高一寒假(清北班)資料1(函數(shù)的周期性)

1、 專題一：函數(shù)的周期性（一）函數(shù)的周期性對(duì)于函數(shù)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)，使得當(dāng)取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有，則為周期函數(shù)，為這個(gè)函數(shù)的一個(gè)周期。若為一個(gè)周期，則也為周期。若周期函數(shù)的正周期中有一個(gè)最小者，這個(gè)周期就叫最小正周期。（1）已知函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有，則是的一個(gè)周期。證明：因?yàn)?，所以，所以是以為周期的周期函?shù)。（2）已知函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有，則是的一個(gè)周期。證明：因?yàn)?，令，則，于是對(duì)于恒成立，所以是以為周期的周期函數(shù)。（3）已知函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有，則是的一個(gè)周期。證明：由已知，所以是以為周期的周期函數(shù)。（4）已知函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有，則是的一個(gè)周期。證明：由已知 ，于是，所以是以為周

2、期的周期函數(shù)。如：還有“”、“”等也是周期函數(shù)。（二）函數(shù)的對(duì)稱性與周期性及關(guān)系：（1）函數(shù)對(duì)于定義域上的任意，如果都有或，則函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，反之也成立。（2）函數(shù)對(duì)于定義域上的任意，如果都有或，則函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，反之也成立。（3）一般地，函數(shù)有兩種及以上的對(duì)稱性時(shí)，則函數(shù)是周期函數(shù)。（詳見(jiàn)補(bǔ)充中的定理3）如：已知函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有且，則是的一個(gè)周期。證明：不妨設(shè)，于是，是的一個(gè)周期；當(dāng)時(shí)同理可得。所以，是的周期。補(bǔ)充：定理1：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的充要條件是。證明：（必要性）設(shè)點(diǎn)是圖象上任一點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)也在圖象上，即，故，必要性得證。（充分性）設(shè)點(diǎn)是圖象上任一點(diǎn)，則，即。故點(diǎn)也在

3、 圖象上，而點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，充分性得征。推論：函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的充要條件是。定理2：函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱的充要條件是 ，即。（證明留給讀者）推論：函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱的充要條件是。定理3：若函數(shù)圖象同時(shí)關(guān)于點(diǎn)和點(diǎn)成中心對(duì)稱，則是周期函數(shù)，且是其一個(gè)周期。若函數(shù)圖象同時(shí)關(guān)于直線和直線成軸對(duì)稱，則是周期函數(shù)，且是其一個(gè)周期。若函數(shù)圖象既關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱又關(guān)于直線成軸對(duì)稱，則是周期函數(shù)，且是其一個(gè)周期。的證明留給讀者，已證明，以下給出的證明：函數(shù)圖象既關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，用代得：（*）又函數(shù)圖象直線成軸對(duì)稱，代入（*）得：（*），用代得代入（*）得：，故是周期函數(shù)，且是其一個(gè)周期。1函數(shù)的周

4、期性：例1已知是實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，且對(duì)任意恒成立。（1）求證：是周期函數(shù)；（2）已知，求的值。變式訓(xùn)練（1）設(shè)偶函數(shù)對(duì)任意，都有，且當(dāng)時(shí)，則的值是（ ）（A） （B） （C） （D）（2）已知，定義，則（ ）A B C D2函數(shù)奇偶性、周期性、對(duì)稱性與綜合應(yīng)用：例2（1）定義在上的函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，對(duì)任意的實(shí)數(shù)都有，且，則的值為（ ）ABC0D1（2）已知是定義在上的且以2為周期的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，如果直線與曲線恰有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值是（ ）A. B. C. 或 D.以上答案都不對(duì)（3）已知函數(shù)是定義域?yàn)榈闹芷跒榈钠婧瘮?shù)，且當(dāng)時(shí)，則方程在區(qū)間上的解的個(gè)數(shù)是 。（4）定義在R上的偶函數(shù)滿足

5、：對(duì)任意都有成立；當(dāng)且時(shí)，都有則：（）；（）若方程在區(qū)間上恰有個(gè)不同實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_。例3設(shè)函數(shù)在上滿足，且在閉區(qū)間上，只有。（1）試判斷函數(shù)的奇偶性；（2）試求方程在閉區(qū)間上的根的個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論。例4已知函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且它的圖象關(guān)于直線對(duì)稱。（1）求的值；（2）證明函數(shù)是周期函數(shù)；（3）若，求時(shí)，函數(shù)的解析式，并畫出滿足條件的函數(shù)至少一個(gè)周期的圖象。例5函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有成立。當(dāng)時(shí)，。（1）求時(shí)，函數(shù)的表達(dá)式；（2）求時(shí)，函數(shù)的表達(dá)式；（3）若函數(shù)的最大值為，解關(guān)于的不等式。例6設(shè)是定義在區(qū)間上的函數(shù)，若對(duì)任何實(shí)數(shù)以及中的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)恒有則稱

6、為定義在上的“函數(shù)”.（1）試判斷函數(shù)是否為各自定義域上的函數(shù)，并說(shuō)明理由；（2）若是定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，且最小正周期為，試證明不是上的函數(shù).課后作業(yè)1設(shè)是上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則（ ）A. B. C. D.2已知函數(shù)為奇函數(shù)，函數(shù)為偶函數(shù)，且，則_。3設(shè)f（x）是R上的奇函數(shù)，它在-1，0上是增函數(shù)，且，那么（ ）Af（1） Bf（1）Cf（1） Df（1）4.定義在上的函數(shù)既是奇函數(shù)，又是周期函數(shù)，是它的一個(gè)正周期。若將方程在閉區(qū)間上的根的個(gè)數(shù)記為，則可能為（ ）A.0 B.1 C.3 D.55已知是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，設(shè)則（ ）（A）（B）（C）（D）6.（安徽卷）函數(shù)對(duì)于任意實(shí)數(shù)滿足條件，

7、若則_。7是定義在上的偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，則與的大小關(guān)系是_。8已知是定義在R上的函數(shù)，且，若，則的值為_。9函數(shù)是上的奇函數(shù)，滿足，當(dāng)（0，3）時(shí)，則當(dāng)（，）時(shí)，=（ ） A. B. C. D. 10若存在常數(shù)，使得函數(shù)滿足，則的一個(gè)正周期為_。11已知函數(shù)f (x)的定義域?yàn)镽，且 , 則f(2006)=_。12（08四川）設(shè)定義在上的函數(shù)滿足，若，則（ ）A13B2CD13.在上定義的函數(shù)是偶函數(shù)，且，若在區(qū)間上是減函數(shù)，則（）.在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù).在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù).在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù).在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)14定義在上的

8、函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，對(duì)任意的實(shí)數(shù)都有，且，則的值為（ ）ABC0D115已知函數(shù)（xR）滿足，且x-1，1時(shí)，,則與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A2B3 C4D516定義在R上的奇函數(shù)f(x)以4為周期，則的值為_.17.設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且,當(dāng)1x0時(shí)，則_。18.設(shè)f(x)是定義在區(qū)間(,)上以2為周期的函數(shù),對(duì)kZ,用表示區(qū)間(2k1,2k+1,已知x時(shí)，求f(x)在上的解析式。課后作業(yè)答案1 2周期為8，故。 3D4. 提示：，故。5D 提示：已知是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，設(shè)，<0，選D。6.解：由得，所以，則。7 提示：在上是偶函數(shù)，且，是以2為周期的偶函數(shù)，,。又在(0.1)上是增函數(shù)，0.1與0.2且,，。8. 解：，即函數(shù)的周期為8， 故。9.B10 提示：令，依題意有，此式對(duì)任意都成立，而>0且為常數(shù)，因此，說(shuō)明是一個(gè)周期函數(shù)，為最小正周期。11 12C 13. 14D 15C 16017.解：f(x)是定義在R上的偶函數(shù)x =