高三理數(shù)一輪復(fù)習(xí)：第一章集合與常用邏輯用語

1、第一章集合與常用邏輯用語高考導(dǎo)航考試要求重難點(diǎn)擊命題展望1.集合的含義與表示(1)了解集合的含義、元素與集合的屬于關(guān)系；(2)能用自然語言、圖形語言、集合語言(列舉法或描述法)描述不同的具體問題.2.集合間的基本關(guān)系(1)理解集合之間包含與相等的含義，能識(shí)別給定集合的子集；(2)在具體情境中，了解全集與空集的含義.3.集合的基本運(yùn)算(1)理解兩個(gè)集合的并集與交集的含義，會(huì)求兩個(gè)簡單集合的并集與交集；(2)理解在給定集合中一個(gè)子集的補(bǔ)集的含義，會(huì)求給定子集的補(bǔ)集；(3)能使用韋恩(Venn)圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算.4.命題及其關(guān)系(1)理解命題的概念；(2)了解“若p，則q”形式的命題及其逆命題

2、，否命題與逆否命題，會(huì)分析四種命題的相互關(guān)系；(3)理解必要條件，充分條件與充要條件的意義.5.簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞 了解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的含義.6.全稱量詞與存在量詞(1)理解全稱量詞與存在量詞的意義；(2)能正確地對(duì)含有一個(gè)量詞的命題進(jìn)行否定.本章重點(diǎn)：1.集合的含義與表示、集合間的基本關(guān)系與基本運(yùn)算；2.命題的必要條件、充分條件與充要條件，對(duì)所給命題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.本章難點(diǎn)：1.自然語言、圖形語言、集合語言之間相互轉(zhuǎn)換；2.充分條件、必要條件的判斷；3.對(duì)含有一個(gè)量詞的命題進(jìn)行否定的理解.1.考查集合本身的基礎(chǔ)知識(shí)，如集合的概念，集合間的關(guān)系判斷和運(yùn)算等；2.將集合知識(shí)與其他知

3、識(shí)點(diǎn)綜合，考查集合語言與集合思想的運(yùn)用；3.考查命題的必要條件、充分條件與充要條件，要求考生會(huì)對(duì)所給命題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化；4.要求考生理解全稱量詞與存在量詞的意義，能正確地對(duì)含有一個(gè)量詞的命題進(jìn)行否定.知識(shí)網(wǎng)絡(luò)1.1集合及其運(yùn)算 典例精析題型一集合中元素的性質(zhì)【例1】設(shè)集合Aa1，a3，2a1，a21，若3A，求實(shí)數(shù)a的值.【解析】令a13a4，檢驗(yàn)合格；令a33a0，此時(shí)a1a21，舍去；令2a13a1，檢驗(yàn)合格；而a213；故所求a的值為1或4.【點(diǎn)撥】此題重在考查元素的確定性和互異性.首先確定3是集合A的元素，但A中四個(gè)元素全是未知的，所以需要討論；而當(dāng)每一種情況求出a的值以后，又需要由元素

4、的互異性檢驗(yàn)a是否符合要求. 【變式訓(xùn)練1】若a、bR，集合1，ab，a0，b，求a和b的值.【解析】由1，ab，a0，b，得 或顯然無解；由得a1，b1.題型二集合的基本運(yùn)算【例2】已知Ax|x28x150，Bx|ax10，若BA，求實(shí)數(shù)a.【解析】由已知得A3，5.當(dāng)a0時(shí)，BA；當(dāng)a0時(shí)，B.要使BA，則3或5，即a或.綜上，a0或或.【點(diǎn)撥】對(duì)方程ax1，兩邊除以x的系數(shù)a，能不能除，導(dǎo)致B是否為空集，是本題分類討論的根源.【變式訓(xùn)練2】(2010江西)若集合Ax|x|1，xR，By|yx2，xR，則AB等于()A.x|1x1 B.x|x0C.x|0x1 D.【解析】選C.A1,1，B

5、0,)，所以AB0,1.題型三集合語言的運(yùn)用【例3】已知集合A2，log2t，集合Bx|x214x240，x，tR，且AB.(1)對(duì)于區(qū)間a，b，定義此區(qū)間的“長度”為ba，若A的區(qū)間“長度”為3，試求t的值；(2)某個(gè)函數(shù)f(x)的值域是B，且f(x)A的概率不小于0.6，試確定t的取值范圍.【解析】(1)因?yàn)锳的區(qū)間“長度”為3，所以log2t23，即log2t5，所以t32.(2)由x214x240，得2x12，所以B2,12，所以B的區(qū)間“長度”為10.設(shè)A的區(qū)間“長度”為y，因?yàn)閒(x)A的概率不小于0.6，所以0.6，所以y6，即log2t26，解得t28256.又AB，所以log

6、2t12，即t2124 096，所以t的取值范圍為256,4 096(或28, 212).【變式訓(xùn)練3】設(shè)全集U是實(shí)數(shù)集R，Mx|x24，Nx|1，則圖中陰影部分所表示的集合是()A.x|2x1B.x|2x2C.x|1x2D.x|x2【解析】選C.化簡得Mx2或x2，Nx|1x3，故圖中陰影部分為RMNx|1x2.總結(jié)提高1.元素與集合及集合與集合之間的關(guān)系對(duì)于符號(hào)，和，的使用，實(shí)質(zhì)上就是準(zhǔn)確把握兩者之間是元素與集合，還是集合與集合的關(guān)系.2.“數(shù)形結(jié)合”思想在集合運(yùn)算中的運(yùn)用 認(rèn)清集合的本質(zhì)特征，準(zhǔn)確地轉(zhuǎn)化為圖形關(guān)系，是解決集合運(yùn)算中的重要數(shù)學(xué)思想. (1)要牢固掌握兩個(gè)重要工具：韋恩圖和數(shù)

7、軸，連續(xù)取值的數(shù)集運(yùn)算，一般借助數(shù)軸處理，而列舉法表示的有限集合則側(cè)重于用韋恩圖處理.(2)學(xué)會(huì)將集合語言轉(zhuǎn)化為代數(shù)、幾何語言，借助函數(shù)圖象及方程的曲線將問題形象化、直觀化，以便于問題的解決.3.處理集合之間的關(guān)系時(shí)，是一個(gè)不可忽視、但又容易遺漏的內(nèi)容，如AB，ABA，ABB等條件中，集合A可以是空集，也可以是非空集合，通常必須分類討論.1.2 命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件典例精析題型一四種命題的寫法及真假判斷【例1】寫出下列命題的逆命題、否命題和逆否命題，并判斷其真假.(1)若m，n都是奇數(shù)，則mn是奇數(shù)；(2)若xy5，則x3且y2.【解析】(1)逆命題：若mn是奇數(shù)，則m，n都是奇數(shù)

8、，假命題； 否命題：若m，n不都是奇數(shù)，則mn不是奇數(shù)，假命題；逆否命題：若mn不是奇數(shù)，則m，n不都是奇數(shù)，假命題. (2)逆命題：若x3且y2，則xy5，真命題；否命題：若xy5，則x3或y2，真命題；逆否命題：若x3或y2，則xy5，假命題.【點(diǎn)撥】寫命題的四種形式，關(guān)鍵是找出命題的條件與結(jié)論，根據(jù)四種命題結(jié)構(gòu)寫出所求命題.判斷四種命題真假，要熟悉四種命題的相互關(guān)系，注意它們之間的相互性.【變式訓(xùn)練1】已知命題“若p，則q”為真，則下列命題中一定為真的是()A.若p，則q B.若q，則pC.若q，則p D.若q，則p【解析】選 B. 題型二充分必要條件探究【例2】設(shè)m0，且為常數(shù)，已知條

9、件p：|x2|m，條件q：|x24|1，若p是q的必要非充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解析】設(shè)集合Ax|x2|mx|2mx2m，Bx|x24|1x|x或x.由題設(shè)有：qp且p不能推出q，所以pq且q不能推出p，所以AB.因?yàn)閙0，所以(2m，2m)(，)，故由2m且2m0m2，故實(shí)數(shù)m的取值范圍為(0，2.【點(diǎn)撥】正確化簡條件p和q，然后將充分條件、必要條件問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為集合與集合之間的包含問題，借助數(shù)軸這個(gè)處理集合問題的有力工具使問題得以解決.【變式訓(xùn)練2】已知集合Ax|a2xa2，Bx|x2或x4，則AB的充要條件是()A.0a2 B.2a2C.0a2D.0a2【解析】選A.因?yàn)锳x|a

10、2xa2，Bx|x2或x4，且AB，所以如圖，由畫出的數(shù)軸可知，即0a2.題型三充分必要條件的證明【例3】設(shè)數(shù)列an的各項(xiàng)都不為零，求證：對(duì)任意nN*且n2，都有成立的充要條件是an為等差數(shù)列.【證明】(1)(充分性)若an為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，則()()()().(2)(必要性)若，則，兩式相減得 a1nan(n1)an1.于是有a1(n1)an1nan2，由得nan2nan1nan20，所以an1anan2an1(n2).又由a3a2a2a1，所以nN*,2an1an2an，故an為等差數(shù)列.【點(diǎn)撥】按照充分必要條件的概念，分別從充分性和必要性兩方面進(jìn)行探求.【變式訓(xùn)練3】設(shè)0x，則“

11、xsin2x1”是“xsin x1”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【解析】選B.若xsin x1，因?yàn)閤(0，)，所以xsin xxsin2x，由此可得xsin2x1，即必要性成立.若xsin2x1，由于函數(shù)f(x)xsin2x在(0，)上單調(diào)遞增，且sin21，所以存在x0(0，)使得x0sin2x01.又x0sin x0x0sin2x01，即x0sin x01，所以存在x0(0，x0)使得x0sin2x01，且x0sin x01，故充分性不成立.總結(jié)提高1.四種命題的定義和區(qū)別，主要在于命題的結(jié)論和條件的變化上.2.由于互為逆否命題的兩

12、個(gè)命題是等價(jià)的，所以我們?cè)谧C明一個(gè)命題的真假時(shí)，可以通過其逆否命題的證明來達(dá)到目的.適合這種處理方法的題型有：原命題含有否定詞“不”、“不能”、“不是”等；原命題含有“所有的”、“任意的”、“至少 ”、“至多”等；原命題分類復(fù)雜，而逆否命題分類簡單；原命題化簡復(fù)雜，而逆否命題化簡簡單.3.p是q的充分條件，即pq，相當(dāng)于分別滿足條件p和q的兩個(gè)集合P與Q之間有包含關(guān)系：PQ，即PQ或PQ，必要條件正好相反.而充要條件pq就相當(dāng)于PQ.4.以下四種說法表達(dá)的意義是相同的：命題“若p，則q”為真；pq；p是q的充分條件；q是p的必要條件.1.3簡易邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞典例精析題型一全稱命

13、題和特稱命題的真假判斷【例1】判斷下列命題的真假.(1)xR，都有x2x1；(2)，使cos()cos cos ；(3)x，yN，都有xyN；(4)x0，y0Z，使得x0y03.【解析】(1)真命題，因?yàn)閤2x1(x)2.(2)真命題，例如，符合題意.(3)假命題，例如x1，y5，但xy4N.(4)真命題，例如x00，y03，符合題意.【點(diǎn)撥】全稱命題是真命題，必須確定對(duì)集合中的每一個(gè)元素都成立，若是假命題，舉反例即可；特稱命題是真命題，只要在限定集合中，至少找到一個(gè)元素使得命題成立.【變式訓(xùn)練1】已知命題p：xR，使tan x1，命題q：xR，x20.則下面結(jié)論正確的是()A.命題“pq”是

14、真命題B.命題“pq”是假命題C.命題“pq”是真命題D.命題“pq”是假命題【解析】選D.先判斷命題p和q的真假，再逐個(gè)判斷.容易知命題p是真命題，如x，p是假命題；因?yàn)楫?dāng)x0時(shí)，x20，所以命題q是假命題，q是真命題.所以“pq”是假命題，A錯(cuò)誤；“pq”是真命題，B錯(cuò)誤；“pq”是假命題，C錯(cuò)誤；“pq”是假命題，D正確.題型二含有一個(gè)量詞的命題的否定【例2】寫出下列命題的否定，并判斷其真假.(1)p：xR，x2x0；(2)q：所有的正方形都是矩形；(3)r：xR，x22x20；(4)s：至少有一個(gè)實(shí)數(shù)x，使x310.【解析】(1) p：xR，x2x0，是假命題.(2) q：至少存在一個(gè)

15、正方形不是矩形，是假命題.(3) r：xR，x22x20，是真命題. (4) s：xR，x310，是假命題.【點(diǎn)撥】含有一個(gè)量詞的命題否定中，全稱命題的否定是特稱命題，而特稱命題的否定是全稱命題，一般命題的否定則是直接否定結(jié)論即可.【變式訓(xùn)練2】已知命題p：x(1，)，log3x0，則p為.【解析】x0(1，)，log3x00.題型三命題的真假運(yùn)用【例3】若r(x)：sin xcos xm，s(x)：x2mx10，如果“對(duì)任意的xR，r(x)為假命題”且“對(duì)任意的xR，s(x)為真命題”，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解析】因?yàn)橛蒻sin xcos xsin(x)恒成立，得m；而由x2mx10恒成立，得m240，即2m2. 依題意，r(x)為假命題且s(x)為真命題，所以有m且2m2， 故所求m的取值范圍為m2.【點(diǎn)撥】先將滿足命題p、q的m的取值集合A、B分別求出，然后由r(x)為假命題(取A的補(bǔ)集)，s(x)為真命題同時(shí)成立(取交集)即得.【變式訓(xùn)練3】設(shè)M是由滿足下列性質(zhì)的函數(shù)f(x)構(gòu)成的集合：在定義域內(nèi)存在x0，使得f(x01)f(x0)f(1)成立.已知下列函數(shù)：f(x)；f(x)2x；f(x)lg(x22)；f(x)cos x，其中屬于集合M的函數(shù)是(寫出所有滿足要求的函數(shù)的序號(hào)).【解析】.對(duì)于，方程1，顯然無實(shí)數(shù)解；對(duì)于，由方程2x12x2，解得x1；對(duì)于，方程lg(