線(xiàn)性代數(shù)與空間解析幾何及其應(yīng)用課后習(xí)題

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上1.1 1. 圖1-1表示了省的個(gè)城市與省的個(gè)城市的交通連接圖，稱(chēng)為一個(gè)交通網(wǎng)絡(luò).每條線(xiàn)上的數(shù)字表示此通路上不同的運(yùn)路(公路，鐵路，水路，空路)數(shù)目.若以表示從到的運(yùn)路數(shù)，試寫(xiě)出矩陣.圖1-1 解：. 2. 當(dāng)時(shí)，各取何值？ 解 由可得，. 3. 寫(xiě)出即是上三角形矩陣又是下三角行矩陣的階矩陣的一般形式. 解 4. 下列矩陣哪些是行階梯形矩陣，哪些不是？（1）;（2） ;（3）;（4）. 解是，不是. 5. 下列矩陣哪些是行簡(jiǎn)化的階梯形矩陣，哪些不是？ 解不是，是. 6. 寫(xiě)出線(xiàn)性方程組的系數(shù)矩陣和增廣矩陣，增廣矩陣的行和列是多少？它是不是行階梯形矩陣？是不是行簡(jiǎn)化階梯

2、形矩陣？ 解系數(shù)矩陣，增廣矩陣 .增廣矩陣行，列，它是行階梯形矩陣，也是行簡(jiǎn)化的階梯形矩陣習(xí)題1.2 1. 已知, , .求：;. 解 ;. 2. 已知兩個(gè)線(xiàn)性變換及，把它們分別表示為矩陣形式，并求從到的線(xiàn)性變換. 解 ,即 3. 已知矩陣，.求：；. 解 ；無(wú)意義；. 4. 設(shè)，且矩陣滿(mǎn)足方程，求. 解 . 5. 設(shè)，求,(為正整數(shù)). 解 ,. 6. 某機(jī)械公司生產(chǎn)甲、乙、丙三種型號(hào)的機(jī)械，年和年的年產(chǎn)量如表1-1 表1-1 表2-2 價(jià)格型號(hào)單位成本價(jià)銷(xiāo)售價(jià)甲67乙78丙89 型號(hào)產(chǎn)量甲乙丙 2000年705060 2001年806070這三種機(jī)械的本價(jià)與銷(xiāo)售價(jià)如表2-2所示，求兩年的總

3、成本和總銷(xiāo)售額. 解 設(shè),則. 即年的總成本是，銷(xiāo)售總額是；年的總成本是，銷(xiāo)售總額是. 7. 已知，設(shè)，求. 解 ，而，所以. 8. ，求. 解 原式=，,，原式= 9. 設(shè)為階對(duì)稱(chēng)矩陣，為矩陣，證明：為階對(duì)稱(chēng)矩陣. 證 ，即為對(duì)稱(chēng)矩陣. 10. 設(shè)為階對(duì)稱(chēng)矩陣，為階反對(duì)稱(chēng)矩陣，證明為反對(duì)稱(chēng)矩陣的充分必要條件是. 證 充分性又，所以，即為反對(duì)稱(chēng)矩陣.必要性 由，又，所以.習(xí)題1.3 1. 用分塊矩陣計(jì)算下列矩陣乘積： (1) ;(2) . 解 (1) 設(shè)，則，而， .則.同理，故原式. (2) . 2. 設(shè)求. 解 設(shè)，則，由數(shù)學(xué)歸納法可得,同理可得.于是，有. 3. 設(shè)為實(shí)矩陣，若則. 證

4、將按列分塊：，則，于是， 由得,又因?yàn)閷?shí)矩陣，故，故. 4. 設(shè)，其中當(dāng)時(shí).證明：與可交換的矩陣只能是對(duì)角矩陣. 證 設(shè)與可交換，即， 即，由于互異，比較非對(duì)角元素得 即，于是,故與可交換的矩陣為對(duì)角陣. 5. 當(dāng)太空衛(wèi)星發(fā)射之后，為使衛(wèi)星在精確計(jì)算過(guò)的軌道上運(yùn)行，需要校正它的位置.雷達(dá)屏幕給出一組矩陣，它們給出衛(wèi)星在不同時(shí)間里的位置與計(jì)劃軌道的比較.設(shè),矩陣需要在雷達(dá)分析數(shù)據(jù)時(shí)計(jì)算出來(lái)，當(dāng)?shù)竭_(dá)時(shí)，新的必須計(jì)算出來(lái).因數(shù)據(jù)矩陣高速達(dá)到，所以計(jì)算負(fù)擔(dān)很重，而分塊矩陣的計(jì)算在其中起了很大的作用.試寫(xiě)出從計(jì)算的矩陣形式. 解 由于,所以,又,因此.習(xí)題1.4 1. 設(shè)是三階方陣，將的第1列與第2列變

5、換得到，再把的第2列加到第3列得到，以滿(mǎn)足的可逆矩陣為( ). . 分析 是對(duì)實(shí)行兩次初等列變換得到的，因此可由與初等矩陣的乘積表示. 解 ，即為， ，即為，所以.因此應(yīng)選. 2. 把下列矩陣化為行最簡(jiǎn)形矩陣： . 解 . 3. 設(shè)，問(wèn)是經(jīng)過(guò)哪種類(lèi)型的初等變換得到的？并寫(xiě)出相應(yīng)的初等矩陣. 解 . 4. 設(shè). 求; ; . 解 ; ; . 5. 把矩陣表示成初等矩陣的乘積. 解 即習(xí)題1.5 1. 設(shè)航線(xiàn)圖如圖1-3所示， (1) 寫(xiě)出鄰接矩陣； (2) 求出頂點(diǎn)到長(zhǎng)為3條航線(xiàn)的條數(shù)； (3) 是否存在從頂點(diǎn)到的長(zhǎng)為3的航路？ 圖1-3 解 （1）； （2）2條：；. （3）不存在 . 2.

6、設(shè)表示6個(gè)人的集合.用表示他們彼此之間的相貌相像的程度,如表1-3，表中行和列交叉處的數(shù)字表示第個(gè)人與第個(gè)人的相貌的相像程度，則是上的關(guān)系，其隸屬函數(shù)就是行與列交叉處的數(shù)字，又=1表示任何個(gè)人自身與自身完全相象，表示第個(gè)人與第個(gè)人的相貌的相像程度與和的相像程度相同，寫(xiě)出這個(gè)矩陣，并求出它的合成. 表1-310.820.650.120.250.200.8210.820.200.850.350.650.82100.900.120.120.20010.120.850.250.850.900.1210.250.200.350.120.850.251 解 ， .復(fù)習(xí)題一 1. 若，則_. 解 由，得;又

7、由，得. 答案. 2. 設(shè)為行的列矩陣，若，則_. 解 設(shè),則，故.因而. 答案為. 3. 設(shè),，則必有_. ; ;. 解 解法一 選.首先，用初等矩陣右乘表示作行變換，故可排除,.表示將的第行加于第行，表示再將,兩行變換. 解法二 此題考察矩陣的初等變換和初等矩陣，比較矩陣和，可發(fā)現(xiàn)把矩陣的第一行加到第三行，再把第二行與第一行互換，則可得到矩陣,而對(duì)矩陣做初等行變換，就相當(dāng)于對(duì)矩陣左乘相應(yīng)的初等矩陣，故上述過(guò)程恰相當(dāng)于先對(duì)左乘，再左乘，即，應(yīng)選. 4. 設(shè)，求 (1) ； (2) 令求，求. 解 (1) ，. (2) . 5. 設(shè)，證明：當(dāng)且僅當(dāng). 證 先證必要性 設(shè)，因?yàn)椋?，所? 再證

8、充分性 設(shè)，則有. 6. 任意一個(gè)矩陣都可以表示成一個(gè)對(duì)稱(chēng)矩陣與一個(gè)反對(duì)稱(chēng)矩陣之和. 證 任一矩陣都可以表示為：，因?yàn)椋礊閷?duì)稱(chēng)矩陣，又，即為反對(duì)稱(chēng)矩陣. 7. 證明：如果是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣且，那么. 證 設(shè),因?yàn)?所以 , 又因?yàn)?，所?由于均為實(shí)數(shù)，故有.即. 8. 設(shè)均為階對(duì)稱(chēng)矩陣，證明是對(duì)稱(chēng)矩陣的充要條件是與可變換. 證 由于是對(duì)稱(chēng)的，故，如果，則可得，即乘積是對(duì)稱(chēng)的. 反之，若是對(duì)稱(chēng)的，即,則，即與是可變換的. 9. 設(shè)是任一方陣，證明均為對(duì)稱(chēng)矩陣. 證 . 10. 設(shè)，求. 解 ,所以 ,同理. 11. 設(shè)，試計(jì)算，其中為正整數(shù). 解 為簡(jiǎn)化高階冪的計(jì)算，首先將其分解為一個(gè)列向量與一個(gè)行向量的乘積，為此令，則，且為