高三數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

1、 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用知識(shí)體系總覽導(dǎo)數(shù)概念平均變化率瞬時(shí)變化率導(dǎo)數(shù)的幾何意義幾個(gè)初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的極值和最值生活中的優(yōu)化問(wèn)題導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則3.1導(dǎo)數(shù)的概念知識(shí)梳理1.平均速度：物理學(xué)中，運(yùn)動(dòng)物體的位移與所用時(shí)間的比稱(chēng)為平均速度，即一段時(shí)間或一段位移內(nèi)的速度； 若物體的運(yùn)動(dòng)方程為則物體從到這段時(shí)間內(nèi)的平均速度；一般的，函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為。2. 瞬時(shí)速度：是某一時(shí)刻或位置物體的速度，方向與物體運(yùn)動(dòng)方向相同。我們測(cè)量的瞬時(shí)速度是用很短時(shí)間內(nèi)的平均速度來(lái)代替的，是對(duì)物體速度的一種粗略的估算。當(dāng)平均速度中的無(wú)限趨近于0 時(shí)，平均速度的極限稱(chēng)為在時(shí)刻的瞬時(shí)速度，記作

2、v=。求瞬時(shí)速度的步驟為：(1)設(shè)物體的運(yùn)動(dòng)方程為；(2)先求時(shí)間改變量和位置改變量(3)再求平均速度 (4)后求瞬時(shí)速度：瞬時(shí)速度v=.3. 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的一般方法：（1）求函數(shù)的改變量（2）求平均變化率（3）取極限，得導(dǎo)數(shù)4.上點(diǎn)（）處的切線方程為;3.1.1 問(wèn)題探索 求自由落體的瞬時(shí)速度典例剖析題型一 平均速度例1已知自由落體運(yùn)動(dòng)的位移s(m)與時(shí)間t(s)的關(guān)系為s= ，計(jì)算t從3秒到3.1秒 、3.001秒 、 3.0001秒.各段內(nèi)平均速度（）。分析：先求出，再求出，即為各段時(shí)間內(nèi)的平均速度。解：設(shè)指時(shí)間改變量；=指路程改變量。則=；所以t從3秒到3.1秒平均速度 ；t從3秒到3

3、.001秒平均速度 ；t從3秒到3.0001秒平均速度 ；評(píng)析：通過(guò)對(duì)各段時(shí)間內(nèi)的平均速度計(jì)算，可以思考在各段時(shí)間內(nèi)的平均速度的變化情況；可見(jiàn)某段時(shí)間內(nèi)的平均速度隨變化而變化。題型二 瞬時(shí)速度例2.以初速度為做豎直上拋運(yùn)動(dòng)的物體，秒時(shí)的高度為求物體在時(shí)刻t=m處的瞬時(shí)速度。 分析：先求出平均速度, 求瞬時(shí)速度。解：所以物體在時(shí)刻m處的瞬時(shí)速度。評(píng)析：求瞬時(shí)速度，也就轉(zhuǎn)化為求極限，瞬時(shí)速度我們是通過(guò)在一段時(shí)間內(nèi)的平均速度的極限來(lái)定義的，只要知道了物體的運(yùn)動(dòng)方程，代入公式就可以求出瞬時(shí)速度了.備選題例3：設(shè)函數(shù)，求：（1）當(dāng)自變量x由1變到1.1時(shí)，自變量的增量；（2）當(dāng)自變量x由1變到1.1時(shí)，

4、函數(shù)的增量；（3）當(dāng)自變量x由1變到1.1時(shí)，函數(shù)的平均變化率；解：（1）（2）（3）評(píng)析：本題也可以由直接求解。點(diǎn)擊雙基1. 在求平均變化率中，自變量的增量（ ）解：故選D2. 一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程是，則在一段時(shí)間內(nèi)相應(yīng)得平均速度為：（ ）解：平均速度=，故選D3、在曲線y=x2+1的圖象上取一點(diǎn)（1,2）及鄰近一點(diǎn)（1+x,2+y）,則為（ ）A.x+2 B.x2 C.x+2 D.2+x解: =x+2，故選C4.一物體位移s和時(shí)間t的關(guān)系是s=2t-3,則物體的初速度是 解：平均速度=2-3t,當(dāng)t趨向0時(shí)，平均速度趨向2.5. 一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)方程為其中的單位是米，的單位是秒，那么物體在秒末的

5、瞬時(shí)速度是 解：課外作業(yè)：一選擇題1、若質(zhì)點(diǎn)M按規(guī)律運(yùn)動(dòng)，則秒時(shí)的瞬時(shí)速度為（ ）A B C D解：，故選C2、任一做直線運(yùn)動(dòng)的物體，其位移與時(shí)間的關(guān)系是，則物體的初速度是（ ）A 0B 3C 2 D 解：，故選B3、設(shè)函數(shù)，當(dāng)自變量由改變到時(shí)，函數(shù)的改變量為（）ABCD解：=，故選D4、物體的運(yùn)動(dòng)方程是，在某一時(shí)刻的速度為零，則相應(yīng)時(shí)刻為( )A1 B2 C 3 D 4解：，故選B5、一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)方程為其中的單位是米，的單位是秒，那么物體在1秒末的瞬時(shí)速度是（ ）A3米/秒 B2米/秒 C1米/秒 D4米/秒解：，故選C6、在曲線的圖象上取一點(diǎn)（1,）及附近一點(diǎn)，則為（）ABCD解：=，故

6、選C7. 物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是，物體在時(shí)間內(nèi)的平均速度是（ ） 當(dāng)時(shí)，解：由平均變化率知 故選B8.將邊長(zhǎng)為8的正方形的邊長(zhǎng)增加a,則面積的增量S為 （ ）A16a B.64 C.+8 D.16a+a 解： S =S（8+a）-S（8）=（8+a-=16a+a 故選D二填空題：9、已知一物體的運(yùn)動(dòng)方程是，則其在_時(shí)刻的速度為7。解：10. 物體運(yùn)動(dòng)方程y=+3x，則物體在時(shí)間段上的平均速度為解：平均速度=911、當(dāng)球半徑r變化時(shí)，體積V關(guān)于r的瞬時(shí)變化率是解：=4;所以瞬時(shí)變化率是。三解答題：12、環(huán)城自行車(chē)比賽運(yùn)動(dòng)員的位移與比賽時(shí)間滿(mǎn)足（求。解 13. 設(shè)一物體在秒內(nèi)所經(jīng)過(guò)的路程為米，并且，試求物體在運(yùn)動(dòng)第5秒末的速度。解：14、求函數(shù)y=-+4x+6在x=2時(shí)的瞬時(shí)變化率解：平均變化率=-2x+4-當(dāng)x趨于0時(shí), 瞬時(shí)變化率為-2x+4, x