛的距離； 后隨車在減速期間行駛的距

10、離； 前導(dǎo)車在減速期間行駛的距離； 停車后的車頭間距； 第n+1輛車在時(shí)刻t 的速度。)(txi)(tS)()()(txtxtSnn11d)()(tTxTtxTdnn1112d3dL)(txn 1 假定 ，要使在時(shí)刻t 兩車的間距能保證在突然剎車事件中不發(fā)生碰撞，則應(yīng)有： 對(duì)t 微分，得: 式中: 為后車在(t+T)時(shí)刻的加速度，稱為后車 的反應(yīng) ；1/T 稱為敏感度； 稱為t 時(shí)刻 的刺激。這樣，上式就可理解為： 反應(yīng)敏感度刺激。 32dd LTtxTLdtSn)()(11)()()(TtxTtxtxnnn11 )()()(txtxTTtxnnn111 )(Ttxn1 )()(txtxnn1

11、 第五節(jié)第五節(jié) 流體力學(xué)理論流體力學(xué)理論 一、流體動(dòng)力學(xué)理論建立一、流體動(dòng)力學(xué)理論建立 l車流連續(xù)性方程的建立車流連續(xù)性方程的建立 設(shè)車流順次通過斷面設(shè)車流順次通過斷面和和的時(shí)間間隔為的時(shí)間間隔為t，兩，兩斷面得間距為斷面得間距為x。車流在斷面。車流在斷面的流入量為的流入量為Q、密度為密度為K；同時(shí)，車流在斷面；同時(shí)，車流在斷面得流出量為：得流出量為：(Q+q)， (K-K)，其中：，其中： K的前面加一負(fù)號(hào)，的前面加一負(fù)號(hào)，表示在擁擠狀態(tài)，車流密度隨車流量增加而減小。表示在擁擠狀態(tài)，車流密度隨車流量增加而減小。 x tQ KQ+Q K-K KQ(K,Q)(K-K,Q+Q )一、流體動(dòng)力學(xué)理論

12、建立一、流體動(dòng)力學(xué)理論建立 l車流連續(xù)性方程的建立：車流連續(xù)性方程的建立： 根據(jù)物質(zhì)守恒定律，在根據(jù)物質(zhì)守恒定律，在t時(shí)間內(nèi)：時(shí)間內(nèi)： 流入量流入量-流出量流出量=x內(nèi)車輛數(shù)的變化，內(nèi)車輛數(shù)的變化， 即：即： Q-(Q+Q)t=K-(K-K)x 或：或： ，取極限可得：，取極限可得： 含義為：當(dāng)車流量隨距離而降低時(shí)，車輛密度隨含義為：當(dāng)車流量隨距離而降低時(shí)，車輛密度隨時(shí)間而增大。時(shí)間而增大。0 xQtK 0 xQtK一、流體動(dòng)力學(xué)理論建立一、流體動(dòng)力學(xué)理論建立l車流波及波速：車流波及波速： 列隊(duì)行駛的車輛在信號(hào)交叉口遇到紅燈后，即列隊(duì)行駛的車輛在信號(hào)交叉口遇到紅燈后，即陸續(xù)停車排隊(duì)而集結(jié)成密度

13、高的隊(duì)列；當(dāng)綠燈開陸續(xù)停車排隊(duì)而集結(jié)成密度高的隊(duì)列；當(dāng)綠燈開啟后，排隊(duì)的車輛又陸續(xù)起動(dòng)疏散成一列具有適啟后，排隊(duì)的車輛又陸續(xù)起動(dòng)疏散成一列具有適當(dāng)密度的隊(duì)列。當(dāng)密度的隊(duì)列。 車流中兩種不同密度部分的分界面掠過一輛輛車流中兩種不同密度部分的分界面掠過一輛輛車向車隊(duì)后部傳播的現(xiàn)象，稱為車流的波動(dòng)。車向車隊(duì)后部傳播的現(xiàn)象，稱為車流的波動(dòng)。 此車流波動(dòng)沿道路移動(dòng)的速度稱為波速。此車流波動(dòng)沿道路移動(dòng)的速度稱為波速。二、車流波動(dòng)理論二、車流波動(dòng)理論l波速公式的推導(dǎo)：波速公式的推導(dǎo)： 假設(shè)一條公路上由兩個(gè)相鄰的不同交通流密度假設(shè)一條公路上由兩個(gè)相鄰的不同交通流密度區(qū)域（區(qū)域（K1和和K2）用垂線）用垂線S分

14、割這兩種密度，稱分割這兩種密度，稱S為為波陣面，設(shè)波陣面，設(shè)S的速度為的速度為w（ w為垂線為垂線S相對(duì)于路面相對(duì)于路面的絕對(duì)速度），并規(guī)定垂線的絕對(duì)速度），并規(guī)定垂線S的速度的速度w沿車流運(yùn)行沿車流運(yùn)行方向?yàn)檎?。由流量守恒可知，在方向?yàn)檎Ｓ闪髁渴睾憧芍?，在t 時(shí)間內(nèi)由時(shí)間內(nèi)由A進(jìn)入進(jìn)入S面的車輛數(shù)等于由面的車輛數(shù)等于由S面駛?cè)朊骜側(cè)隑的車輛數(shù)，即：的車輛數(shù)，即： 式中式中: (V1-w)、(V2-w)分別為車輛進(jìn)出分別為車輛進(jìn)出S 面前后相面前后相對(duì)于對(duì)于S 面的速度。面的速度。tKwVtKwV2211)()(二、車流波動(dòng)理論二、車流波動(dòng)理論V1=100km/hK1=10輛輛/kmV2=8

15、0km/h K2=14輛輛/km 車頭間距車頭間距71mwwK1 V1K2 V2ABSS二、車流波動(dòng)理論二、車流波動(dòng)理論 由：由： 規(guī)定：當(dāng)規(guī)定：當(dāng)K2K1，密度增加，產(chǎn)生的，密度增加，產(chǎn)生的w為集結(jié)波。為集結(jié)波。12121112221211221122122221112211)()()(KKQQwKVQKVQKKKVKVwKVKVKKwwKKVwKKVtKwVtKwV 得得三、車流波動(dòng)狀態(tài)討論三、車流波動(dòng)狀態(tài)討論l 當(dāng)當(dāng)Q2Q1 、K2Q1 、K2K1時(shí)，產(chǎn)生一個(gè)集結(jié)波，時(shí)，產(chǎn)生一個(gè)集結(jié)波， w為正為正值，集結(jié)波在波動(dòng)產(chǎn)生的那一點(diǎn)，沿著與車流相值，集結(jié)波在波動(dòng)產(chǎn)生的那一點(diǎn)，沿著與車流相同的方

16、向，以相對(duì)路面為同的方向，以相對(duì)路面為w的速度移動(dòng)。的速度移動(dòng)。KQ(K2,Q2)(K1,Q1)三、車流波動(dòng)狀態(tài)討論三、車流波動(dòng)狀態(tài)討論l 當(dāng)當(dāng)Q2K1時(shí)，產(chǎn)生一個(gè)集結(jié)波，時(shí)，產(chǎn)生一個(gè)集結(jié)波， w為負(fù)為負(fù)值，集結(jié)波在波動(dòng)產(chǎn)生的那一點(diǎn)，沿著與車流相值，集結(jié)波在波動(dòng)產(chǎn)生的那一點(diǎn)，沿著與車流相反的方向，以相對(duì)路面為反的方向，以相對(duì)路面為w的速度移動(dòng)。的速度移動(dòng)。KQ(K2,Q2)(K1,Q1)三、車流波動(dòng)狀態(tài)討論三、車流波動(dòng)狀態(tài)討論l 當(dāng)當(dāng)Q2Q1 、K2K1時(shí)，產(chǎn)生一個(gè)消散波，時(shí)，產(chǎn)生一個(gè)消散波， w為負(fù)為負(fù)值，集結(jié)波在波動(dòng)產(chǎn)生的那一點(diǎn)，沿著與車流相值，集結(jié)波在波動(dòng)產(chǎn)生的那一點(diǎn)，沿著與車流相反的方

17、向，以相對(duì)路面為反的方向，以相對(duì)路面為w的速度移動(dòng)。的速度移動(dòng)。KQ(K1,Q1)(K2,Q2)四、車流波動(dòng)理論的應(yīng)用四、車流波動(dòng)理論的應(yīng)用例：道路上的車流量為例：道路上的車流量為720輛輛/h，車速為，車速為60 km/h，今有一輛超限汽車以今有一輛超限汽車以30km/h的速度進(jìn)入交通流并的速度進(jìn)入交通流并行駛行駛5km后離去，由于無法超車，就在該超限車后離去，由于無法超車，就在該超限車后形成一低速車隊(duì)，密度為后形成一低速車隊(duì)，密度為40輛輛/km，該超限車，該超限車離去后，受到擁擠低速車隊(duì)以車速離去后，受到擁擠低速車隊(duì)以車速50km/h，密度，密度為為25輛輛/km的車流疏散，計(jì)算：的車流

18、疏散，計(jì)算： (1)擁擠消散時(shí)間擁擠消散時(shí)間ts；(2)擁擠持續(xù)時(shí)間擁擠持續(xù)時(shí)間tj；(3)最大最大排隊(duì)長(zhǎng)度；排隊(duì)長(zhǎng)度；(4)排隊(duì)最長(zhǎng)時(shí)的排隊(duì)車輛數(shù)；排隊(duì)最長(zhǎng)時(shí)的排隊(duì)車輛數(shù)；(5) 參參與過排隊(duì)的車輛總數(shù)。與過排隊(duì)的車輛總數(shù)。四、車流波動(dòng)理論的應(yīng)用四、車流波動(dòng)理論的應(yīng)用 解：三種狀態(tài)的解：三種狀態(tài)的Q、K、V分別如圖所示：分別如圖所示： 超限車進(jìn)入后，車流由狀態(tài)變超限車進(jìn)入后，車流由狀態(tài)變?yōu)闋顟B(tài)為狀態(tài) ，將產(chǎn)，將產(chǎn)生一個(gè)集結(jié)波生一個(gè)集結(jié)波：（注意集結(jié)波的方向?。海ㄗ⒁饧Y(jié)波的方向！）5km Q1=720V1=60K1=12 Q2=1200V2=30K2=40 Q3=1250V3=50K3=25

19、 w1 w2(km/h)14.1760/72040720403012121KKQQw四、車流波動(dòng)理論的應(yīng)用四、車流波動(dòng)理論的應(yīng)用 超限車插入后，超限車的速度為超限車插入后，超限車的速度為30km/h，集結(jié)波，集結(jié)波由超限車進(jìn)入點(diǎn)以由超限車進(jìn)入點(diǎn)以w1=17.14km/h的速度沿車流方的速度沿車流方向運(yùn)動(dòng)。如果這種狀況持續(xù)向運(yùn)動(dòng)。如果這種狀況持續(xù)1h， 1h后跟在超限車后跟在超限車后的低速車隊(duì)長(zhǎng)度為：后的低速車隊(duì)長(zhǎng)度為：30-17.14=12.86 km。但超。但超限車行駛限車行駛5km后離去，超限車行駛后離去，超限車行駛5km所用時(shí)間所用時(shí)間為：為：ta=5/30=0.167h，在超限車駛離時(shí)

20、刻超限車后，在超限車駛離時(shí)刻超限車后的低速車隊(duì)長(zhǎng)度應(yīng)為：的低速車隊(duì)長(zhǎng)度應(yīng)為： 5-w1ta=2.14km。5km w1w1ta 5-w1ta=2.14km四、車流波動(dòng)理論的應(yīng)用四、車流波動(dòng)理論的應(yīng)用 超限車離去后，車流由狀態(tài)超限車離去后，車流由狀態(tài)變?yōu)闋顟B(tài)變?yōu)闋顟B(tài)，在超，在超限車駛離點(diǎn)產(chǎn)生一個(gè)消散波：限車駛離點(diǎn)產(chǎn)生一個(gè)消散波： 注意：超限車離去，低速車隊(duì)前端以注意：超限車離去，低速車隊(duì)前端以-3.33km/h的的速度消散，后端還在以速度消散，后端還在以17.14km/h的速度集結(jié)。的速度集結(jié)。5km w1 w2w1ta 5-w1ta=2.14km(km/h)333402540302550232

21、32.KKQQw四、車流波動(dòng)理論的應(yīng)用四、車流波動(dòng)理論的應(yīng)用 由此可見，在超限車離去的時(shí)刻低速車隊(duì)最長(zhǎng)！由此可見，在超限車離去的時(shí)刻低速車隊(duì)最長(zhǎng)！ 因此，最大排隊(duì)長(zhǎng)度為因此，最大排隊(duì)長(zhǎng)度為2.14km （為什么？），這（為什么？），這2.14km上的車輛數(shù)即為最大排隊(duì)車輛數(shù)：上的車輛數(shù)即為最大排隊(duì)車輛數(shù)： 2.14K2=2.1440=86 （輛）（為什么是（輛）（為什么是K2 ？ ） 超限車離去的時(shí)刻，低速車隊(duì)前端以超限車離去的時(shí)刻，低速車隊(duì)前端以-3.33km/h的的速度消散，后端還在以速度消散，后端還在以17.14km/h的速度集結(jié)，設(shè)的速度集結(jié)，設(shè)要消散長(zhǎng)度為要消散長(zhǎng)度為2.14km的低速車隊(duì)需要的時(shí)間為的低速車隊(duì)需要的時(shí)間為ts 5km w1 w2w1ta 5-w1ta=2.14km四、車流波動(dòng)