定積分應(yīng)用習(xí)題課資料胡細(xì)寶

1、定積分應(yīng)用 習(xí)題課資料1. 求由曲線和直線在內(nèi)所圍平面圖形的面積。2. 求心形線所圍圖形與圓盤的公共部分的面積。3. 設(shè)為曲線上的一點，此曲線與直線及軸所圍圖形的面積為，求取得最大值時，點的坐標(biāo)。4. 求由曲線及所圍圖形的面積、周長、繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積。5. 設(shè)曲線圍成平面圖形記為，求繞直線旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積。6. 設(shè)拋物線過原點，當(dāng)時，又已知該拋物線與軸及直線所圍圖形的面積為，試確定使此圖形繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積最小。7. 試證明曲線的弧長等于橢圓的周長。8. 設(shè)橢圓的周長記為，證明：9. 一開口容器的側(cè)面和底面分別由曲線弧段和直線段繞軸旋轉(zhuǎn)而成，坐標(biāo)軸長度單位為，現(xiàn)以的速度向

2、容器內(nèi)注水，試求當(dāng)水面高度達(dá)到容器深度一半時，水面上升的速度。10. 半徑為的半球形水池充滿水，將水從池中抽出，當(dāng)抽出的水所作的功為將水全部抽空所作的功的一半時，水面下降的深度為多少？習(xí)題解答1 解：解聯(lián)立方程組 得交點.所求面積為2 解：解聯(lián)立方程組得,于是所求面積為 3.解:設(shè)點的坐標(biāo)為,此曲線與直線及軸所圍圖形的面積為 令得在內(nèi)的駐點,又為的極大值點,故時取得最大值,此時的坐標(biāo)為4.解: 解聯(lián)立方程組得交點,又由圖形關(guān)于軸對稱,故所求面積為平面圖形的周長為旋轉(zhuǎn)體的體積為5.解:方法一(切片法) 取為積分變量,積分區(qū)間為,對應(yīng)于任一小區(qū)間,平面區(qū)域上有寬度為的窄條,此窄條繞直線旋轉(zhuǎn)得到厚度

3、為的圓環(huán),其體積為所求旋轉(zhuǎn)體的體積為方法二(剝殼法) 取為積分量,區(qū)間為,對應(yīng)于任一小區(qū)間,平面區(qū)域上有寬為、高為的窄條,此窄條繞直線旋轉(zhuǎn)得到高為、厚、半徑為的圓筒薄殼,其體積為 所求旋轉(zhuǎn)體的體積為6.解:因拋物線過原點,故 由題設(shè)有,即得 而 得,代入的表達(dá)式得此時有 當(dāng)時，,且,因此7.證明:曲線的弧長為 橢圓的參數(shù)方程為從而的周長為 對上面積分作換元,得8.證明: 橢圓的參數(shù)方程為橢圓的周長為由柯西不等式知 從而有另一方面,由柯西不等式有 于是.9.解:當(dāng)水深為時,水的體積為當(dāng)且時,.11. 以球心坐標(biāo)原點,以過且垂直水平面的直線為軸,正方向向下, 以過且平行水平面的直線為軸, 正方向向右.取為積分變量,對應(yīng)的一薄層水,其體積近似