笛沙格定理在初等幾何中的應(yīng)用

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上天 津 師 范 大 學(xué)本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）題目：笛沙格定理在初等幾何中的應(yīng)用學(xué) 院：數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院學(xué)生姓名：朱保軍學(xué) 號(hào)：專 業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)年 級(jí)：2009級(jí)完成日期：2013年5月13日指導(dǎo)教師：武猛專心-專注-專業(yè)笛沙格定理在初等幾何中的應(yīng)用摘要：笛沙格定理是射影平面上的重要定理許多定理以它為依據(jù),利用它也可以證明初等幾何中一些共線或共點(diǎn)問題本文將抓住笛沙格定理的精髓：兩個(gè)對(duì)應(yīng)三點(diǎn)形、透視軸、透視中心通過笛沙格定理的介紹,展示其圖形之美之后，著重介紹其在幾何作圖、共線問題、共點(diǎn)問題、動(dòng)態(tài)問題中的應(yīng)用而且,還可輕易看出在初等幾何中一些繁瑣證明或難以得證的問題,通過

2、笛沙格定理便一目了然本文必將充分展示出笛沙格定理在初等幾何中的重要作用,給初等幾何中一些共線或共點(diǎn)問題帶來簡(jiǎn)易之路關(guān)鍵詞：透視軸；透視中心；笛沙格定理；共點(diǎn)問題；共線問題The Application of the Desargues Theorem to Elementary GeometryAbstract: The Desargues theorem is an important theorem on the projective plane. Many theorems are based on it, using it can also prove some collinear o

3、r concurrent problems in the elementary geometry. This thesis will grasp the Desargues theorems pith that there are two corresponding triangles, perspective axis, perspective centre. By the introduction of the Desargues theorem, showing the beauty of its picture. After that, we focus on the applicat

4、ion to geometric drawing, collinear, concurrent, dynamic problems. Moreover, we can easily see some problems of complex proof or hard-to-get proof in the elementary geometry, but they will be clear at a glance by the Desargues theorem. This thesis is bound to fully show the important role of the Des

5、argues theorem in the elementary geometry. Whats more, it will simplify the way to the some problems of the collinear or concurrent in the elementary geometry. Key words: perspective axis; perspective centre; Desargues theorem; concurrent; collinear目 錄 1 引言吉拉德笛沙格（Girard Desargues）,法國(guó)里昂, 1591年出生,1661

6、年逝世于里昂,法國(guó)建筑師、工程師和著名數(shù)學(xué)家,射影幾何學(xué)創(chuàng)始人之一笛沙格在射影幾何方面碩果累累,率先提出無窮遠(yuǎn)元素、調(diào)和點(diǎn)組、對(duì)合等新的概念,以及射影幾何學(xué)中著名定理笛沙格定理在當(dāng)時(shí)人才輩出的時(shí)代,笛沙格以其獨(dú)創(chuàng)精神,脫穎而出,得到了費(fèi)馬、笛卡爾、帕斯卡等數(shù)學(xué)界名流的賞識(shí)但是,那個(gè)年代盛行的是解析幾何,笛沙格依然敢于開創(chuàng)射影幾何的新領(lǐng)域,不畏眾多人的反對(duì)和批評(píng),堅(jiān)持創(chuàng)作并大量出版但作品并沒有引起多大的關(guān)注,直到1845年,沙勒偶然發(fā)現(xiàn)了笛沙格著作的手抄本試論圓錐曲線和平面的相交所得結(jié)果的初稿，才引起人們廣泛關(guān)注,從那時(shí)起,這本書被列為近世幾何的經(jīng)典著作笛沙格定理是射影幾何學(xué)中四大定理之一我們定

7、義射影幾何是研究圖形的射影性質(zhì)，即它們經(jīng)過射影變換后，依然保持不變圖形性質(zhì)的幾何學(xué)分支學(xué)科射影幾何起著一個(gè)特殊的作用，它能把幾何學(xué)中的射影幾何、仿射幾何、歐式幾何聯(lián)系起來，使幾何學(xué)成為一個(gè)完整系統(tǒng)而且，射影幾何有著廣泛的應(yīng)用，在繪畫、攝影、航空、測(cè)量等方面尤為突出射影幾何的發(fā)展也是長(zhǎng)期研究形成的，它最早開始于繪畫它的發(fā)展得助于歐洲文藝復(fù)興時(shí)期透視學(xué)的快速發(fā)展那時(shí)，學(xué)者在繪畫和建筑方面非常癡迷，大力研究在平面上如何表現(xiàn)實(shí)物的圖形學(xué)者發(fā)現(xiàn)，一個(gè)畫家將一個(gè)事物畫在一張紙上，眼睛好比投影中心，把事物投影到紙上，然后再畫出來在畫的過程中，有些元素的相對(duì)大小和位置關(guān)系，有的變了，有的沒變學(xué)者在這方面大力研

8、究，因而漸漸的產(chǎn)生了新的概念和理論，最終，形成了射影幾何學(xué)在射影幾何中，有一基本概念交比，在射影變換下，交比具有不變形，利用這一性質(zhì)可以推導(dǎo)出射影幾何中許多其它重要性質(zhì)射影幾何學(xué)真正成為一門學(xué)科是在十七世紀(jì)，笛沙格為射影幾何學(xué)做出了杰出的貢獻(xiàn)人們以他的名字命名的笛沙格定理：“如果兩個(gè)三點(diǎn)形對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)，則對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)在一直線上，反之也成立”，就是射影幾何的基本定理笛沙格定理的重要意義不僅在于它可以推出一系列射影幾何命題，還在于它是平面射影幾何的基礎(chǔ)之一許多定理以它為根據(jù),利用它還可以證明初等幾何中一些共點(diǎn)或共線問題,在解決初等幾何問題具有獨(dú)特之處2 射影幾何基本概念及定理2.1 基本

9、概念定義2.1 在平面內(nèi)對(duì)于任何一組平行線引入唯一一點(diǎn)叫做無窮遠(yuǎn)點(diǎn)；一平面內(nèi)一切無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的集合組成一條直線叫做無窮遠(yuǎn)直線我們可以看出在一組平行線交于無窮遠(yuǎn)點(diǎn)一點(diǎn)；一平面內(nèi)所有直線都與無窮遠(yuǎn)直線有交點(diǎn)定義2.2 平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)與其每?jī)牲c(diǎn)的連線所組成的圖形叫做三點(diǎn)形；平面內(nèi)不共點(diǎn)的三直線與其每?jī)芍本€的交點(diǎn)所組成的圖形叫做三線性三點(diǎn)形與三線性實(shí)際上是一種圖形（如圖2-1）,點(diǎn)叫做頂點(diǎn),直線叫做邊圖2-1定義2.3 如果兩個(gè)三點(diǎn)形的對(duì)應(yīng)邊交點(diǎn)共線,則這條直線叫做透視軸如果兩個(gè)三點(diǎn)形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)連線共點(diǎn),則這個(gè)點(diǎn)叫做透視中心兩個(gè)三點(diǎn)形和(如圖2-2),我們可知它們對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)分別為,且三點(diǎn)共線,它們對(duì)

10、應(yīng)頂點(diǎn)的連線交于一點(diǎn),此時(shí),直線稱為透視軸,點(diǎn)稱為透視中心圖2-2 定義2.4 共線三點(diǎn)的單比表示為,定義其中 是有向線段,稱為基點(diǎn),為分點(diǎn)那么，共線四點(diǎn)的交比等于兩個(gè)單比與的比,即,其中叫做基點(diǎn)偶,叫做分點(diǎn)偶如果,我們稱為的第四調(diào)和點(diǎn)其中，此定義只是為了解釋以下推論中的第四調(diào)和點(diǎn)，只需了解第四調(diào)和點(diǎn)即可定義2.5 在射影平面里設(shè)有點(diǎn)，直線及其相互結(jié)合和順序關(guān)系所組成的一個(gè)命題，將此命題中的各元素改為它的對(duì)偶元素，各作圖改為它的對(duì)偶作圖，其結(jié)果形成另一個(gè)命題，這兩個(gè)命題叫對(duì)偶命題定理2.1（對(duì)偶原則） 在射影平面里，如果一個(gè)命題成立，則它的對(duì)偶命題也成立2.2 笛沙格定理我們已經(jīng)介紹了三點(diǎn)形和

11、三線性，還有第四調(diào)和點(diǎn)和對(duì)偶原則下面我們介紹笛沙格定理定理2.2（笛沙格定理） 如果兩個(gè)三點(diǎn)形對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線交于一點(diǎn),則對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)在一直線上證明 設(shè)有三點(diǎn)形和,它們對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線交于一點(diǎn),其對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)分別為下面我們分兩種情況證明在一直線上圖2-3情況（1） 三點(diǎn)形和分別在兩個(gè)不同的平面和上(如圖2-3)因?yàn)?所以和共面,二直線和必相交,交點(diǎn)在平面和的交線上同理,與相交,與相交,且相應(yīng)的交點(diǎn)都在二平面和的交線上于是三點(diǎn)共線情況（2） 三點(diǎn)形和在同一平面內(nèi)（如圖2-4）通過作不在平面內(nèi)的直線,在直線上任取兩點(diǎn)和,且不與點(diǎn)重合因?yàn)?所以我們可知共面,且與相交,我們記,同理我們可知, ,三點(diǎn)形所在

12、的平面與平面不同（例如不在內(nèi)）由于三點(diǎn)形與不同在一平面內(nèi),都通過點(diǎn),且記,由情況（1）可知,共線,即在平面所決定的平面內(nèi),但也在平面內(nèi),則在兩個(gè)不同的平面與平面的交線上同理可證, 都在平面與平面的交線上,所以,在平面與平面的交線上,所以,共線證畢圖2-42.3 笛沙格逆定理 笛沙格定理的逆命題是如果兩個(gè)三線性對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)在一直線上,則對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)由于三線性與三點(diǎn)形實(shí)際上是一種圖形則可得如下定理定理2.3(笛沙格逆定理) 如果兩個(gè)三點(diǎn)形對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)在一直線上,則對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)笛沙格定理與其逆定理是對(duì)偶命題,由對(duì)偶原則知,笛沙格定理成立,則其逆定理也成立,這為笛沙格逆定理的證明起

13、到了事半功倍之效由笛沙格及其逆定理說明,若兩三點(diǎn)形有透視中心,則必有透視軸反之,若有透視軸則必有透視中心其中,這樣的兩個(gè)三點(diǎn)形叫做透視三點(diǎn)形我們必須指出，笛沙格定理的證明，要先證空間的情況,因當(dāng)兩個(gè)三點(diǎn)形在同一平面時(shí),進(jìn)行證明時(shí)要借助空間作圖,否則是不能證明的所以只就平面射影幾何而言,笛沙格定理必須選作公理笛沙格定理的證明還有很多種,可參考福建師大數(shù)學(xué)系陳圣德的證法4本文用的是綜合法,證明有點(diǎn)繁難,但這是幾何證明題的基本方法,應(yīng)當(dāng)熟練掌握同時(shí),笛沙格定理與笛沙格逆定理都可以用代數(shù)法證明2.4 推論 熟練了笛沙格定理及其逆定理之后,我們介紹笛沙格定理的推論推論2.1 在直線上,對(duì)三個(gè)不同的已知點(diǎn)

14、存在唯一的第四調(diào)和點(diǎn)證明 在直線外任取一點(diǎn),連接線段,在上取異于的點(diǎn),可得,則和的交點(diǎn)就是(如圖2-5)由作法看來,的確定好像依賴于點(diǎn)實(shí)則不然下面證明點(diǎn)為固定點(diǎn)在直線的另一側(cè)任取點(diǎn),仿照上面我們可作點(diǎn)然后我們選取三點(diǎn)形和, ,由于共線,由笛沙格逆定理知,的連線交于一點(diǎn),同理三點(diǎn)形和的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線也交于點(diǎn),此時(shí)共點(diǎn),在三點(diǎn)形和中,由笛沙格定理我們可知,故確定了點(diǎn),由點(diǎn)的任意性知,存在唯一的第四調(diào)和點(diǎn)證畢圖2-52.5 笛沙格構(gòu)圖 笛沙格定理構(gòu)圖一共包含十個(gè)點(diǎn)和十條直線（如圖2-6）圖2-6圖中有十個(gè)點(diǎn),每個(gè)點(diǎn)有三條線通過；有十條線,每條線上有三個(gè)點(diǎn)圖形非常巧妙,更為巧妙的是：在十個(gè)點(diǎn)中,任一點(diǎn)

15、都可作為透視中心；在十條線中,任一條線都可作為透視軸我們觀察圖2-6中,任取一點(diǎn),則在三點(diǎn)形和中,其對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)為三點(diǎn)共線即以為透視中心,則其對(duì)應(yīng)的透視軸為直線其余的可參見表2-1表2-1透視中心透視三點(diǎn)形透視軸和和和和和和和和和和3 笛沙格定理在初等幾何中的應(yīng)用3.1 幾何作圖例1 在一張紙上,設(shè)給定點(diǎn)與不通過的二直線,不許求出,的交點(diǎn)而得到與,交點(diǎn)的連線僅用直尺作圖作圖 取不在上的一點(diǎn)（與不同）,通過作三直線與的交點(diǎn)順次為與的交點(diǎn)順次為連接交于,連接交于,連接并設(shè),連接（如圖3-1）圖3-1證明 三點(diǎn)形和的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)交于一點(diǎn),根據(jù)笛沙格定理知,與直線（直線,）的交點(diǎn)共線,即直線過直線,的交點(diǎn)

16、證畢此題作圖十分巧妙,自然的銜接上了笛沙格定理此外,本題的證明還可以選擇三點(diǎn)形和,根據(jù)笛沙格逆定理即得3.2 共線問題例2 證明三角形的垂心,重心,外心三點(diǎn)在一條直線上證明 已知三角形,依據(jù)幾何作圖作出其垂心,重心,外心,其中分別為中點(diǎn)(如圖3-2),下面證明三點(diǎn)共線在三點(diǎn)形和中,根據(jù)幾何作圖性質(zhì)可知,即兩個(gè)三點(diǎn)形和對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)都為無窮遠(yuǎn)點(diǎn),從而它們的交點(diǎn)都在無窮遠(yuǎn)直線上根據(jù)笛沙格逆定理,兩個(gè)三點(diǎn)形和對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)即三點(diǎn)共線證畢圖3-2此題是歐拉定理的證明,其垂心,重心,外心所在的直線為歐拉線此外,此題證明的構(gòu)圖,別具風(fēng)格,獨(dú)具匠心,是綜合分析各方面的因素,化冗為簡(jiǎn)的結(jié)果而且,此題是初

17、等幾何中非常重要的三角形“三心”共線問題,利用初等幾何的知識(shí)證明比較麻煩,此處用笛沙格逆定理證明簡(jiǎn)單而又巧妙例3 已知為平行四邊形內(nèi)的一點(diǎn),與的交點(diǎn)為,的中點(diǎn)分別為與的交點(diǎn)為,證明三點(diǎn)共線圖3-3證明 如圖3-3,在三點(diǎn)形和中,即兩個(gè)三點(diǎn)形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)共點(diǎn)(此點(diǎn)即為無窮遠(yuǎn)點(diǎn))我們根據(jù)笛沙格定理知它們對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的交點(diǎn)為共線此題在初等幾何中應(yīng)用的完美,這是1998年初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽加試題中的第二題,現(xiàn)用笛沙格定理直接便可知,十分簡(jiǎn)單方便 一般情況下，共線問題也可轉(zhuǎn)化為共點(diǎn)問題如例3，證三點(diǎn)共線，也就是證直線通過直線的交點(diǎn)依然如圖3-3選取三點(diǎn)形和,它們對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)(即與的交點(diǎn)在直線上)根據(jù)笛沙格逆定理，此

18、兩個(gè)三點(diǎn)形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)交于一點(diǎn)即三點(diǎn)共線證畢3.3 共點(diǎn)問題例4 證明任意四邊形各對(duì)對(duì)邊中點(diǎn)的連線與二對(duì)角線中點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)證明 任作四邊形,取四邊的中點(diǎn)連接交于點(diǎn),連接其中點(diǎn)分別為連接,再連接三點(diǎn)形和,如圖3-4圖3-4下面證明三點(diǎn)共線選取三點(diǎn)形和,其對(duì)應(yīng)邊,的交點(diǎn)都為無窮遠(yuǎn)點(diǎn),從而都在無窮遠(yuǎn)直線上所以根據(jù)笛沙格逆定理,此兩個(gè)三點(diǎn)形對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)交于一點(diǎn),即三點(diǎn)共線證畢此題中巧妙的選取了三點(diǎn)形和,使得對(duì)應(yīng)邊平行,此題類似與證明三角形的三中線共點(diǎn),有異曲同工之妙例5 設(shè)直線交三角形的三邊分別于如圖3-5,證明：共點(diǎn)證明 選取三點(diǎn)形和,因?yàn)檫@兩個(gè)三點(diǎn)形對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn) 在直線上,根據(jù)笛沙格逆定理,所以此

19、兩個(gè)三點(diǎn)形對(duì)應(yīng)頂點(diǎn),共點(diǎn)證畢圖3-5此題的證明用初等幾何不好解決,但用笛沙格定理便一目了然而且笛沙格定理用起來也非常簡(jiǎn)單方便,找好對(duì)應(yīng)兩個(gè)三點(diǎn)形即可一般情況下，共點(diǎn)問題也可轉(zhuǎn)化為共線問題如例5，證共點(diǎn)，也就是證三點(diǎn)共線選取三點(diǎn)形和,它們對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)共點(diǎn)，根據(jù)笛沙格逆定理，它們對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)共線即共點(diǎn)證畢3.4 動(dòng)態(tài)問題 此處，動(dòng)態(tài)問題就是指在一定直線上有一點(diǎn)是動(dòng)點(diǎn)，也可以是通過一定點(diǎn)任作直線，然后根據(jù)題的其它已知條件，利用笛沙格定理討論其性質(zhì)下面我們來觀察例6、例7例6 設(shè)為共面四相異直線,為上的二定點(diǎn),為上的動(dòng)點(diǎn),又分別交,于求證: 交于定點(diǎn) 證明 在直線上任取兩點(diǎn)然后分別交于,分別交于依題作圖,

20、即證三直線共點(diǎn)從而，將此動(dòng)態(tài)問題轉(zhuǎn)化為三線共點(diǎn)問題如圖3-6選取三點(diǎn)形和,其兩個(gè)三點(diǎn)形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)顯然交于一點(diǎn),由笛沙格定理知,三點(diǎn)形和的對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)共線即三直線共點(diǎn)證畢圖3-6此題看似復(fù)雜,畫完圖后發(fā)現(xiàn)并不難,其中兩動(dòng)態(tài)點(diǎn)并不影響點(diǎn),而且三直線確定唯一的一點(diǎn)例7 設(shè)有兩直線與以及三個(gè)共線點(diǎn)過作直線分別與交于又與交于,證明：點(diǎn)的軌跡是過與交點(diǎn)的一直線證明 過點(diǎn)任作兩直線連接交于點(diǎn),再連接交于點(diǎn),如圖3-7考察三點(diǎn)形和,其對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)交于一點(diǎn),由笛沙格定理知,其對(duì)應(yīng)邊交點(diǎn)三點(diǎn)共線,即點(diǎn)的軌跡是過與交點(diǎn)的一直線顯然點(diǎn)軌跡是唯一的直線證畢圖3-7此外,此題也可選取三點(diǎn)形和,根據(jù)笛沙格逆定理即證我們觀察例6

21、、例7,在初等幾何中,解決此類問題較為復(fù)雜,但笛沙格定理的出現(xiàn)便化繁為簡(jiǎn),通俗易懂3.5 三維拓展之上,介紹的都是在射影平面上的笛沙格定理,即二維射影幾何此外,笛沙格定理在三維射影空間中也成立例8 是四面體,點(diǎn)在上,一直線通過分別交于另一直線通過分別交于如圖3-8求證：與交于證明 下面我們分別采用笛沙格定理和笛沙格逆定理來進(jìn)行證明方法（一） 在三點(diǎn)形和中,對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線交于一點(diǎn),由笛沙格定理可知,此兩個(gè)三點(diǎn)形的對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)共線證畢圖3-8方法（二） 選取三點(diǎn)形和,其對(duì)應(yīng)邊 的交點(diǎn)共線由笛沙格逆定理知,三點(diǎn)形和對(duì)應(yīng)點(diǎn)的交點(diǎn), 共點(diǎn)即證此題還可用三點(diǎn)形和、三點(diǎn)形和用笛沙格定理分別證明由此可見，笛沙格定理在三維射影幾何中仍然可用, 關(guān)鍵是找好對(duì)應(yīng)三點(diǎn)形綜上所訴,在利用笛沙格定理或逆定理證明三線共點(diǎn)或三點(diǎn)共線問題時(shí),關(guān)鍵是準(zhǔn)確地找到兩個(gè)對(duì)應(yīng)三點(diǎn)形,而且要調(diào)整