拋物線輔導(dǎo)講義

1、武漢龍文教育學(xué)科輔導(dǎo)講義授課對象授課教師授課時間授課題目課 型使用教具教學(xué)目標教學(xué)重點和難點參考教材教學(xué)流程及授課詳案1.拋物線的標準方程、類型及其幾何性質(zhì) ()：標準方程圖形焦點準線范圍對稱軸軸軸頂點 （0，0）離心率2.拋物線的焦半徑、焦點弦的焦半徑;的焦半徑； 過焦點的所有弦中最短的弦，也被稱做通徑.其長度為2p. AB為拋物線的焦點弦，則 ，=3. 的參數(shù)方程為（為參數(shù)），的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.重難點突破重點:掌握拋物線的定義和標準方程，會運用定義和會求拋物線的標準方程，能通過方程研究拋物線的幾何性質(zhì)難點: 與焦點有關(guān)的計算與論證重難點:圍繞焦半徑、焦點弦，運用數(shù)形結(jié)合和代數(shù)方法研究

2、拋物線的性質(zhì)1.要有用定義的意識問題1：拋物線y=4上的一點M到焦點的距離為1，則點M的縱坐標是( ) A. B. C. D. 0點撥：拋物線的標準方程為，準線方程為,由定義知，點M到準線的距離為1，所以點M的縱坐標是2.求標準方程要注意焦點位置和開口方向問題2：頂點在原點、焦點在坐標軸上且經(jīng)過點（3，2）的拋物線的條數(shù)有 點撥：拋物線的類型一共有4種，經(jīng)過第一象限的拋物線有2種，故滿足條件的拋物線有2條3.研究幾何性質(zhì)，要具備數(shù)形結(jié)合思想，“兩條腿走路”問題3：證明：以拋物線焦點弦為直徑的圓與拋物線的準線相切點撥：設(shè)為拋物線的焦點弦，F(xiàn)為拋物線的焦點，點分別是點在準線上的射影，弦的中點為M，

3、則，點M到準線的距離為，以拋物線焦點弦為直徑的圓總與拋物線的準線相切熱點考點題型探析考點1 拋物線的定義題型 利用定義,實現(xiàn)拋物線上的點到焦點的距離與到準線的距離之間的轉(zhuǎn)換例1 已知點P在拋物線y2 = 4x上，那么點P到點Q（2，1）的距離與點P到拋物線焦點距離之和的最小值為 【解題思路】將點P到焦點的距離轉(zhuǎn)化為點P到準線的距離解析過點P作準線的垂線交準線于點R，由拋物線的定義知，當(dāng)P點為拋物線與垂線的交點時，取得最小值，最小值為點Q到準線的距離 ,因準線方程為x=-1,故最小值為3【指引】靈活利用拋物線的定義，就是實現(xiàn)拋物線上的點到焦點的距離與到準線的距離之間的轉(zhuǎn)換，一般來說,用定義問題都

4、與焦半徑問題相關(guān)【新題導(dǎo)練】1.已知拋物線的焦點為，點，在拋物線上，且、成等差數(shù)列， 則有 （）A B C D. 解析C 由拋物線定義，即： 2. 已知點F是拋物線的焦點,M是拋物線上的動點,當(dāng)最小時, M點坐標是 ( )A. B. C. D. 解析 設(shè)M到準線的距離為,則，當(dāng)最小時，M點坐標是，選C考點2 拋物線的標準方程題型:求拋物線的標準方程例2 求滿足下列條件的拋物線的標準方程，并求對應(yīng)拋物線的準線方程：(1)過點(-3,2) (2)焦點在直線上【解題思路】以方程的觀點看待問題，并注意開口方向的討論.解析 (1)設(shè)所求的拋物線的方程為或, 過點(-3,2) 拋物線方程為或,前者的準線方

5、程是后者的準線方程為 (2)令得，令得， 拋物線的焦點為(4,0)或(0,-2),當(dāng)焦點為(4,0)時, ，此時拋物線方程;焦點為(0,-2)時 ，此時拋物線方程. 所求拋物線方程為或,對應(yīng)的準線方程分別是.【指引】對開口方向要特別小心，考慮問題要全面【新題導(dǎo)練】3.若拋物線的焦點與雙曲線的右焦點重合,則的值 解析4. 對于頂點在原點的拋物線，給出下列條件：焦點在y軸上；焦點在x軸上；拋物線上橫坐標為1的點到焦點的距離等于6；拋物線的通徑的長為5；由原點向過焦點的某條直線作垂線，垂足坐標為（2，1）.能使這拋物線方程為y2=10x的條件是_.（要求填寫合適條件的序號）解析 用排除法，由拋物線方

6、程y2=10x可排除，從而滿足條件.5. 若拋物線的頂點在原點，開口向上，F(xiàn)為焦點，M為準線與Y軸的交點，A為拋物線上一點,且，求此拋物線的方程解析 設(shè)點是點在準線上的射影，則，由勾股定理知，點A的橫坐標為，代入方程得或4，拋物線的方程或考點3 拋物線的幾何性質(zhì)題型：有關(guān)焦半徑和焦點弦的計算與論證例3 設(shè)A、B為拋物線上的點,且(O為原點),則直線AB必過的定點坐標為_.【解題思路】由特殊入手，先探求定點位置解析設(shè)直線OA方程為,由解出A點坐標為解出B點坐標為，直線AB方程為,令得，直線AB必過的定點【指引】（1）由于是填空題，可取兩特殊直線AB, 求交點即可；（2）B點坐標可由A點坐標用換k

7、而得?！拘骂}導(dǎo)練】6. 若直線經(jīng)過拋物線的焦點，則實數(shù) 解析-17.過拋物線焦點F的直線與拋物線交于兩點A、B,若A、B在拋物線準線上的射影為,則 ( ) A. B. C. D. 解析C基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練1.過拋物線的焦點作一條直線與拋物線相交于A、B兩點，它們的橫坐標之和等于，則這樣的直線（ ）A.有且僅有一條 B.有且僅有兩條 C.1條或2條 D.不存在解析C ，而通徑的長為42.在平面直角坐標系中，若拋物線上的點到該拋物線焦點的距離為5，則點P的縱坐標為（）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6解析 B 利用拋物線的定義，點P到準線的距離為5，故點P的縱坐標為43.兩個正數(shù)a、b的等差中項是，

8、一個等比中項是，且則拋物線的焦點坐標為( ) A B C D解析 D. 4. 如果，是拋物線上的點，它們的橫坐標依次為，F(xiàn)是拋物線的焦點，若成等差數(shù)列且，則=（ ）A5 B6 C 7 D9 解析B 根據(jù)拋物線的定義，可知（，2，n），成等差數(shù)列且,=65、拋物線準線為l，l與x軸相交于點E，過F且傾斜角等于60°的直線與拋物線在x軸上方的部分相交于點A，ABl，垂足為B，則四邊形ABEF的面積等于（ ）A B C D解析 C. 過A作x軸的垂線交x軸于點H，設(shè)，則，四邊形ABEF的面積=6、設(shè)是坐標原點，是拋物線的焦點，是拋物線上的一點，與軸正向的夾角為，則為 解析. 過A 作軸于D

9、，令，則即，解得綜合提高訓(xùn)練7.在拋物線上求一點，使該點到直線的距離為最短，求該點的坐標解析解法1：設(shè)拋物線上的點，點到直線的距離，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故所求的點為解法2：當(dāng)平行于直線且與拋物線相切的直線與拋物線的公共點為所求，設(shè)該直線方程為，代入拋物線方程得，由得，故所求的點為8. 已知拋物線（為非零常數(shù)）的焦點為，點為拋物線上一個動點，過點且與拋物線相切的直線記為（1）求的坐標；（2）當(dāng)點在何處時，點到直線的距離最小？解：（1）拋物線方程為 故焦點的坐標為 （2）設(shè) 直線的方程是 9. 設(shè)拋物線（）的焦點為 F，經(jīng)過點 F的直線交拋物線于A、B兩點點 C在拋物線的準線上，且BCX軸證明直線A

10、C經(jīng)過原點O證明:因為拋物線（）的焦點為，所以經(jīng)過點F的直線AB的方程可設(shè)為 ，代人拋物線方程得 若記，則是該方程的兩個根，所以因為BCX軸，且點C在準線上，所以點C的坐標為，故直線CO的斜率為即也是直線OA的斜率，所以直線AC經(jīng)過原點O10.橢圓上有一點M（-4，）在拋物線（p>0）的準線l上，拋物線的焦點也是橢圓焦點.（1）求橢圓方程；（2）若點N在拋物線上，過N作準線l的垂線，垂足為Q距離，求|MN|+|NQ|的最小值.解：（1）上的點M在拋物線（p>0）的準線l上，拋物線的焦點也是橢圓焦點.c=-4，p=8M（-4，）在橢圓上由解得：a=5、b=3橢圓為由p=8得拋物線為設(shè)

11、橢圓焦點為F（4，0），由橢圓定義得|NQ|=|NF|MN|+|NQ|MN|+|NF|=|MF|=，即為所求的最小值.參考例題：1、已知拋物線C的一個焦點為F（，0），對應(yīng)于這個焦點的準線方程為x=-.（1）寫出拋物線C的方程；（2）過F點的直線與曲線C交于A、B兩點，O點為坐標原點，求AOB重心G的軌跡方程；（3）點P是拋物線C上的動點，過點P作圓（x-3）2+y2=2的切線，切點分別是M，N.當(dāng)P點在何處時，|MN|的值最小？求出|MN|的最小值.解：（1）拋物線方程為：y2=2x. （4分）（2）當(dāng)直線不垂直于x軸時，設(shè)方程為y=k(x-)，代入y2=2x，得：k2x2-(k2+2)x+.設(shè)A（x1，y1），B(x2，y2)，則x1+x2=，y1+y2=k(x1+x2-1)=.設(shè)AOB的重心為G（x，y）則，消去k得y2=為所求， （6分）當(dāng)直線垂直于x軸時，A（，1），B（，-1）， （8分）AOB的重心G（，0）也滿足上述方程.綜合得，所求的軌跡方程為y2=， （9分）（3）設(shè)已知圓的圓心為Q（3，0），半徑r=，根據(jù)圓的性質(zhì)有：|MN|=2. （11分）當(dāng)|PQ|2最小時，|MN|取最小值，設(shè)P點坐標為(x0，y0)，則y=2x0.|PQ|2=（x0-3）2+ y= x-4x0+9=(x0-2)2+5，當(dāng)x0=2，y0=±