巧用點(diǎn)在圓錐曲線的[內(nèi)部]解題

1、巧用點(diǎn)在圓錐曲線的內(nèi)部解題電子郵箱zyl2518006,手機(jī)號(hào)電話07342518006；QQ：406426941湖南祁東育賢中學(xué) 周友良 421600湖南祁東一中 曾令軍 421600類比點(diǎn)在圓內(nèi)、圓上、圓外我們得到：在直角坐標(biāo)平面上，含有焦點(diǎn)的區(qū)域?yàn)閳A錐曲線的內(nèi)部，那么容易得到：點(diǎn)P（x0、y0）在橢圓內(nèi)部的充要條件是；在雙曲線內(nèi)部的充要條件是；在拋物線y2=2px內(nèi)部的充要條件是y02<2px0（注：若將以上條件中的“ < ”（或“>”）改為“>”（或“<”），則條件變?yōu)辄c(diǎn)P 在圓錐曲線外部的充要條件），巧妙地應(yīng)用上述結(jié)論，能使許多

2、數(shù)學(xué)問題的解決簡(jiǎn)捷明快，新穎別致。一 、求一類參數(shù)的取值范圍例1 若橢圓與連結(jié)A（1，2）、B（3，4）的線段沒有公共點(diǎn) ，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：因?yàn)榫€段AB在第一象限且斜率大于零，由圖象知：當(dāng)橢圓與線段AB沒有公共點(diǎn)時(shí)，端點(diǎn)A、B同時(shí)在橢圓內(nèi)部或同時(shí)在橢圓外部，又由A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)的特征知，當(dāng)A、B兩點(diǎn)同時(shí)在橢圓內(nèi)部時(shí)，只需 ；當(dāng)A、B兩點(diǎn)同時(shí)在橢圓外部時(shí)，只需即可，從而有或 ，結(jié)合>0，得實(shí)數(shù)的取值范圍是或。例2 已知2x2+y24x0，試求滿足y2mx (m>0 )的實(shí)數(shù)m的最小值。解：將2x2+y24x0, 化為（x1）2+ ，它表示中心為（1，0）的橢圓內(nèi)部（包括邊界），其

3、中0x2顯然y2mx (m>0 )表示頂點(diǎn)在原點(diǎn)、開口向右的含焦點(diǎn)的區(qū)域（包括邊界），如右圖所示。要使橢圓內(nèi)的任一點(diǎn)一定在拋物線的含焦點(diǎn)的區(qū)域內(nèi)，必須且只須它們以原點(diǎn)為惟一的公共點(diǎn)，由方程組，消去 y2 得x2+(2) =0.結(jié)合圖象知，當(dāng)=0時(shí)，m 取得最小值。故易求得m 的最小值為4。二、解決一類對(duì)稱問題例3 直線過拋物線 y2= 2px（p0）的焦點(diǎn)，斜率存在且不為0，試問：在拋物線上是否存在關(guān)于直線對(duì)稱的兩點(diǎn)？說明理由。解：設(shè)直線的斜率為k（k0），則其方程為y=k(x)，假設(shè)拋物線上存在兩點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2）（x2y2）關(guān)于對(duì)稱 ，M（x0，y0）是線段AB的中

4、點(diǎn)，則（y1+y2）(y1y2)=2p(x1x2) 將 y1+y2=2 y0 ，y0=k (x0)代入上式，得M（ ，pk）.由題意，點(diǎn)M在拋物線內(nèi)部，即（pk）2<2p( )p2(1+k2)<0，這顯然是不可能的，因此原假設(shè)不成立，即在拋物線上不存在關(guān)于直線對(duì)稱的兩點(diǎn)。例4、（曲線上關(guān)于某直線對(duì)稱點(diǎn)存在的條件）若拋物線y=x2上存在兩點(diǎn)P,Q關(guān)于直線y=m(x-3)對(duì)稱，求m的數(shù)值范圍。解：設(shè)P(x1,x12)Q(x2,x22)這兩點(diǎn)斜率PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)又由由于中點(diǎn)總在拋物線之內(nèi)部（橫坐標(biāo)為的拋物線上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)）例5 已知橢圓C的方程，試確定m的取值范圍，使得對(duì)于直線，橢圓C上有不同兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱。 分析：橢圓上兩點(diǎn)，代入方程，相減得。 又，代入得。 又由解得交點(diǎn)。 交點(diǎn)在橢圓內(nèi)，則有 。 得。例6。為了使拋物線上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，求m的取值范圍。 略解：兩點(diǎn)所在直線與聯(lián)立求出交點(diǎn)，代入拋物線內(nèi)，有，解得。三、處理一類不等式問題例7 設(shè)，求證：.證明：原不等式