計(jì)數(shù)原理排列組合

1、類型一：分類記數(shù)原理1某電腦用戶計(jì)劃使用不超過500元購買單價分別為60元、70元的電腦軟件和電腦元件，根據(jù)需要，軟件至少買3個，元件至少買2個，則不同的選購方法有（ ）A.5 B.6 C.7 D.8【變式1】三邊長均為整數(shù)，且最大邊長為11的三角形的個數(shù)是多少?【變式2】在所有兩位數(shù)中，個位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)共有多少個?【變式3】在一塊并排的10壟田地中，選擇二壟分別種植A、B兩種作物，每種種植一壟，為有利于作物生長，要求A、B兩種作物的間隔不少于6壟，不同的選法共有多少種?！咀兪?】在11名工人中，有5人只能當(dāng)鉗工，4人只能當(dāng)車工，另外2人能當(dāng)鉗工也能當(dāng)車工?，F(xiàn)從11人中選出4人當(dāng)鉗

2、工，4人當(dāng)車工，問共有多少種不同的選法?類型二：分步記數(shù)原理2（1）四名運(yùn)動員爭奪三項(xiàng)冠軍，不同的結(jié)果最多有多少種？ （2）四名運(yùn)動員參加三項(xiàng)比賽，每人限報一項(xiàng)，不同的報名方法有多少種？解析：（1）共有444=64種不同結(jié)果. （2）共有3333=81種不同結(jié)果.【變式1】從1，0，1，2這四個數(shù)中選三個不同的數(shù)作為函數(shù)f（x）=ax2+bx+c的系數(shù)，可組成不同的二次函數(shù)共有_個，其中不同的偶函數(shù)共有_個.（用數(shù)字作答）【答案】18，6； 【變式2】從集合1，2，3，10中，選出由5個數(shù)組成的子集，使得這5個數(shù)中的任何兩個數(shù)的和不等于11，這樣的子集共有多少個?【答案】32；類型三：解排列（

3、組合）數(shù)形式的方程3一條鐵路原有m個車站，為適應(yīng)客運(yùn)需要，新增加n（n1，nN*）個車站，因而增加了58種車票（起點(diǎn)站與終點(diǎn)站相同的車票視為相同的車票），問原來這條鐵路有幾個車站?現(xiàn)在又有幾個車站? 解析：由題設(shè)，即.（1）若n=1，則2m1+n=58，m=29；（2）若n=2，則2m1+n=29，m=14；（3）若n=58，則2m1+n=1，m=28，不合題意，舍去.（4）若n=29，則2m1+n=2，m=13，不合題意，舍去；所以原有14個車站，現(xiàn)有16個車站；或者原有29個車站，現(xiàn)有30個車站.【變式1】解方程：（1）；（2）.類型四：排列組合常見問題及基本方法1明確任務(wù)，分析是分類還是

4、分步，是排列還是組合4從1、2、3、20這二十個數(shù)中任取三個不同的數(shù)組成等差數(shù)列，求這樣的不同等差數(shù)列有多少個。解析：設(shè)a，b，c成等差，則2b=a+c，可知b由a，c決定，又2b是偶數(shù)，a，c同奇或同偶，即從1，3，5，19或2，4，6，20這十個數(shù)中選出兩個數(shù)進(jìn)行排列，就可確定等差數(shù)列，因而不同等差數(shù)列有 (個) 5用0，1，2，3，4，5這六個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，分別求出下列各類數(shù)的個數(shù)：（1）奇數(shù)；（2）5的倍數(shù)；（3）比20300大的數(shù)；（4）不含數(shù)字0，且1，2不相鄰的數(shù)?！咀兪?】從6雙不同顏色的手套中任取4只，其中恰好有一雙同色的取法有_。(A)240 (B)180 (

5、C)120 (D)60【答案】(一)從6雙中選出一雙同色的手套，有種方法； (二)從剩下的十只手套中任選一只，有種方法； (三)從除前所涉及的兩雙手套之外的八只手套中任選一只，有種方法； (四)由于選取與順序無關(guān)，因而(二)(三)中的選法重復(fù)一次；因而共【變式2】身高互不相同的6個人排成2橫行3縱列，在第一行的每一個人都比他同列的身后的人個子矮，則所有不同的排法種數(shù)為 .【答案】每一縱列中的兩人只要選定，則他們只有一種站位方法， 因而每一縱列的排隊(duì)方法只與人的選法有關(guān)系，共有三縱列， 從而有。2特殊元素，優(yōu)先處理；特殊位置，優(yōu)先考慮6六人站成一排，求(1)甲不在排頭，乙不在排尾的排列數(shù)(2)甲

6、不在排頭，乙不在排尾，且甲乙不相鄰的排法數(shù)解析：(1)先考慮排頭，排尾，但這兩個要求相互有影響，因而考慮分類。第一類：乙在排頭，有種站法；第二類：乙不在排頭，當(dāng)然他也不能在排尾，有種站法 共種站法。(2)第一類：甲在排尾，乙在排頭，有種方法；第二類：甲在排尾，乙不在排頭，有種方法；第三類：甲不在排尾，乙在排頭，有種方法；第四類：甲不在排尾，乙不在排頭，有種方法；共種。舉一反三：【變式1】對某件產(chǎn)品的6件不同正品和4件不同次品進(jìn)行一一測試，至區(qū)分出所有次品為止。若所有次品恰好在第五次測試時被全部發(fā)現(xiàn)，則這樣的測試方法有多少種可能？【答案】本題意指第五次測試的產(chǎn)品一定是次品，并且是最后一個次品，

7、因而第五次測試應(yīng)算是特殊位置了，分步完成。 第一步：第五次測試的次品有種可能；第二步：前四次有一件正品有種可能； 第三步：前四次有種可能； 共有種可能。3捆綁與插空7共8人排成一隊(duì)(1)甲乙必須相鄰 ；(2)甲乙不相鄰； (3)甲乙必須相鄰且與丙不相鄰 ；(4)甲乙必須相鄰，丙丁必須相鄰 ；(5)甲乙不相鄰 ，丙丁不相鄰 4間接計(jì)數(shù)法8從10人中選4人參加一個會議，其中甲、乙、丙三人中至少有1人參加的與會方法有多少種？ 解析：有些問題正面求解有一定困難，可以采用間接法。 方法一：排除法從10人中任選4人參加會議的方法有種,其中甲、乙、丙都不參加會議的方法有種，故甲、乙、丙三人中至少1人參加會議

8、的方法共有（種）。方法二：分類法甲、乙、丙三人中至少有1人參加會議可分為三類： 三人中只有1人參加會議，只有二人參加會議、三人都參加會議三類情況，而每一類中情況還需分步，先取三人中參加會議的人，再從其余7人中取參加會議的人選，因此甲、乙、丙三人中至少1人參加會議的方法共有（種）。舉一反三：【變式1】正方體8個頂點(diǎn)中取出4個，可組成多少四面體？【答案】所求問題的方法數(shù)=任意選四點(diǎn)的組合數(shù)-共面四點(diǎn)的方法數(shù)，共5擋板法910個名額分配到八個班，每班至少一個名額，問有多少種不同的分配方法？ 解析：把10個名額看成十個元素，在這十個元素之間形成的九個空中，選出七個位置放置檔板， 則每一種放置方式就相當(dāng)

9、于一種分配方式。因而共【變式】15個相同的球，放入標(biāo)有1，2，3，4的四個盒子內(nèi)，求分別滿足下列條件的放法種數(shù)：(1)每個盒子放入的球數(shù)不小于盒子的號碼；(2)15個球隨意放入四個盒，使得每個盒子不空?！敬鸢浮?1)先在2號盒子放入1球，在3號盒子放入2球，在4號盒子放入3球，共用去6個球， 還剩下9個球，相同的球，可以用擋板法，在8個空中插入3塊擋板，共有；(2)6順序問題10六人排成一排，要求甲在乙的前面，(不一定相鄰)，共有多少種不同的方法？如果要求甲乙丙按從左到右依次排列呢？ 解析：（1）實(shí)際上，甲在乙的前面和甲在乙的后面兩種情況對稱，具有相同的排法數(shù)。因而有；（2）先考慮六人全排列；

10、其次甲乙丙三人實(shí)際上只能按照一種順序位站， 由于三人所占位置相同的情況下，共有種變化， 【變式1】5男4女排成一排，要求男生必須按從高到矮的順序，共有多少種不同的方法？【答案】男生從左至右按從高到矮的順序，有 若男生從右至左按從高到矮的順序，只有一種站法，同理也有3024種，綜上，有6048種?！咀兪?】有4名男生、5名女生，全體排成一行，甲、乙、丙三人從左到右順序保持一定，有多少種不同的排法?【答案】共有種排法.7排列組合綜合應(yīng)用11從0，1，2，9中取出2個偶數(shù)數(shù)字，3個奇數(shù)數(shù)字，可組成多少個無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？ 解析：先選后排。另外還要考慮特殊元素0的選取。（1）兩個選出的偶數(shù)含0，則有種；（2）兩個選出的偶數(shù)字不含0，則有種，因而共 【變式1】電梯有7位乘客，在10層樓房的每一層停留，如果三位乘客從同一層出去，另外兩位在同一層出去，最后兩人各從不同的樓層出去，有多少種不同的下樓方法？【答案】（1）