巧用數(shù)學歸納法解答數(shù)列問題

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上巧用數(shù)學歸納法解答數(shù)列問題在解答與正整數(shù)有關(guān)的命題時，數(shù)學歸納法是一種常用的方法.下面舉例說明如何用數(shù)學歸納法探索數(shù)列的通項公式、探索與數(shù)列有關(guān)的參數(shù)的取值范圍、證明與數(shù)列有關(guān)的不等式.一、巧用數(shù)學歸納法探索數(shù)列的通項公式例1（07.江西）設(shè)正整數(shù)數(shù)列滿足：，且對于任何，有()求，；()求數(shù)列的通項解：()由已知不等式得： 當時，由得：，即，解得為正整數(shù)，當時，由得：，解得為正整數(shù)， ，()方法一：由，猜想：下面用數(shù)學歸納法證明1當，時，由（1）知均成立；2假設(shè)成立，則，則時，由得時，又，故，即當時，成立綜上，由1，2知，對任意，評析：本題是探索型題，“先猜想、后證明

2、”，對思維能力有較高要求；運用數(shù)學歸納法的關(guān)鍵是“由當時成立，如何過渡與轉(zhuǎn)換為當時也成立.”二、巧用數(shù)學歸納法探索數(shù)列中參數(shù)的取值范圍例2(04.湖北)已知，滿足 ，.() 已知的極限存在且大于0，求；()設(shè)，.證明： ；()若對都成立，求的范圍.解：()存在，即,(*)，.()結(jié)合條件及(*)式得：，.()若對都成立，則當時有，即，解得：.下面用數(shù)學歸納法證明當時，對都成立.當時，由前解答知結(jié)論成立.假設(shè)當時，結(jié)論成立，即成立.則當時，.，即當時，結(jié)論也成立.由、可知，對任意，結(jié)論都成立.對都成立的的取值范圍是.評析：本題題涉及的知識點有數(shù)列、數(shù)列極限、方程、不等式、數(shù)學歸納法等，考查學生綜

3、合應(yīng)用數(shù)學知識的能力，考查學生的運算、推理和邏輯思維能力；本題第()問是證明與自然數(shù)有關(guān)的命題，可優(yōu)先考慮用數(shù)學歸納法，在確定的取值范圍時，利用了從特殊到一般的思想方法.例3(05.湖南)自然狀態(tài)下的魚類是一種可再生的資源，為持續(xù)利用這一資源，需從宏觀上考察其再生能力及其捕撈強度對魚群總量的影響.用表示某魚群在第年初的總量，且，不考慮其它因素，設(shè)在第年內(nèi)魚群的繁殖量及被捕撈量都與成正比，死亡量與成正比，這些比例系數(shù)依次為正數(shù)，.（）求與的關(guān)系式；（）猜測，當且僅當，滿足什么條件時，每年年初魚群的總量保持不變？(不要求證明) （）設(shè)，為保證對任意，都有，則捕撈強度的最大允許值是多少？證明你的結(jié)論

4、.解：（）從第年初到第年初，魚群的繁殖量、被捕撈量、死亡量分別為、，即().(*)（）若每年年初魚群的總量保持不變，則()恒成立，從而由(*)得：，即，.于是于是猜測：當且僅當，且時，每年年初魚群的總量保持不變.（）當時，.(*)若的值使得對任意，都有，則由(*)得：，.特別地，有，又，.猜測的最大允許值是1.下面用數(shù)學歸納法證明當，時，都有.當時，結(jié)論顯然成立.假設(shè)當()時，結(jié)論成立，即,則當時，又，當時，結(jié)論也成立.綜合、可得，當，時，都有.為保證對任意，都有，則捕撈強度的最大允許值是1.評析：由魚群的總量不變推斷出恒成立，即得到，利用歸納、猜想、證明得到的最大允許值是1；本題涉及的知識點

5、有數(shù)列、方程、不等式、數(shù)學歸納法等，考查考生分析、歸納、推理、論證能力及應(yīng)用所學知識解決實際問題的能力.三、巧用數(shù)學歸納法證明數(shù)列不等式例4(06.湖南)已知函數(shù),數(shù)列滿足：，.證明: (I)；(II).證明：(I)先用數(shù)學歸納法證明:,.當時，當時，；假設(shè)當()時，結(jié)論成立，即.當時，在內(nèi)單調(diào)遞增.在上連續(xù)，即.當時，結(jié)論成立.由、可得，對一切正整數(shù)都成立.又，.(II)設(shè)函數(shù)().由(I)知，當時，即.，在內(nèi)單調(diào)遞增.在上連續(xù)，且，當時，即，即.評析：本題以函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用、數(shù)學歸納法、構(gòu)造法、不等式證明、遞推數(shù)列等基礎(chǔ)知識和基本技能，考查分析、判斷、推理和運算能力以及等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想.例5(07.)已知數(shù)列中，（）求的通項公式；（）若數(shù)列中，證明：，解：（）由題設(shè)：，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，的通項公式為，()用數(shù)學歸納法證明()當時，因，所以，結(jié)論成立()假設(shè)當時，結(jié)論成立，即，也即當時，又，