2012上海市高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽新知杯試卷及答案

1、2012上海市高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽（新知杯）試卷【說(shuō)明】解答本試卷不得使用計(jì)算器一、填空題（本題滿分60分，前4題每小題7分，后4小題每小題8分）1如圖，正六邊形的邊長(zhǎng)為1，它的6條對(duì)角線又圍成一個(gè)正六邊形，如此繼續(xù)下去，則所有這些六邊形的面積和是 2已知正整數(shù)滿足：，則的最小可能值是 3若，則 4已知關(guān)于的方程僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 5如圖，是邊長(zhǎng)為的正方形的內(nèi)接三角形，已知，則 6方程的非負(fù)整數(shù)解 7一個(gè)口袋里有5個(gè)大小一樣的小球，其中兩個(gè)是紅色的，兩個(gè)是白色的，一個(gè)是黑色的，依次從中摸出5個(gè)小球，相鄰兩個(gè)小球的顏色均不相同的概率是 （用數(shù)字作答）8數(shù)列定義如下：.若，則正整數(shù)的最小值

2、為 二、解答題9（本題滿分14分）如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD的夾角，記直線AB與CD的距離為求的表達(dá)式，并寫(xiě)出x的取值范圍10（本題滿分14分）給定實(shí)數(shù)，求函數(shù)的最小值11（本題滿分16分）正實(shí)數(shù)滿足；求證：（1）；（2）12（本題滿分16分）給定整數(shù)，記為集合的滿足如下兩個(gè)條件的子集A的元素個(gè)數(shù)的最小值：；A中的元素（除1外）均為A中的另兩個(gè)（可以相同）元素的和（1）求的值；（2）求證：2012上海市高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽（新知杯）參考答案1、 2、92 3、11 4、5、 6、 7、 8、40259解 由平行四邊形對(duì)角線平方和等于四條邊的平方和得 （2分）在OBC中，由余弦定理，

3、所以 ， 由，得 （5分）所以：，故：， 所以 ： （10分）由可得，故因?yàn)?，結(jié)合，可得：，解得（結(jié)合） 綜上所述， （14分）10解 當(dāng)時(shí)，此時(shí)：，且當(dāng)時(shí)不等式等號(hào)成立，故 （6分）當(dāng)時(shí)，此時(shí)“耐克”函數(shù)在內(nèi)是遞減，故此時(shí) 綜上所述， （14分）11證 （1）記，由平均不等式： （4分）于是 ，所以 ，而，所以，即，從而 （10分） （2）又因?yàn)椋海?，故 （16分）12解 （1）設(shè)集合，且A滿足（a），（b）則由于不滿足（b），故又 都不滿足 （b），故而集合滿足（a），（b），所以 （6分） （2）首先證明： 事實(shí)上，若，滿足（a），（b），且A的元素個(gè)數(shù)為令，由于，故又，所以，集合，且B滿足（a），（b）從而： （10分）其次證明： 事實(shí)上，設(shè)滿足（a），（b），且A的元素個(gè)數(shù)為令，由