三角形內(nèi)交和定理教學(xué)設(shè)計

1、§11.4三角形內(nèi)角和定理的教學(xué)設(shè)計 梁銘慧一、 教材與學(xué)生現(xiàn)實的分析 1、三角形的內(nèi)角和定理是從“數(shù)量關(guān)系”來揭示三角形內(nèi)角之間的關(guān)系的，這個定理是任意三角形的一個重要性質(zhì)，它是學(xué)習(xí)以后知識的基礎(chǔ)，并且是計算角的度數(shù)的方法之一。在解決四邊形和多邊形的內(nèi)角和時都將轉(zhuǎn)化為三角形的內(nèi)角和來解決。其中輔助線的作法、把新知識轉(zhuǎn)化為舊知識、用代數(shù)方法解決幾何問題，為以后的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)，三角形內(nèi)角和定理在理論和實踐中有廣泛的應(yīng)用。2、三角形內(nèi)角和定理的內(nèi)容，學(xué)生在小學(xué)已經(jīng)熟悉，但在小學(xué)是通過實驗得出的，要向?qū)W生說明證明的必要性，同時說明今后在幾何里，常常用這種方法得到新知識，而定理的證明需

2、要添輔助線，讓學(xué)生明白添輔助線是解決數(shù)學(xué)問題（尤其是幾何問題）的重要思想方法，它同代數(shù)中設(shè)末知數(shù)是同一思想。 3、學(xué)生在小學(xué)里已知三角形的內(nèi)角和是180°，前面又學(xué)習(xí)了三角形的有關(guān)概念，平角定義和平行線的性質(zhì)，而且也滲透了三角形的內(nèi)角和是180°的證明，它的證明借助了平角定義，平行線的性質(zhì)。用輔助線將三角形的三個內(nèi)角巧妙地轉(zhuǎn)化為一個平角或兩平行線間的同旁內(nèi)角，為定理的證明提供了必備條件。盡管前面學(xué)生接觸過推理論證的知識，但并末真正去論證過，特別是在論證的格式上，沒有經(jīng)過很好的鍛煉。因此定理的證明應(yīng)是本節(jié)引導(dǎo)和探索的重點。輔助線的作法是學(xué)生在幾何證明過程中第一次接觸，只要教師

3、設(shè)置恰當(dāng)?shù)膯栴}情境，學(xué)生再由實驗操作、觀察、抽象出幾何圖形，用自主探索的方式是可發(fā)完成的，并且這樣的過程 可以更好地發(fā)展他們的創(chuàng)造能力和實驗?zāi)芰?。從本?jié)開始訓(xùn)練學(xué)生將命題翻譯為幾何符號語言，寫出已知、求證，學(xué)會分析命題的證明思路，對培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和推理能力將起到重要的作用。二教學(xué)程序設(shè)計學(xué)習(xí)目標(biāo) （1） 知識與技能 ： 掌握“三角形內(nèi)角和定理”的證明過程，并能根據(jù)這個定理解決實際問題。 （2） 過程與方法 ： 通過學(xué)生猜想動手實驗，互相交流，師生合作等活動探索三角形內(nèi)角和為180度，發(fā)展學(xué)生的推理能力和語言表達能力。對比過去撕紙等探索過程，體會思維實

4、驗和符號化的理性作用。逐漸由實驗過渡到論證。通過一題多解、一題多變等，初步體會思維的多向性，引導(dǎo)學(xué)生的個性化發(fā)展。  （3）情感態(tài)度與價值觀：    通過猜想、推理等數(shù)學(xué)活動，感受數(shù)學(xué)活動充滿著探索以及數(shù)學(xué)結(jié)論的確定性，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。使學(xué)生主動探索，敢于實驗，勇于發(fā)現(xiàn)，合作交流。教學(xué)重點：三角形內(nèi)角和定理的證明思路及應(yīng)用。教學(xué)難點：三角形內(nèi)角和定理的證明方法。創(chuàng)設(shè)問題情境你能回答本章情境導(dǎo)航中提出的問題嗎？1、提出問題我們知道三角形的內(nèi)角和等于180°，即三角形三個內(nèi)角和等于平角，你能用剪紙拼圖的方法驗證這個結(jié)論嗎？教師引導(dǎo)學(xué)生用準

5、備好的三角形硬紙片剪紙拼圖，如圖，把A剪下放在1位置上，B剪下放在2位置上，較直觀得到三角形內(nèi)角和是180°。 教師指出：這只是實驗得出的命題，不能當(dāng)做定理，只有經(jīng)過嚴格的幾何證明，證明命題的正確性，才能作為幾何定理，今后，在幾何里，常采用這種方法得到新知識。那么如何證明此命題是真命題呢？能否用學(xué)過的舊知識來證明呢？ 2、教師引導(dǎo)要證三角形三個內(nèi)角和是180°，觀察圖形，三個角間沒什么關(guān)系，能不能象前面那樣，把這三個角拼在一起呢？拼成什么樣的角呢？學(xué)生思考與180°有關(guān)的角后回答，可拼成：平角，兩平行線間的同旁內(nèi)角。教師引導(dǎo)，要把三角形三個內(nèi)角

6、轉(zhuǎn)化為上述兩種角，就要在原圖形上添加一些線，這些線叫做輔助線，在平面幾何里，輔助線常畫成虛線，添輔助線是解決問題的重要思想方法。如何把三個角轉(zhuǎn)化為平角或兩平行線間的同旁內(nèi)角呢？下面同學(xué)們利用準備好的3三角形紙片拼一拼，畫一畫。3、學(xué)生通過自主探究，可以得出以下幾種輔助線的作法 （教師演示課件） 如圖11-4，延長BC得到一平角BCD，然后以CA為一邊，在ABC的外部畫1=A。                 

7、;    11-4   如圖11-4，延長BC，過C作CEAB        如圖11-5，過A作DEAB                     11-5       如圖11-6，在BC邊上任取一點P，作PRAB，P

8、QAC。11-6       如圖11-7，在ABC內(nèi)部任取一點P，過P點作QRBC，MNAB。STAC。11-7        如圖11-8，在ABC外部任取一點P，過P點作QRBC，MNAB。STAC。11-8學(xué)生可能還有其它畫法。“抓住根本” 抓住“把三個角搬到一起，讓三個頂點重合、兩條邊形成一條直線，以便利用平角的定義”這一基本思想，可以把三個角集中到三角形的某一個頂點；可以把三個角集中到三角形的某一邊上；可以把三個角集中到三角形的內(nèi)部的一點；可以把三個角集

9、中到三角形的外部的一點。學(xué)數(shù)學(xué)要善于抓住不變的根本，又要靈活地在變化中認識、處理和解決問題。讓學(xué)生學(xué)會“抓住根本”，而不在于有幾種證明方法。培養(yǎng)學(xué)生的推理與證明能力。師好，下面同學(xué)們來證明一下：三角形的內(nèi)角和等于180°這個真命題。這是一個文字命題，證明時需要先干什么呢？生需要先畫出圖形，根據(jù)命題的條件和結(jié)論，結(jié)合圖形寫出已知、求證。師對，下面大家來證明，哪位同學(xué)能把證明過程敘述一下？（學(xué)生邊敘述證明過程，邊觀看課件上的分析和證明過程）11-4生甲已知，如圖11-4，ABC,求證：A+B+C=180°證明：作BC的延長線CD，過點C作射線CEAB。則ACE=A（兩直線平行，

10、內(nèi)錯角相等）ECD=B（兩直線平行，同位角相等）ACB+ACE+ECD=180°（1平角=180°）A+B+ACB=180°（等量代換）師同學(xué)們寫得證明過程很好，在證明過程中，我們僅僅添畫了射線CE、CD，使處于原三角形中不同位置的三個角，巧妙地拼湊到一起來了。為了證明的需要，在原來的圖形上添畫的線叫做輔助線。在平面幾何里，輔助線通常畫成虛線。我們通過推理的過程，得證了命題：三角形的內(nèi)角和等于180°是真命題，這時稱它為定理。即：三角形的內(nèi)角和定理:三角形的內(nèi)角和等于180°你能用其他添加輔助線的方法，證明三角形內(nèi)角和定理嗎？（找學(xué)生板演圖11

11、-5，11-6的證明過程。）從圖11-4及三角形內(nèi)角和定理，你還發(fā)現(xiàn)了什么？由ACE=A，ECD=B，可知ACD=A+B，所以ACDA , ACDB挑戰(zhàn)自我1.求證：直角三角形的兩個銳角互余。DA2.已知：如圖，四邊形ABCD是一個任意四邊形。求證：A+B+ C+ D+ E=3600BC4,回顧聯(lián)系，形成結(jié)構(gòu)（觀看課件）這堂課，我們證明了一個很有用的三角形內(nèi)角和定理。證明的基本思想是：運用輔助線將原三角形中處于不同位置的三個內(nèi)角集中在一起，拼成一個平角。輔助線是聯(lián)系命題的條件和結(jié)論的橋梁，今后我們還要學(xué)習(xí)它。我們還學(xué)習(xí)了兩個推論。還記得是什么嗎？5,作業(yè)課本128頁A組1，2題。第11章 幾何

12、證明初步 單元教學(xué)設(shè)計店子中學(xué) 梁銘慧教材分析(一)教學(xué)內(nèi)容青島版數(shù)學(xué)八年級下冊第11章的主要內(nèi)容定義與命題、為什么要證明、什么是幾何證明、三角形內(nèi)角和定理、幾何證明舉例、反證法。(二)  教材所處的地位與作用本章是在學(xué)習(xí)了角、平行線、平面圖形的認識，軸對稱和軸對稱圖形以及全等形與相似形等內(nèi)容的基礎(chǔ)上安排的。在這之前學(xué)生已積累了一定的觀察、實驗、歸納、類比、猜測、交流表達的技能和合情推理的能力。因此，學(xué)習(xí)平面圖形性質(zhì)的證明，體會證明的必要性，理解證明的基本過程，掌握演繹推理的基本格式，已勢必然。 要判斷一個數(shù)學(xué)結(jié)論是否正確，僅僅依靠經(jīng)驗、觀察、實驗、歸納、類比是不夠的，必須一步一步、

13、有理有據(jù)地進行推理，肯定結(jié)論正確。推理的過程就是證明，它是根據(jù)數(shù)學(xué)事實，依據(jù)形式邏輯的原則，陳述判斷有關(guān)數(shù)學(xué)命題真假的一種規(guī)范化的表達模式，也是一種數(shù)學(xué)說理方式。學(xué)會用綜合法證明對培養(yǎng)學(xué)生的推理能力、抽象能力、想象能力和創(chuàng)造能力有著重要的、不可取代的作用。 本章只是幾何證明的初步，目的在于使學(xué)生掌握基本的證明格式，體會通過合情推理探索的某些結(jié)果，運用演繹推理加以證明，從而獲取數(shù)學(xué)結(jié)論的過程。這是繼續(xù)學(xué)習(xí)平行四邊形、圓以及高中數(shù)學(xué)知識的重要基礎(chǔ)。（三）單元教學(xué)目標(biāo)（1）理解定義、命題、真命題、假命題、定理的含義，會區(qū)分命題的條件和結(jié)論，奠定推理論證的基礎(chǔ)。（2）會根據(jù)公理:同位角相等，兩直線平行

14、證明判定定理：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行和內(nèi)錯角相等，兩直線平行，并能對上述公理、定理進行簡單的運用。（3）探索并掌握幾何證明的條件，并能運用它們判別兩個三角形是否全等。（4）經(jīng)歷比較、證明等探究過程，提高分析、歸納、表達、邏輯推理等能力；并通過對只是方法的總結(jié)，培養(yǎng)反思的習(xí)慣及縝密的數(shù)學(xué)思維能力。（5）了解反證法的基本步驟，會用反證法證明簡單的命題。（四）本章教學(xué)重點、教學(xué)難點和關(guān)鍵 重點：知道利用反例可以判斷一個命題是錯誤的；學(xué)會用綜合法證明的格式，會利用全等三角形證明角平分線和線段垂直平分線的定理，以及等腰三角形和直角三角形的性質(zhì)定理和判定定理。難點：區(qū)分命題的條件和結(jié)論，推理論

15、證能力的培養(yǎng)，反證法。關(guān)鍵：一步一步地，循序漸進地、由由簡到繁地引入推理證明，培養(yǎng)推理論證能力。二 學(xué)情分析在幾何證明初步這一章中，讓學(xué)生通過觀察、操作與類比，探索并掌握幾何證明的方法與步驟。理解定義、命題、真命題、假命題、定理的含義，特別是全等三角形的特征與性質(zhì)以及識別方法。讓學(xué)生在以前的說理基礎(chǔ)上，進一步學(xué)習(xí)一些主要的推理論證的方法，加強數(shù)學(xué)的理性訓(xùn)練。引導(dǎo)學(xué)生認識證明的必要性，學(xué)會由定理、公理出發(fā)，證明有關(guān)的命題，解決一些簡單的邏輯推理問題，使學(xué)生養(yǎng)成言必有據(jù)的正確思維習(xí)慣。三、單元教學(xué)思路與策略1、讓學(xué)生通過觀察、操作、探索來掌握幾何證明的步驟和方法，引導(dǎo)學(xué)生認識證明的必要性。2、教授教材內(nèi)容時，教師應(yīng)盡量提供大量的實例，并展開充分的交流，要求學(xué)生能在了解定義與命題的概念的基礎(chǔ)上，能對簡單的真命題、假命題做出判斷，讓學(xué)生自主討論，主動參與、探索。課堂教學(xué)一般由探索新知、引出概念等環(huán)節(jié)組成，但每個環(huán)節(jié)的時間安排不宜過多。3、在教學(xué)中通過多種思考方法的交流，激發(fā)學(xué)生放入發(fā)散性思維，在交流中，發(fā)展學(xué)生的邏輯思維及表達能力，所以在課堂上要注意給學(xué)生留出自主的空間。隨后引入典型或精選的例題，讓學(xué)生進一步感受到幾何證明的原理性，例如在證明三角形三個內(nèi)角的和等于180度時，要請學(xué)生思考不