南通市2013屆高三第二次調(diào)研測試數(shù)學(xué)試卷

1、南通市2013屆高三第二次調(diào)研測試數(shù)學(xué)參考答案及評分建議數(shù) 學(xué) I一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分請把答案填寫在答卷卡的相應(yīng)位置上1. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量= (2，1)，向量= (3，5)，則向量的坐標(biāo)為 【答案】（1，4）2. 設(shè)集合，則 【答案】3. 設(shè)復(fù)數(shù)z滿足| z | = | z1 | = 1，則復(fù)數(shù)z的實(shí)部為 【答案】4. 設(shè)f (x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x < 0時，f (x)x + ex（e為自然對數(shù)的底數(shù)），則的值為 【答案】5. 某籃球運(yùn)動員在7天中進(jìn)行投籃訓(xùn)練的時間（單位：分鐘）用莖葉圖表示（如圖），圖中左列表示訓(xùn)練時間的十位數(shù)，右列

2、表示訓(xùn)練時間的個位數(shù)，則該運(yùn)動員這7天的平均訓(xùn)練時間為 分鐘S0For  I  From 1 to 28 Step 3 SS +IEnd ForPrint S（第6題）6 4 5 77 2 5 8 0 1 （第5題）【答案】726. 根據(jù)如圖所示的偽代碼，最后輸出的S的值為 【答案】1457. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)，則該橢圓的離心率為 【答案】8. 若將一個圓錐的側(cè)面沿一條母線剪開，其展開圖是半徑為2 cm的半圓，則該圓錐的高為 cm【答案】9. 將函數(shù)的圖象上每一點(diǎn)向右平移1個單位，再將所得圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的倍（縱坐標(biāo)保持

3、不變），得函數(shù)的圖象，則的一個解析式為 【答案】 10.函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為 【答案】 411. 設(shè)，且則的值為 【答案】12. 設(shè)數(shù)列an滿足：，則a1的值大于20的概率為 【答案】13.設(shè)實(shí)數(shù)x1，x2，x3，x4，x5均不小于1，且x1·x2·x3·x4·x5=729，則maxx1x2，x2x3，x3x4，x4x5的最小值是 【答案】914.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)，B，C是函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，且ABC為正三角形，則ABC的高為 【答案】2二、解答題：本大題共6小題，共90分. 請把答案寫在答題卡相應(yīng)的位置上. 解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演

4、算步驟15.（本小題滿分14分）已知ABC的內(nèi)角A的大小為120°，面積為（1）若AB，求ABC的另外兩條邊長；（2）設(shè)O為ABC的外心，當(dāng)時，求的值【解】（1）設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，于是，所以bc=4 3分因?yàn)?，所以由余弦定理?6分（2）由得，即，解得或48分設(shè)BC的中點(diǎn)為D，則，因?yàn)镺為ABC的外心，所以，于是12分所以當(dāng)時，；當(dāng)時，14分16.（本小題滿分14分）如圖，在四棱錐中，平面平面，BC/平面PAD，,求證：ABCP（第16題）D （1）平面；（2）平面平面【證】（1）因?yàn)锽C/平面PAD，而BC平面ABCD，平面ABCD平面PAD = AD

5、，所以BC/AD 3分因?yàn)锳D平面PBC，BC平面PBC，所以平面6分ABCPDH（2）自P作PHAB于H，因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平?AB，所以平面9分因?yàn)锽C平面ABCD，所以BCPH因?yàn)?所以BCPB，而，于是點(diǎn)H與B不重合，即PBPH = H因?yàn)镻B，PH平面PAB，所以BC平面PAB12分因?yàn)锽C平面PBC，故平面PBC平面PAB 14分17（本小題滿分14分）為穩(wěn)定房價，某地政府決定建造一批保障房供給社會.計劃用1 600萬元購得一塊土地，在該土地上建造10幢樓房的住宅小區(qū)，每幢樓的樓層數(shù)相同，且每層建筑面積均為1 000平方米，每平方米的建筑費(fèi)用與樓層有關(guān)，第x

6、層樓房每平方米的建筑費(fèi)用為(kx+800)元(其中k為常數(shù)) 經(jīng)測算，若每幢樓為5層，則該小區(qū)每平方米的平均綜合費(fèi)用為1 270元. (每平方米平均綜合費(fèi)用) （1）求k的值；（2）問要使該小區(qū)樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最低，應(yīng)將這10幢樓房建成多少層？此時每平方米的平均綜合費(fèi)用為多少元？【解】（1）如果每幢樓為5層，那么所有建筑面積為10×1 000×5平方米，所有建筑費(fèi)用為(k +800)+(2k +800)+(3 k +800)+(4k+800)+(5k +800)×1 000×10，所以，3分1 270，解

7、之得：k506分Error! Reference source not found.（2）設(shè)小區(qū)每幢為n(nN*)層時，每平方米平均綜合費(fèi)用為f (n)，由題設(shè)可知f (n) +25n+8252+8251 225(元). 10分Error! Reference source not found. 當(dāng)且僅當(dāng)25n，即n8時等號成立12分Error! Reference source not found.答：該小區(qū)每幢建8層時，每平方米平均綜合費(fèi)用最低，此時每平方米平均綜合費(fèi)用為1 225元14分18. （本小題滿分16分）已知函數(shù)f (x)(m3)x3 + 9x.（1）若函數(shù)f (x)在區(qū)間(，

8、+)上是單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍；（2）若函數(shù)f (x)在區(qū)間1，2上的最大值為4，求m的值【解】（1）因?yàn)?0)9 > 0，所以f (x)在區(qū)間上只能是單調(diào)增函數(shù) 3分由(x)3(m3)x2 + 90在區(qū)間(，+)上恒成立，所以m3故m的取值范圍是3，+) 6分（2）當(dāng)m3時，f (x)在1，2上是增函數(shù)，所以f (x) maxf (2)8(m3)184,解得m<3，不合題意，舍去 8分當(dāng)m3時，(x)3(m3) x2 + 9=0，得所以f (x)的單調(diào)區(qū)間為：單調(diào)減，單調(diào)增，單調(diào)減10分當(dāng)，即時，所以f (x)在區(qū)間1，2上單調(diào)增，f (x) max f(2)8(m3)184，

9、m，不滿足題設(shè)要求當(dāng)，即0m時，f (x) max舍去當(dāng)，即m0時，則，所以f (x)在區(qū)間1，2上單調(diào)減，f (x) max f (1)m + 64，m2.綜上所述：m216分19（本小題滿分16分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：x2+y2r2和直線l：xa（其中r和a均為常數(shù)，且0 < r < a），M為l上一動點(diǎn)，A1，A2為圓C與x軸的兩個交點(diǎn)，直線MA1，MA2與圓C的另一個交點(diǎn)分別為P、Q（1）若r2，M點(diǎn)的坐標(biāo)為(4，2)，求直線PQ方程；（2）求證：直線PQ過定點(diǎn)，并求定點(diǎn)的坐標(biāo)【解】（1）當(dāng)r2，M(4，2)，則A1(2，0)，A2(2，0).直線MA1的方

10、程：x3y+2=0，解得2分直線MA2的方程：xy2=0，解得 4分由兩點(diǎn)式，得直線PQ方程為：2xy2=0 6分（2）證法一：由題設(shè)得A1(r，0)，A2(r，0) .設(shè)M(a，t)，直線MA1的方程是：y = (x+r)，直線MA1的方程是：y = (xr) 8分解得10分解得 12分于是直線PQ的斜率kPQ，直線PQ的方程為 14分上式中令y = 0，得x，是一個與t無關(guān)的常數(shù).故直線PQ過定點(diǎn)16分證法二：由題設(shè)得A1(r，0)，A2(r，0) .設(shè)M(a，t)，直線MA1的方程是：y=(x+r)，與圓C的交點(diǎn)P設(shè)為P(x1，y1) 直線MA2的方程是：y=(xr)；與圓C的交點(diǎn)Q設(shè)為

11、Q(x2，y2) 則點(diǎn)P(x1，y1) ，Q(x2，y2)在曲線(a+r)yt(x+r)(ar)yt(xr)=0上，10分化簡得 (a2r2)y22ty(axr2)+t2(x2r2)0 又有P(x1，y1) ，Q(x2，y2)在圓C上，圓C：x2+y2r20 t2×得 (a2r2)y22ty(axr2)t2(x2r2) t2( x2+y2r2)0，化簡得：(a2r2)y2t(axr2) t2 y0所以直線PQ的方程為(a2r2)y2t(axr2)-t2 y0 14分在中令y = 0得 x = ，故直線PQ過定點(diǎn)16分20（本小題滿分16分）設(shè)無窮數(shù)列滿足：，.記.（1）若，求證：=2

12、，并求的值；（2）若是公差為1的等差數(shù)列，問是否為等差數(shù)列，證明你的結(jié)論【解】（1）因?yàn)?，所以若，則矛盾，若，可得矛盾，所以 4分于是，從而 7分（2）是公差為1的等差數(shù)列，證明如下： 9分時，所以， ，13分即，由題設(shè)，又，所以，即是等差數(shù)列16分?jǐn)?shù)學(xué)II（附加題）21. （選做題）本大題包括A，B，C，D共4小題，請從這4題中選做2小題. 每小題10分，共20分請在答題卡上準(zhǔn)確填涂題目標(biāo)記. 解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟OAEBDFCA. 選修41：幾何證明選講如圖，是的直徑，是上的兩點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線FD交的延長線于點(diǎn)連結(jié)交于點(diǎn). 求證：.【證明】連結(jié)OF因?yàn)镈F切O于F，所以

13、OFD=90°所以O(shè)FC+CFD=90°因?yàn)镺C=OF，所以O(shè)CF=OFC 因?yàn)镃OAB于O，所以O(shè)CF+CEO=90° 5分所以CFD=CEO=DEF，所以DF=DE因?yàn)镈F是O的切線,所以DF2=DB·DA所以DE2=DB·DA 10分B. 選修42：矩陣與變換設(shè)曲線在矩陣對應(yīng)的變換作用下得到的曲線為，求矩陣M的逆矩陣【解】設(shè)曲線上任一點(diǎn)在矩陣對應(yīng)的變換下的像是,由,得因?yàn)樵趫A上,所以，化簡可得3分依題意可得，或而由可得6分故,10分C. 選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在平面直角坐標(biāo)中,已知圓,圓（1）在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系

14、中，分別求圓的極坐標(biāo)方程及這兩個圓的交點(diǎn)的極坐標(biāo)；（2）求圓的公共弦的參數(shù)方程【解】（1）圓的極坐標(biāo)方程為， 圓的極坐標(biāo)方程為，由得，故圓交點(diǎn)坐標(biāo)為圓5分（2）由（1）得，圓交點(diǎn)直角坐標(biāo)為，故圓的公共弦的參數(shù)方程為 10分注：第（1）小題中交點(diǎn)的極坐標(biāo)表示不唯一；第（2）小題的結(jié)果中，若未注明參數(shù)范圍，扣2分D選修45：不等式選講設(shè)正數(shù)a，b，c滿足，求的最小值【解】因?yàn)閍，b，c均為正數(shù)，且，所以于是 ，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立 8分即，故的最小值為110分22. 必做題, 本小題10分解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟如圖，在三棱柱中，且（1）求棱與BC所成的角的大??；（第22題）BACA1B1C1（2）在棱上確定一點(diǎn)P，使二面角的平面角的余弦值為【解】（1）如圖，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則 ，故與棱BC所成的角是 4分BACA1B1C1zxyP（2）P為棱中點(diǎn)，設(shè)，則