空間向量運算的坐標表示 (3)

1、空間向量運算的坐標表示空間向量運算的坐標表示 1.1.空間向量基本定理是什么？空間向量基本定理是什么？ 若三個向量若三個向量a a，b b，c c不共面，則不共面，則對空間任一向量對空間任一向量p p，存在有序實數(shù)，存在有序實數(shù)組組 x，y，z ，使得，使得p pxa ayb bzc c. .提出問題提出問題2.2.在空間直角坐標系中，確定向量在空間直角坐標系中，確定向量p p的坐標的基本原理是什么？的坐標的基本原理是什么？若若p px xe e1 1y ye e2 2z ze e3 3，則，則p p(x(x，y y，z).z).提出問題提出問題3.3.空間向量可以用坐標表示，從而空空間向量可

2、以用坐標表示，從而空間向量的運算和向量的關系也可以用間向量的運算和向量的關系也可以用坐標表示，其相關結論，我們將逐一坐標表示，其相關結論，我們將逐一探究探究. .提出問題提出問題1 1、向量、向量a ab b用基底用基底 i i，j j，k k 如何如何表示？表示？a ab b的坐標是什么？的坐標是什么？ 設設 i i，j j，k k 為單位正交基底，向量為單位正交基底，向量 a a(x(x1 1，y y1 1，z z1 1) )，b b(x(x2 2，y y2 2，z z2 2). ). ab(x(x1 1x x2 2，y y1 1y y2 2，z z1 1z z2 2) ) 探求新知探求新

3、知設設 i i，j j，k k 為單位正交基底，向量為單位正交基底，向量 a a(x(x1 1，y y1 1，z z1 1) )，b b(x(x2 2，y y2 2，z z2 2). ). 2 2、根據(jù)上述原理，向量、根據(jù)上述原理，向量a ab b的坐標的坐標是什么？是什么？ ab(x(x1 1x x2 2，y y1 1y y2 2，z z1 1z z2 2) ) 探求新知探求新知3 3、設、設為實數(shù)，向量為實數(shù)，向量a a用基底用基底 i i，j j，k k 如何表示？如何表示？a a的坐標的坐標是什么？是什么？ a(x(x1 1，yy1 1，zz1 1) ) 探求新知探求新知4 4、利用、

4、利用a ax x1 1i iy y1 1j jz z1 1k k， b bx x2 2i iy y2 2j jz z2 2k k， a ab b等于什么？等于什么？ abx x1 1x x2 2y y1 1y y2 2z z1 1z z2 2 探求新知探求新知設向量設向量 a a(x(x1 1，y y1 1，z z1 1) )， b b(x(x2 2，y y2 2，z z2 2). ). 1 1、若、若a a/b b，則向量，則向量a a，b b的坐標滿足的坐標滿足什么關系？什么關系？x x1 1xx2 2，y y1 1yy2 2，z z1 1zz2 2(R) (R) 探求新知探求新知設向量設

5、向量 a a(x(x1 1，y y1 1，z z1 1) )， b b(x(x2 2，y y2 2，z z2 2). ). 2 2、若、若a ab b，則向量，則向量a a，b b的坐標滿足的坐標滿足什么關系？什么關系？ x x1 1x x2 2y y1 1y y2 2z z1 1z z2 2 0 0探求新知探求新知3 3、利用向量、利用向量a a的坐標如何求的坐標如何求| |a a| |？ | |a| |222111xyz+設向量設向量 a a(x(x1 1，y y1 1，z z1 1) )， b b(x(x2 2，y y2 2，z z2 2). ). 探求新知探求新知4 4、利用向量、利用

6、向量a a，b b的坐標如何求它的坐標如何求它們的夾角？們的夾角？121 21 2222222111222cos,x xy yzza bxyzxyz+=+rr設向量設向量 a a(x(x1 1，y y1 1，z z1 1) )， b b(x(x2 2，y y2 2，z z2 2). ). 探求新知探求新知5 5、若點、若點A(xA(x1 1，y y1 1，z z1 1) )，點，點B(xB(x2 2，y y2 2，z z2 2) )，則向量則向量 的坐標是什么？的坐標是什么？A A、B B兩點間的兩點間的距離如何計算？距離如何計算？ A Buuu r(x(x2 2x x1 1，y y2 2y

7、y1 1，z z2 2z z1 1) )， A Buuu r222212121()()()A Bdxxyyzz=-+-+-探求新知探求新知6 6、已知點、已知點A(xA(x1 1，y y1 1，z z1 1) )，點，點B(xB(x2 2，y y2 2，z z2 2) )， 若若 ，則點，則點P P的坐標是什么？的坐標是什么？A PPBl=uuu ruuu r121212(,)111xxyyzzPllllll+探求新知探求新知 例例1 1 如圖，在正方體如圖，在正方體ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，點點E E、F F分別是分別是A A1 1B B1 1，

8、C C1 1D D1 1的一個四等分點，的一個四等分點，求異面直線求異面直線BEBE與與DFDF所成角的余弦值所成角的余弦值. .x xy yz zE EA AB BC CA A1 1F FB B1 1C C1 1D D1 1D D15cos,17B E D F=uuu r uuu r典例講評典例講評例例2 2 如圖，在正方體如圖，在正方體ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，點點E E、F F分別是分別是BBBB1 1，B B1 1D D1 1的中點，的中點， 求證：求證：EFAEFA1 1D.D.x xy yz zE EA AB BC CA A1 1F F

9、B B1 1C C1 1D D1 1D D典例講評典例講評例例3 3 如圖，在長方體如圖，在長方體ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，|AD|=2,|AB|=3,|AA|AD|=2,|AB|=3,|AA1 1|=2, |=2, 若若D D1 1O O ACAC于于點點O ，求，求D1到到O的距離的距離. .x xy yz zO OA AB BC CA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1D D典例講評典例講評18 12(,0)13 13O1228613D O 1.1.空間向量的坐標運算是在空間向空間向量的坐標運算是在空間向量基本定理和空間向量的坐標表

10、示的量基本定理和空間向量的坐標表示的基礎上建立起來的理論，它與平面向基礎上建立起來的理論，它與平面向量的坐標運算的算法原理是一致的，量的坐標運算的算法原理是一致的，其不同點體現(xiàn)在空間向量是三維坐標其不同點體現(xiàn)在空間向量是三維坐標運算，平面向量是二維坐標運算運算，平面向量是二維坐標運算. . 課堂小結課堂小結 2.2.求空間向量的坐標有幾何法、求空間向量的坐標有幾何法、差向量法、待定系數(shù)法等，若向量的差向量法、待定系數(shù)法等，若向量的起點在原點，一般用幾何法；若向量起點在原點，一般用幾何法；若向量的起點和終點是一些特殊點，一般用的起點和終點是一些特殊點，一般用差向量法，即終點坐標減起點坐標；差向量法，即終點坐標減起點坐標；若向量的具體位置不確定，一般用待若向量的具體位置不確定，一般用待定系數(shù)法定系數(shù)法. .課堂小結課堂小