關(guān)于傅利葉變換的一些數(shù)學(xué)解釋兼及其它

1、  關(guān)于傅利葉變換的一些數(shù)學(xué)解釋兼及其它(from 飲水思源) 收藏回復(fù)本文 發(fā)信人: ulysses(奧德修斯-盧庫(kù)盧斯-布魯姆), 信區(qū): IE標(biāo)  題: 關(guān)于傅利葉變換的一些數(shù)學(xué)解釋兼及其它發(fā)信站: 飲水思源 (2007年08月28日00:49:13 星期二), 站內(nèi)信件向前進(jìn), 你就會(huì)產(chǎn)生信念.                      &

2、#160;                 達(dá)朗貝爾傅利葉變換是信號(hào)系統(tǒng)的奠基石，小波分析的基礎(chǔ)理論，理論的粗疏理解固然不難但是要達(dá)到深刻的境界，是不能僅僅依靠教科書(shū)的由于本次討論持續(xù)時(shí)間較長(zhǎng)，參與面較廣，合集再給予m之后效果反而不佳為避免討論湮沒(méi)，因此在此簡(jiǎn)略加以總結(jié)，鄙下僅僅負(fù)責(zé)發(fā)帖，所有版權(quán)全部歸于以下幾位學(xué)長(zhǎng)：  Valetine，QueueingSys，zekong，vole，filestorm, dwangQ1:為

3、何要在通訊中使用傅利葉變換？(fingers)A11: 一個(gè)函數(shù)的傅立葉變換，本質(zhì)上是把函數(shù)分解到一個(gè)垂直的坐標(biāo)系， 每個(gè)坐標(biāo)分量稱(chēng)為頻率，在這個(gè)坐標(biāo)系下的系數(shù)（本身是一個(gè)函數(shù)），我們稱(chēng)它為這個(gè)函數(shù)的頻譜。人們想理解怎么樣能夠控制信號(hào)在不同頻率下傳遞 ，因?yàn)樽匀唤橘|(zhì)對(duì)不同頻率信號(hào)響應(yīng)不同。然后還要考慮如何能夠在改變信號(hào)頻率前后，最小程度的減小或者增大某些量，比如信噪比，或者熵，或者其他度量。傅立葉變換可以對(duì)這些問(wèn)題提供工具。數(shù)學(xué)上，也更容易操作。傅利葉變化在工程和物理中使用十分廣泛。（Valetine）A12:Fourier Transform是把給定信號(hào)用一大堆簡(jiǎn)單周期信號(hào)做一個(gè)線

4、性疊加。那一大堆簡(jiǎn)單的周期信號(hào)可以認(rèn)為是基。這個(gè)基很nb，具有很多性質(zhì)，比如正交。同時(shí)，還存在一種快速算法。所以總的來(lái)說(shuō)Fourier Transform實(shí)在是只應(yīng)天上有的完美理論。(filestorm)Q2:請(qǐng)問(wèn)如果對(duì)于本身是正旋波的信號(hào)頻率比如說(shuō)是,做過(guò)傅立葉變換那頻率是否仍然還和原來(lái)相同？A21:正弦波座傅立葉變化后就不是周期性的了，所以也就不存在什么頻率了但是這個(gè)變化的沖激是位于和-處(dwang)A22：首先, Fourier變換只是給人們提供另一個(gè)視角去看信號(hào)而已.有人認(rèn)為時(shí)域看信號(hào)直觀些有人認(rèn)為頻域看信號(hào)直觀些還有人喜歡即從時(shí)域又從頻域看信號(hào), 這要看應(yīng)用場(chǎng)合的.講得再遠(yuǎn)點(diǎn),除了

5、時(shí)域和頻域,你還可以從s域去看信號(hào)呢(利用Laplace變換)另外,同一個(gè)信號(hào),是周期就是周期的,不是周期就不是周期的,無(wú)論你從哪個(gè)域去看.從時(shí)域看一個(gè)sine wave, 以時(shí)間為x軸,信號(hào)的波形是repeated的,所以人們很直觀地認(rèn)為那是"周期的"從頻域看一個(gè)sine wave, 以頻率為x軸, 信號(hào)的"頻譜"是2根"脈沖"但它仍有頻率,仍是周期的。(QueueingSys)A23:傅立葉變換是一個(gè)數(shù)學(xué)工具，它能把信號(hào)對(duì)角化到不同的頻率。但是信號(hào)本身的性質(zhì)和傅立葉變換沒(méi)有關(guān)系，就是說(shuō)，不管你做不做傅立葉變換，一個(gè)信號(hào)還是它本身，

6、比如5Mhz依然不變。只是換了坐標(biāo)系來(lái)考慮和處理信號(hào)，在這個(gè)坐標(biāo)系下操作的好處，就是所有的頻率對(duì)應(yīng)于某一個(gè)內(nèi)積是垂直的。(Valetine)A24:1. X1+X2+X3+.+Xn  三個(gè)未知數(shù)服從不同的分布，想求在其和小于常數(shù)K的概率。  一種是在時(shí)域上解的話是n重積分，極其繁瑣。  一種是用蒙托卡羅模擬，但得到的結(jié)果不是解析解，有方差。  一種是用傅立葉變換變到頻域，指數(shù)項(xiàng)使+變成了X，化簡(jiǎn)以后，使用反變換，這里有很多快速數(shù)值算法，比如經(jīng)典的Euler算法。這要比第一種簡(jiǎn)單很多。2. 假設(shè)你對(duì)T時(shí)間內(nèi)的invariant的分布建了模，而你在其分布特性

7、不變的假設(shè)下想求NT時(shí)間的分布的話，如果T時(shí)間分布模型是使用擬和等統(tǒng)計(jì)方法得到的話，時(shí)域是根本無(wú)法得到的。 只有轉(zhuǎn)到頻域利用projection的特性，再轉(zhuǎn)回來(lái)。(zekong)A25:信號(hào)無(wú)論在哪個(gè)空間下，都是有頻率的。但是上文說(shuō)到的“不存在頻率”是指Fourier Spectrum上再對(duì)frequency求frequency，一般來(lái)說(shuō)，這很難找到一個(gè)說(shuō)得通的物理解釋。但這個(gè)操作是有據(jù)可查的，叫做Liftering，一般工程上Fourier Analysis文獻(xiàn)甚少有紀(jì)錄而已。實(shí)際上是可以用來(lái)做一些奇怪的檢測(cè)。(filestorm)Q3:談?wù)劯道~變換A31:感覺(jué)大多咱們研究的都是實(shí)直線上的

8、可測(cè)函數(shù)類(lèi)，這里可測(cè)指的是Lebesgue可測(cè)（勒貝格可測(cè)），如果說(shuō) Lp（IR)指的是IR（實(shí)直線）上的可測(cè)類(lèi)，則應(yīng)該滿(mǎn)足：L積分（|f(x)|p)dx有界L無(wú)窮（IR）指的處處有界函數(shù)類(lèi)一般來(lái)說(shuō)感覺(jué)咱們研究的傅立葉變化實(shí)際只是很初等的L1（IR）上的，L2（IR）本身Lp空間就是一個(gè)Banach空間，成立Minkowski不等式，Holder不等式，及Schwarz不等式，賦予內(nèi)積后，即變成一個(gè)Hilbert空間。當(dāng)f(x)屬于L1(IR)時(shí)，F(xiàn)(w)屬于L無(wú)窮（IR），并且再L1(IR)上一致連續(xù)如果f(x)屬于L2(IR)，那么傅立葉變換L2空間到L2空間的映射如此有很多值得分析的結(jié)論

9、和定理.分析學(xué)東西很多，雖然都很精彩但理解起來(lái)總突然感覺(jué)自己原來(lái)還是很多不清楚對(duì)于咱們工程應(yīng)用更是接觸的少，比如隨機(jī)過(guò)程就算搞的再熟，也不過(guò)就是多了幾種建模方法而已，什么排隊(duì)論啥的而已當(dāng)一旦發(fā)現(xiàn)如果A是X的一個(gè)simga環(huán)，（A，X）構(gòu)成一個(gè)可測(cè)空間，uX=1,時(shí)可測(cè)集變成了隨機(jī)事件，而(A,X)才構(gòu)成了概率可測(cè)空間時(shí)，才發(fā)現(xiàn)我們學(xué)很多東西是忽略的東西更多.(vole)A32:如果要從泛函的角度討論的話，那么數(shù)學(xué)分析里一些最困難的問(wèn)題都會(huì)歸結(jié)到傅立葉分析（或者調(diào)和分析）上。工程上，大部分時(shí)候都是以“拿來(lái)主義”的態(tài)度，數(shù)學(xué)家列個(gè)表格傅立葉變換，工程師直接用就是了。但是如果真的要從定義出發(fā)，很多非

10、常常用的函數(shù)，就很難做傅立葉變換。比如沖擊信號(hào)，階躍信號(hào)，或者高斯分布，要嚴(yán)格的定義的話，需要用泛函的知識(shí)。前面的討論就是這些知識(shí)的基礎(chǔ)。當(dāng)然如果不研究數(shù)學(xué)，并不影響任何人用這些結(jié)論。理解傅立葉變換基本的性質(zhì)，稍微看一些調(diào)和分析，泛函的書(shū)（如果你覺(jué)得有必要知道那些列表是怎么來(lái)的），多想想為什么要用卷積來(lái)描述系統(tǒng)對(duì)信號(hào)的響應(yīng)（對(duì)卷積的理解很可能是最重要的），這些基本問(wèn)題個(gè)人認(rèn)為是核心。而且可以看到，同樣是傅立葉分析，大家的討論卻是大相徑庭，有從estimation的角度，有從純數(shù)學(xué)的角度，等等。這也能說(shuō)明這個(gè)理論的重要，和它廣泛的應(yīng)用。(valetine)A33：說(shuō)到Entropy，剛好正在寫(xiě)一

11、點(diǎn)東西。忍不住再說(shuō)兩句。盡量用大白話說(shuō)。同一個(gè)信號(hào)，可以通過(guò)各種基底B和系數(shù)c的表達(dá)。比如我們可以算H(c)，那么這個(gè)熵實(shí)際上就表達(dá)了待表達(dá)信號(hào)與基底的相似性?；蛘咭部梢哉f(shuō)，是用那個(gè)基底來(lái)表達(dá)這個(gè)待表達(dá)信號(hào)的復(fù)雜程度。如果直接對(duì)原信號(hào)x求H(x)，那實(shí)際上默認(rèn)了基底是I，如果用Fourier Basis來(lái)求，那么默認(rèn)了基底是exp(i omega t)。但是如果用Fourier基底表達(dá)大白紙上一個(gè)小黑塊兒，顯然就沒(méi)有用空域直接表達(dá)來(lái)得方便。同理，如果在時(shí)域表達(dá)一個(gè)和弦信號(hào)，就不如Fourier更好地表述了其內(nèi)蘊(yùn)的物理模型?？偨Y(jié)一下：從Entropy的角度，我們可以看出在某種表達(dá)的復(fù)雜程度，盡量

12、選擇那些有物理背景的表達(dá)，會(huì)使得分析的難度大大簡(jiǎn)化。具體地說(shuō)，通訊里面信息很多是承載在周期變化的物理模型上的，對(duì)于波的分析，自然Fourier會(huì)有一定優(yōu)越性了。（filestorm）Q4:談?wù)劸矸e（valetine）1，卷積本身是一個(gè)理論的，convolution calculus。 剛開(kāi)始學(xué)信號(hào)系統(tǒng)的話，一般總會(huì)對(duì)這個(gè)操作感到奇怪， 比如信號(hào) f(x), LTI系統(tǒng)沖擊響應(yīng) g(x) 為什么一個(gè)LTI系統(tǒng)對(duì)信號(hào)的響應(yīng)是 f(x)和g(x) 的卷積？而且什么是卷積呢？ 要比較讓人滿(mǎn)意的理解這個(gè)問(wèn)題，一般是需要一點(diǎn)數(shù)學(xué)知識(shí)的。 稍微離點(diǎn)題，一般的

13、說(shuō)，函數(shù)可以理解為把一些點(diǎn)映射到另一些點(diǎn)上的操作， 如果我們現(xiàn)在要建立一個(gè)操作，可以把一些函數(shù)映射到另一些函數(shù)上，我們說(shuō)這個(gè)操作是operator. 一個(gè)簡(jiǎn)單的對(duì)函數(shù)的操作， 可以是微分 df(x)/dx，積分 int f(x)，等等. 那么系統(tǒng)就是一個(gè)operator L，輸入一個(gè)信號(hào) f(x)，輸出一個(gè)信號(hào) u(x)。表示成L( f(x) ) = u(x) 現(xiàn)在想象一個(gè)LTI離散系統(tǒng)，我們放入一個(gè)沖擊 delta(x)，系統(tǒng)輸出信號(hào) g(x), 如果我們把輸入信號(hào)分解成很多 c(t) delta(x-t)的和，c(t)表示信號(hào)在某個(gè)時(shí)間的大

14、小（如果是復(fù)數(shù)的話，還有相位），t表示延遲的多少，那么因?yàn)槭蔷€性系統(tǒng)，我們可以把輸出疊加，而且是非時(shí)變系統(tǒng)，所以每個(gè) delta(x) 的響應(yīng)僅僅是時(shí)間上的延遲。 所以輸出的結(jié)果就是  sum c(t) g(x-t) 就是所謂的離散和的形式。同樣的道理，如果系統(tǒng)是連續(xù)的，那么這個(gè)和的形式就變成積分。我們稱(chēng)為卷積。2,現(xiàn)在我們?cè)噲D來(lái)解釋?zhuān)?#160;為什么傅立葉變換后，時(shí)域上的卷積，變成頻域上的乘積？ 當(dāng)然我們可以從定義出發(fā)，做 f(x) * g(x) 的傅立葉變換，然后換變量，就可以分成 F(jw) 和 G(jw) 的乘積。 但是這個(gè)基本上是做數(shù)學(xué)游戲，

15、不是讓人覺(jué)得滿(mǎn)意。 現(xiàn)在我們換個(gè)角度來(lái)考慮。首先要我們需要LTI系統(tǒng)的一個(gè)性質(zhì)，頻率響應(yīng)。 簡(jiǎn)單的說(shuō)，一個(gè)LTI系統(tǒng)對(duì)于正弦信號(hào)的輸出，也是一個(gè)正弦信號(hào)，而且信號(hào)的周期不變，變換的是信號(hào)的幅度和相位。這個(gè)特點(diǎn)本質(zhì)上是因?yàn)?ejwx 是微分算子的特征方程，就是說(shuō)對(duì) ejwx 求導(dǎo)以后，還是它本身，變化的僅僅是幅度和相位。 d ejwx / dx  = jw ejwx從這里自然就會(huì)展開(kāi)去很多概念，比如傳輸方程，特征根等等。 然后我們來(lái)考慮 函數(shù) f(x) = ejnx, n 是自然數(shù)這個(gè)函數(shù)周期為 2 pi/n.  而且有一個(gè)非常重要的性

16、質(zhì)就是，ejnx，ejmx 在 0,2pi) 上的積分滿(mǎn)足 int ejnx e-jmx = 0 , 如果 n 不等于 m; int ejnx e-jmx = 0 ，如果 n=m。 我們稱(chēng)這個(gè)性質(zhì)為函數(shù)垂直。我們可以把自然數(shù)擴(kuò)展到所有實(shí)數(shù)，積分從0,2pi)擴(kuò)展到(-inf, +inf)，那么 ejwx w 屬于實(shí)數(shù), 構(gòu)成一個(gè)垂直的坐標(biāo)系。 最后我們考慮傅立葉變換。 F(jw) = int f(x) ejwx dx 有了垂直坐標(biāo)系的概念后，我們可以把傅立葉變換理解為一個(gè)函數(shù)在不同特征方程的分量。 比如說(shuō)，f(x)

17、 = cos(x), 一個(gè)周期 2pi 的信號(hào)，那么 F(jw) 就是兩個(gè)在 -1 和 +1 的沖擊。之所以我們把信號(hào)放在頻域里，就是因?yàn)椴煌l率的信號(hào)，它們相對(duì)與一個(gè)內(nèi)積（這里的內(nèi)積就是以上的積分）是垂直的。 有了以上的概念以后，就可以理解卷積定理了。3,有了特征方程垂直的概念后，我們來(lái)看卷積定理。首先我們做傅立葉變換，把信號(hào) f(x) 分解到不同的特征方程 ejwx上。對(duì)于確定的 w，F(xiàn)(jw) 就是這個(gè)數(shù)，表示 f(x) 在ejwx上的分量。然后我們讓 w 變化，于是 F(jw) 是一個(gè)函數(shù)，我們稱(chēng)它為 f(x) 的頻譜。前面提到LTI系統(tǒng)的頻響，輸入 ejwx， 輸出 g(jw) ejwx,變化的是幅度和相位，這些信息都包含在系數(shù) g(jw) 中。 現(xiàn)在我們讓 w 變化，可以測(cè)出系統(tǒng)的頻響 G(jw)，到此為止，我們已經(jīng)把 f(x) 分解，又得到系統(tǒng)頻響，那么運(yùn)用疊加的性質(zhì)， 線性系統(tǒng)的輸出很自然就是    G(jw) F(jw)最后鳴謝所有八系學(xué)長(zhǎng)無(wú)私奉獻(xiàn)自己的心得，這種心得是比什么書(shū)上的證明都更珍貴的。-  有兩樣?xùn)|西，我們愈加持久的加以思索，他們就愈使心靈充滿(mǎn)日新又新，有加無(wú)已的景仰和敬畏在我們頭上的燦爛星辰和在我們心中的道德法則，我毋需尋求它們或僅僅推測(cè)它們，仿佛