彈塑性力學(xué)1應(yīng)力分析

1、彈塑性力學(xué)李凱李凱使用教材及參考書目v使用教材：工程彈塑性力學(xué) 楊伯源等編，機(jī)械工業(yè)出版社應(yīng)用彈塑性力學(xué) 徐秉業(yè)等編，清華大學(xué)出版社v參考書目：彈性力學(xué)徐芝綸編，高等教育出版社塑性力學(xué)引論王仁等編，北京大學(xué)出版社課程內(nèi)容簡介v基礎(chǔ)理論篇第1章 應(yīng)力分析第2章 應(yīng)變分析第3章 彈性與塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系第4章 彈性與塑性力學(xué)的解題方法v工程應(yīng)用篇第5章 厚壁圓筒的分析第6章 旋轉(zhuǎn)圓盤的分析第7章 軸的扭轉(zhuǎn)第8章 薄板的分析第9章 熱應(yīng)力第10章 結(jié)構(gòu)的塑性極限分析緒 論v 研究對象和任務(wù)v 基本假設(shè)v 基本方程與基本解法1 研究對象和任務(wù)v學(xué)科分類及研究對象v軸向拉伸實驗v本課程的任務(wù)學(xué)科分類及研究

2、對象v彈塑性力學(xué)是固體力學(xué)的一個重要分支。理論力學(xué)，分析力學(xué)等：研究力及其與運(yùn)動的關(guān)系。材料力學(xué)，結(jié)構(gòu)力學(xué)，彈塑性力學(xué)，斷裂力學(xué)等：研究固體材料變形，流動和斷裂時的力學(xué)響應(yīng)。v 軸向拉伸實驗（低碳鋼）OBOB段：段：彈性階段彈性階段BCBC段：段：屈服階段屈服階段CDCD段：段：強(qiáng)化階段強(qiáng)化階段DEDE段：段：局部變形階段局部變形階段比例極限比例極限屈服極限屈服極限強(qiáng)度極限強(qiáng)度極限psbpe總應(yīng)變總應(yīng)變卸載特征卸載特征OAB CE2 基本假設(shè)1. 連續(xù)性假定連續(xù)性假定整個物體的體積都被組成物體的介質(zhì)充滿，不留下任何空隙。整個物體的體積都被組成物體的介質(zhì)充滿，不留下任何空隙。 該假定在研究物體的

3、宏觀力學(xué)特性時，與工程實際吻該假定在研究物體的宏觀力學(xué)特性時，與工程實際吻合較好；研究物體的微觀力學(xué)性質(zhì)時不適用。合較好；研究物體的微觀力學(xué)性質(zhì)時不適用。作用：作用： 使得使得、u 等量表示成坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)。等量表示成坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)。),(zyx),(zyxuu ),(zyxxx保證保證ssQslim0中極限的存在。中極限的存在。2. 均勻性假定均勻性假定 假定整個物體是由同一種材料組成假定整個物體是由同一種材料組成 的，各部分材料性的，各部分材料性質(zhì)相同。質(zhì)相同。作用：作用：彈性常數(shù)（彈性常數(shù)（E、）不隨位置坐標(biāo)而變化；不隨位置坐標(biāo)而變化；取微元體分析的結(jié)果可應(yīng)用于整個物體。取微元體分析的結(jié)

4、果可應(yīng)用于整個物體。3. 各向同性假定各向同性假定 假定物體內(nèi)一點的彈性性質(zhì)在所有各個方向都相同。假定物體內(nèi)一點的彈性性質(zhì)在所有各個方向都相同。作用：作用：彈性常數(shù)（彈性常數(shù)（E、）不隨坐標(biāo)方向而變化；不隨坐標(biāo)方向而變化；金屬金屬 上述假定符合較好；上述假定符合較好；木材、巖石木材、巖石 上述假定不符合，稱為各向異性材料；上述假定不符合，稱為各向異性材料；4. 小變形假定小變形假定 假定位移和形變是微小的，即物體受力后物體內(nèi)各點假定位移和形變是微小的，即物體受力后物體內(nèi)各點位移遠(yuǎn)遠(yuǎn)小物體的原來的尺寸。位移遠(yuǎn)遠(yuǎn)小物體的原來的尺寸。作用：作用：建立方程時，可略去高階微量；建立方程時，可略去高階微量

5、；可用變形前的尺寸代替變形后的尺寸?？捎米冃吻暗某叽绱孀冃魏蟮某叽?。使求解的方程線性化。使求解的方程線性化。在外力作用以前，物體內(nèi)各點應(yīng)力均為零。在外力作用以前，物體內(nèi)各點應(yīng)力均為零。5. 無初始應(yīng)力無初始應(yīng)力以上基本假定為本課程討論問題的基礎(chǔ)，針對具體問題以上基本假定為本課程討論問題的基礎(chǔ)，針對具體問題提出的假定在相關(guān)問題描述中給出。提出的假定在相關(guān)問題描述中給出。3 基本方程與基本解法 基本方程簡介 基本解法簡介幾何學(xué)方面幾何學(xué)方面 建立位移和應(yīng)變之間的關(guān)系。建立位移和應(yīng)變之間的關(guān)系。幾何方程，位移邊界條件幾何方程，位移邊界條件運(yùn)動學(xué)方面運(yùn)動學(xué)方面 建立物體的平衡條件。建立物體的平衡條件

6、。運(yùn)動（或平衡）微分方程，載荷的邊界條件運(yùn)動（或平衡）微分方程，載荷的邊界條件以上兩類方程與材料的力學(xué)性質(zhì)無關(guān)，屬于普適方程。以上兩類方程與材料的力學(xué)性質(zhì)無關(guān)，屬于普適方程。物理學(xué)方面物理學(xué)方面 建立應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系。建立應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系。本構(gòu)方程本構(gòu)方程對于動力學(xué)問題，還要給出初始條件。對于動力學(xué)問題，還要給出初始條件。彈塑性力學(xué)的基本方程 彈塑性力學(xué)的基本解法：彈塑性力學(xué)的基本解法：根據(jù)基本方程求解根據(jù)基本方程求解精確解法精確解法 即能滿足彈塑性力學(xué)中全部方程的解。即能滿足彈塑性力學(xué)中全部方程的解。近似解法近似解法 即根據(jù)問題的性質(zhì)，采用合理的簡化假即根據(jù)問題的性質(zhì)，采用合理的簡化

7、假設(shè)，從而獲得近似結(jié)果。設(shè)，從而獲得近似結(jié)果。有限元數(shù)值分析方法有限元數(shù)值分析方法它不受物體或構(gòu)件幾何形狀的限制，對于各種復(fù)它不受物體或構(gòu)件幾何形狀的限制，對于各種復(fù)雜的物理關(guān)系都能算出正確的結(jié)果。雜的物理關(guān)系都能算出正確的結(jié)果。第1章 應(yīng)力分析v 應(yīng)力狀態(tài)v 三維應(yīng)力狀態(tài)分析v 三維應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力v 最大剪應(yīng)力v 等傾面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力v 應(yīng)力張量的分解v 平衡微分方程1-1 應(yīng)力狀態(tài)v單向應(yīng)力狀態(tài)分析v平面應(yīng)力狀態(tài)分析v 單向應(yīng)力狀態(tài)分析P1P2P3P4SyzxoP應(yīng)力應(yīng)力 單位面積上的內(nèi)力單位面積上的內(nèi)力正應(yīng)力正應(yīng)力：與截面垂直與截面垂直剪應(yīng)力剪應(yīng)力：與截面相切與截面相切SPpS0l

8、imdSdP軸向拉伸的等截面直桿軸向拉伸的等截面直桿 橫截面橫截面0,SP平面假設(shè)平面假設(shè)均勻分布均勻分布 斜截面斜截面coscosSPSPp總應(yīng)力總應(yīng)力2coscos p正應(yīng)力正應(yīng)力cossinsin p剪應(yīng)力剪應(yīng)力PPp0, 02,2,40, 0,2v 平面應(yīng)力狀態(tài)分析xyxyxyxyScosSsinS靜力平衡靜力平衡方程方程斜截面法向斜截面法向斜截面切向斜截面切向cos)sin(sin)cos(sin)sin(cos)cos(SSSSSxyxyyxcos)cos(sin)sin(cos)sin(sin)cos(SSSSSxyxyyx2sin2cos)(21)(21xyyxyx 斜截面上的

9、應(yīng)力：斜截面上的應(yīng)力：消去消去2222)(41)(21xyyxyx),(xyx),(yxyo02主平面方位：主平面方位：2cos2sin)(21xyyx21主應(yīng)力大小：主應(yīng)力大?。簓xxy22tan02221)2(2xyyxyx應(yīng)力圓應(yīng)力圓v1-2 三維應(yīng)力狀態(tài)分析yxyzoxz正應(yīng)力正應(yīng)力 圖示單元體面的法線為圖示單元體面的法線為y,y,稱為稱為y y面，應(yīng)力分量垂直面，應(yīng)力分量垂直于單元體面的應(yīng)力稱為于單元體面的應(yīng)力稱為正應(yīng)力正應(yīng)力。 正應(yīng)力記為正應(yīng)力記為y y , ,沿沿y y軸的正向為正軸的正向為正, ,其下標(biāo)其下標(biāo)y y表示所表示所沿坐標(biāo)軸方向。沿坐標(biāo)軸方向。剪（切）應(yīng)力剪（切）應(yīng)力

10、 平行于單元體面的應(yīng)力平行于單元體面的應(yīng)力稱為稱為切應(yīng)力切應(yīng)力，用，用yxyx 、yzyz表示，其第一下標(biāo)表示，其第一下標(biāo)y y表表示所在的平面，第二下標(biāo)示所在的平面，第二下標(biāo)x x、z z分別表示沿坐標(biāo)軸的方向。分別表示沿坐標(biāo)軸的方向。如圖示的如圖示的yxyx、yzyz。xyzoyzyzyxyxyxyzo符號規(guī)定：符號規(guī)定：正面和負(fù)面正面和負(fù)面：截面外法線與坐標(biāo)軸正方向一致，則該面：截面外法線與坐標(biāo)軸正方向一致，則該面為正面，反之，如果截面外法線與坐標(biāo)軸負(fù)方向一致，為正面，反之，如果截面外法線與坐標(biāo)軸負(fù)方向一致，則該面為負(fù)面。則該面為負(fù)面。正面正面正面NNN應(yīng)力的符號應(yīng)力的符號：正面上的應(yīng)力

11、沿：正面上的應(yīng)力沿坐標(biāo)軸正向為正，沿坐標(biāo)軸的坐標(biāo)軸正向為正，沿坐標(biāo)軸的負(fù)向為負(fù)；負(fù)面上的應(yīng)力沿坐負(fù)向為負(fù)；負(fù)面上的應(yīng)力沿坐標(biāo)軸負(fù)向為正，沿坐標(biāo)軸的正標(biāo)軸負(fù)向為正，沿坐標(biāo)軸的正向為負(fù)。即：向為負(fù)。即： “ “”“”； “ “”“” “ “”“”； “ “”“”xyzoxy yxzox x y y z z zx zx yx yx yz yz zy zy xy xy xz xz ab 可見：正應(yīng)力以拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)，與材可見：正應(yīng)力以拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)，與材料力學(xué)的符號一致。料力學(xué)的符號一致。yxzox x y y z z zx zx yx yx yz yz zy zy xy xy xz

12、xz ab正、負(fù)面上，正、負(fù)面上，正正的應(yīng)力分量的應(yīng)力分量正、負(fù)面上，正、負(fù)面上，負(fù)負(fù)的應(yīng)力分量的應(yīng)力分量彈性力學(xué)材料力學(xué) 注意彈性力學(xué)切應(yīng)力符號和材料注意彈性力學(xué)切應(yīng)力符號和材料力學(xué)是有區(qū)別的，圖示中，彈性力學(xué)力學(xué)是有區(qū)別的，圖示中，彈性力學(xué)里，切應(yīng)力都為正，而材料力學(xué)中相里，切應(yīng)力都為正，而材料力學(xué)中相鄰兩面的的符號是不同的。鄰兩面的的符號是不同的。 在畫在畫應(yīng)力圓應(yīng)力圓時，應(yīng)按材料力學(xué)的時，應(yīng)按材料力學(xué)的符號規(guī)定。符號規(guī)定。xy yx yx xy 切應(yīng)力互等定律切應(yīng)力互等定律即即xyxy yxyx , ,yzyz zy zy , , zxzx xzxz證明：連接六面體前后兩面證明：連接六

13、面體前后兩面中心的直線中心的直線abab為矩軸，列出為矩軸，列出力矩平衡方程：力矩平衡方程：02222 zxyyxzzyyz 同理可得：同理可得：得：得：zyyz xzzxyxxy ,yxzox x y y z z zx zx yx yx yz yz zy zy xy xy xz xz ab 已知單元體各面上的應(yīng)力分量，試在單元上標(biāo)出方向與數(shù)值。10040804050608060120 xyxzxxyyzyxzyzzzoxy10080406050401206080應(yīng)力的概念舉例yzxyzxzxyzyyxzxyxzvxpvypvzp斜截面斜截面的法線的法線v與坐標(biāo)軸與坐標(biāo)軸正向夾角余弦：正向夾角

14、余弦：nzvmyvlxv),cos(,),cos(,),cos(四面體平行于坐標(biāo)軸的棱四面體平行于坐標(biāo)軸的棱邊長度為邊長度為dx，dy，dz斜截面的面積為斜截面的面積為dS靜力平衡方程靜力平衡方程0212121, 0dSpdxdydzdxdydzFvxzxyxxxndSdxdymdSdzdxldSdydz21,21,21斜截面斜截面上的應(yīng)力分量上的應(yīng)力分量zxyxxvxnmlpzyyxyvynmlpzyzxzvznmlp如果作用在物體表面上的外面載荷用如果作用在物體表面上的外面載荷用Fx，F(xiàn)y，F(xiàn)z表表示，而斜面為邊界面，此時上式中示，而斜面為邊界面，此時上式中的的Pvx, ,Pvy, ,Pv

15、z都都換成換成Fx，F(xiàn)y，F(xiàn)z，則上式亦可作為，則上式亦可作為應(yīng)力邊界條件應(yīng)力邊界條件。斜截面上的應(yīng)力斜截面上的應(yīng)力分量計算公式分量計算公式y(tǒng)zxyzxzxyzyyxzxyxzvxpvypvzp222vzvyvxvppppvzvyvxvnPmPlPzxyzxyzyxnlmnlmnml22222222vvvp總應(yīng)力總應(yīng)力正應(yīng)力正應(yīng)力剪應(yīng)力剪應(yīng)力yzxyzxzxyzyyxzxyxzvxpvypvzpv1-3 三維應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力主應(yīng)力和主方向的概念v只有正應(yīng)力而無剪應(yīng)力的 斜平面為主平面v主平面上的正應(yīng)力 = 主應(yīng)力v 主平面的法線方向n = 主方向可以證明，主應(yīng)力是斜截面上正應(yīng)力的極值可以證明，

16、主應(yīng)力是斜截面上正應(yīng)力的極值yxzov設(shè)以設(shè)以v表示主應(yīng)力平面的表示主應(yīng)力平面的方向，而方向，而v表示主應(yīng)力。表示主應(yīng)力。vvzvvyvvxnpmplp,0)(zxyxvxnml0)(zyvyxynml0)(vzyzxznml1222nmlzxyxxvxnmlpzyyxyvynmlpzyzxzvznmlp斜截面上的應(yīng)力斜截面上的應(yīng)力分量計算公式分量計算公式y(tǒng)xzov設(shè)以設(shè)以v表示主應(yīng)力平面的表示主應(yīng)力平面的方向，而方向，而v表示主應(yīng)力。表示主應(yīng)力。1222nml0vzzyzxyzvyyxxzxyvx032213IIIvvv321,iiinml,應(yīng)力不變量應(yīng)力不變量zyxI12222zxyzxy

17、xzzyyxI22232xyzzxyyzxzxyzxyzyxI當(dāng)坐標(biāo)變換時，應(yīng)力不變量的值是不變的當(dāng)坐標(biāo)變換時，應(yīng)力不變量的值是不變的。一旦應(yīng)力狀態(tài)確定后，其主應(yīng)力便已確定，當(dāng)坐標(biāo)變換時，一旦應(yīng)力狀態(tài)確定后，其主應(yīng)力便已確定，當(dāng)坐標(biāo)變換時，雖然每個應(yīng)力分量都將隨之變化，但主應(yīng)力的值是不變的。雖然每個應(yīng)力分量都將隨之變化，但主應(yīng)力的值是不變的。所以所以Ii的值是不變的。的值是不變的。（嘗試證明）（嘗試證明）322212nmlvzvyvxvnPmPlP2222vzvyvxvpppp22332222212vvnml1222nml)()(312132212vvvl)()(123213222vvvm)(

18、)(231321222vvvn設(shè)設(shè)321000000000三向應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力圓三向應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力圓坐標(biāo)軸為主方向2312231)2()2(vv2221212()()22vv2222323()()22vv三向應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力圓三向應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力圓以斜截面上的正應(yīng)力以斜截面上的正應(yīng)力 N為橫坐標(biāo)，剪應(yīng)力為橫坐標(biāo)，剪應(yīng)力 N為縱坐標(biāo)，應(yīng)力點為縱坐標(biāo)，應(yīng)力點在陰影部分內(nèi)在陰影部分內(nèi)應(yīng)力點在應(yīng)力點在C1圓以外圓以外應(yīng)力點在應(yīng)力點在C3圓以外圓以外應(yīng)力點在應(yīng)力點在C2圓以內(nèi)圓以內(nèi)三向應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力圓三向應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力圓o213231max最大剪應(yīng)力最大剪應(yīng)力max? 例題已知受力物體中某點的應(yīng)力分量為：已知受力物體中某

19、點的應(yīng)力分量為：aaaazxyzxyzyx2, 0,2, 0試求作用在過此點的平面試求作用在過此點的平面 x+3y+z=1 上的沿坐標(biāo)軸方上的沿坐標(biāo)軸方向的應(yīng)力分量，以及該平面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力。向的應(yīng)力分量，以及該平面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力。解：解： 平面平面 Ax+By+Cz=D 的法線的方向余弦為的法線的方向余弦為111113111222222222CBACnCBABmCBAAlanmlpzxyxxvx508. 1anmlpzyyxyvy111. 2anmlpzyzxzvz905. 0anPmPlPvzvyvxv637. 0apppvvzvyvxv771. 0)(2222? 例題已知受力物體

20、中某點的應(yīng)力分量為：已知受力物體中某點的應(yīng)力分量為：0,60,20,70,80,50zxyzxyzyxaaaaa試求主應(yīng)力分量及主方向余弦。試求主應(yīng)力分量及主方向余弦。解：解： 應(yīng)力不變量為應(yīng)力不變量為33221432000,9100,60aIaIaI04320009100603223aaaxa1000432. 091. 06 . 023xxx432. 0,91. 0, 6 . 0, 1dcba2 . 03yabyx0234. 003. 13yy利用求根公式（參考數(shù)學(xué)手冊）利用求根公式（參考數(shù)學(xué)手冊）241. 0,114. 1,837. 0321yyyaaa4 .911 .443 .10732

21、10)(zxyxvxnml0)(zyvyxynml0)(vzyzxznmla3 .1071代入代入中任意兩式中任意兩式1222nml305. 0,900. 0,314. 0111nml146. 0,282. 0,948. 0222nml940. 0,337. 0,048. 0333nml1-4 最大剪應(yīng)力222vvvp2322212332222212nmlnml2221mln233223123323222232122)()()()(mlmlv求求v的極值的極值0, 022dmddldvv剪應(yīng)力的極值剪應(yīng)力的極值主坐標(biāo)主坐標(biāo)下斜截面上的剪應(yīng)力下斜截面上的剪應(yīng)力321000000zxyxxvxnm

22、lpzyyxyvynmlpzyzxzvznmlp斜截面上的應(yīng)力斜截面上的應(yīng)力分量計算公式分量計算公式vzvyvxvnPmPlP233223123323222232122)()()()(mlmlv求求v的極值的極值0, 022dmddldvv0)()()( 2)(31332231223212lmll0)()()( 2)(32332231223222mmlm0)()( 2)(32231231lml0)()( 2)(32231232mml0)()( 2)(32231231lml0)()( 2)(32231232mml滿足表達(dá)式的解有四種情況：滿足表達(dá)式的解有四種情況：1, 0, 0) 1 (nml0

23、v0, 0)2(ml2222131323210)21)(231l021,21nl21, 0) 3(nml21, 0)4(mln21, 0nml21, 0mln21, 0nlm極值剪應(yīng)力所處的平面位置：極值剪應(yīng)力所處的平面位置：yxzyxzyxz451-5 等傾面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力正八面體理學(xué)院力學(xué)與工程科學(xué)系正八面體構(gòu)成正八面體的定義v每個卦限一個面 = 八面v每個面的法線與坐標(biāo)軸等角任意一個面上的法線方向余弦321nnn1232221nnn1321n31321nnn1222nmlnml31)(313213210vvvnPmPlP213232221220)()()(31vvp等傾面上的正應(yīng)力等

24、傾面上的正應(yīng)力等傾面上的剪應(yīng)力等傾面上的剪應(yīng)力3,3,3333222111npmplpvvv應(yīng)力強(qiáng)度（等效應(yīng)力）應(yīng)力強(qiáng)度（等效應(yīng)力）2132322210)()()(2123i表征物體受力程度的參量表征物體受力程度的參量1-6 應(yīng)力張量的分解v張量：張量：在坐標(biāo)變換時，按某種指定形式變化的量。在坐標(biāo)變換時，按某種指定形式變化的量。v應(yīng)力張量：應(yīng)力張量：一點應(yīng)力狀態(tài)是由三個互相垂直的坐標(biāo)一點應(yīng)力狀態(tài)是由三個互相垂直的坐標(biāo)面上的六個獨立的應(yīng)力分量（或三個主應(yīng)力）來表面上的六個獨立的應(yīng)力分量（或三個主應(yīng)力）來表示。這組量的集合稱為應(yīng)力張量。示。這組量的集合稱為應(yīng)力張量。zzyzxyzyyxxzxyxi

25、j剪應(yīng)力互等剪應(yīng)力互等xzzxzyyzyxxy,ij是二階對稱張量是二階對稱張量000000000000zzyzxyzyyxxzxyx)(313210平均應(yīng)力：平均應(yīng)力：球形應(yīng)力張量：球形應(yīng)力張量：各向均勻受力狀態(tài)，也稱為各向均勻受力狀態(tài)，也稱為靜水壓力靜水壓力狀態(tài)，引起物體狀態(tài)，引起物體體積體積的改變。的改變。應(yīng)力偏量：應(yīng)力偏量：將原應(yīng)力狀態(tài)減去靜水壓力狀態(tài)，引起物將原應(yīng)力狀態(tài)減去靜水壓力狀態(tài)，引起物體體形狀形狀的改變。的改變。ijsijijijs0)(0)(1jijierKronecij符號k1-7 平衡微分方程yxzxzxyzyyxzxyzdzzzzdzzzxzxdzzzyzydyyyydyyyxyxdyyyzyzdxxxxdxxxzxzdxxxyxyxzydydxdz靜力平衡方程靜力