測量與誤差和數(shù)據(jù)處理

1、測量與誤差和數(shù)據(jù)處理一 測量與誤差物理實驗的任務(wù)，不僅僅是定性地觀察物理現(xiàn)象，也需要對物理量進行定量測量，并找出各物理量之間的內(nèi)在聯(lián)系。由于測量原理的局限性或近似性、測量方法的不完善、測量儀器的精度限制、測量環(huán)境的不理想以及測量者的實驗技能等諸多因素的影響，所有測量都只能做到相對準(zhǔn)確。隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，人們的實驗知識、手段、經(jīng)驗和技巧不斷提高，測量誤差被控制得越來越小，但是絕對不可能使誤差降為零。因此，作為一個測量結(jié)果，不僅應(yīng)該給出被測對象的量值和單位，而且還必須對測量值的可靠性做出評價，一個沒有誤差評定的測量結(jié)果是沒有價值的。下面介紹測量與誤差、誤差處理、有效數(shù)字、測量結(jié)果的不確定度評

2、定等基本知識，這些知識不僅在后面的實驗中要經(jīng)常用到，而且也是今后從事科學(xué)實驗工作所必須了解和掌握的。（一）測量及其分類所謂測量，就是借助一定的實驗器具，通過一定的實驗方法，直接或間接地把待測量與選作計量單位的同類物理量進行比較的全部操作。簡而言之，測量是指為確定被測對象的量值而進行的一組操作。按照測量值獲得方法的不同，測量分為直接測量和間接測量兩種。直接從儀器或量具上讀出待測量的大小，稱為直接測量。例如，用米尺測物體的長度，用秒表測時間間隔，用天平測物體的質(zhì)量等都是直接測量，相應(yīng)的被測物理量稱為直接測量量。如果待測量的量值是由若干個直接測量量經(jīng)過一定的函數(shù)運算后才獲得的，則稱為間接測量。例如，

3、先直接測出鐵圓柱體的質(zhì)量、直徑和高度，再根據(jù)公式計算出鐵的的密度，這就是間接測量，稱為間接測量量。按照測量條件的不同，測量又可分為等精度測量和不等精度測量。在相同的測量條件下進行的一系列測量是等精度測量。例如，同一個人，使用同一儀器，采用同樣的方法，對同一待測量連續(xù)進行多次測量，此時應(yīng)該認為每次測量的可靠程度相同，故稱之為等精度測量，這樣的一組測量值稱為一個測量列。在不同測量條件下進行的一系列測量，例如不同的人員，使用不同的儀器，采用不同的方法進行測量，則各次測量結(jié)果的可靠程度自然也不相同，這樣的測量稱為不等精度測量。處理不等精度測量的結(jié)果時，需要根據(jù)每個測量值的“權(quán)重”，進行“加權(quán)平均”，因

4、此在一般物理實驗中很少采用。等精度測量的誤差分析和數(shù)據(jù)處理比較容易，下面所介紹的誤差和數(shù)據(jù)處理知識都是針對等精度測量的。（二）誤差與偏差1真值與誤差任何一個物理量，在一定的條件下，都具有確定的量值，這是客觀存在的，這個客觀存在的量值稱為該物理量的真值。測量的目的就是要力圖得到被測量的真值。我們把測量值與真值之差稱為測量的絕對誤差。設(shè)被測量的真值為，測量值為，則絕對誤差為 （1） 由于誤差不可避免，故真值往往是得不到的。所以絕對誤差的的概念只有理論上的價值。2最佳值與偏差在實際測量中，為了減小誤差，常常對某一物理量進行多次等精度測量，得到一系列測量值，則測量結(jié)果的算術(shù)平均值為 （2） 算術(shù)平均值

5、并非真值，但它比任一次測量值的可靠性都要高。系統(tǒng)誤差忽略不計時的算術(shù)平均值可作為最佳值，稱為近真值。我們把測量值與算術(shù)平均值之差稱為偏差（或殘差）： （3）（三）誤差的分類正常測量的誤差，按其產(chǎn)生的原因和性質(zhì)可分為系統(tǒng)誤差和隨機誤差兩類，它們對測量結(jié)果的影響不同，對這兩類誤差處理的方法也不同。1.系統(tǒng)誤差在同樣條件下，對同一物理量進行多次測量，其誤差的大小和符號保持不變或隨著測量條件的變化而有規(guī)律地變化，這類誤差稱為系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差的特征是具有確定性，它的來源主要有以下幾個方面：（1）儀器因素：由于儀器本身的固有缺陷或沒有按規(guī)定條件調(diào)整到位而引起誤差。例如，儀器標(biāo)尺的刻度不準(zhǔn)確，零點沒有調(diào)準(zhǔn)

6、，等臂天平的臂長不等，砝碼不準(zhǔn)，測量顯微鏡精密螺桿存在回程差，或儀器沒有放水平，偏心、定向不準(zhǔn)等。（2）理論或條件因素：由于測量所依據(jù)的理論本身的近似性或?qū)嶒灄l件不能達到理論公式所規(guī)定的要求而引起誤差。例如，稱物體質(zhì)量時沒有考慮空氣浮力的影響，用單擺測量重力加速度時要求擺角，而實際中難以滿足該條件。（3）人員因素：由于測量人員的主觀因素和操作技術(shù)而引起誤差。例如，使用停表計時，有的人總是操之過急，計時比真值短；有的人則反應(yīng)遲緩，計時總是比真值長；再如，有的人對準(zhǔn)目標(biāo)時，總愛偏左或偏右，致使讀數(shù)偏大或偏小。對于實驗者來說，系統(tǒng)誤差的規(guī)律及其產(chǎn)生原因，可能知道，也可能不知道。已被確切掌握其大小和符

7、號的系統(tǒng)誤差稱為可定系統(tǒng)誤差；對于大小和符號不能確切掌握的系統(tǒng)誤差稱為未定系統(tǒng)誤差。前者一般可以在測量過程中采取措施予以消除，或測量結(jié)果中進行修正。而后者一般難以做出修正，只能估計其取值范圍。2隨機誤差在相同條件下，多次測量同一物理量時，即使已經(jīng)精心排除了系統(tǒng)誤差的影響，也會發(fā)現(xiàn)每次測量結(jié)果都不一樣。測量誤差時大時小，時正時負，完全是隨機的。在測量次數(shù)少時，顯得毫無規(guī)律，但是當(dāng)測量次數(shù)足夠多時，可以發(fā)現(xiàn)誤差的大小以及正負都服從某種統(tǒng)計規(guī)律。這種誤差稱為隨機誤差。隨機誤差的特征是它的不確定性，它是由測量過程中一些隨機的或不確定的因素引起的。例如，人的感受（視覺、聽覺、觸覺）靈敏度和儀器穩(wěn)定性有限

8、，實驗環(huán)境中的溫度、濕度、氣流變化，電源電壓起伏，微小振動以及雜散電磁場等都會導(dǎo)致隨機誤差。除系統(tǒng)誤差和隨機誤差外，還有過失誤差。過失誤差是由于實驗者操作不當(dāng)或粗心大意造成的，例如看錯刻度、讀錯數(shù)字、記錯單位或計算錯誤等。過失誤差又稱粗大誤差。含有過失誤差的測量結(jié)果稱為“壞值”，被判定為壞值的測量結(jié)果應(yīng)剔除不用。實驗中的過失誤差不屬于正常測量的范疇，應(yīng)該嚴(yán)格避免。3精密度、正確度和準(zhǔn)確度評價測量結(jié)果，常用到精密度、正確度和準(zhǔn)確度這三個概念。這三者的含義不同，使用時應(yīng)注意加以區(qū)別。（1）精密度反映隨機誤差大小的程度。它是對測量結(jié)果的重復(fù)性的評價。精密度高是指測量的重復(fù)性好，各次測量值的分布密集，

9、隨機誤差小。但是，精密度不能確定系統(tǒng)誤差的大小。（2）正確度反映系統(tǒng)誤差大小的程度。正確度高是指測量數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值偏離真值較少，測量的系統(tǒng)誤差小。但是，正確度不能確定數(shù)據(jù)分散的情況，即不能反映隨機誤差的大小。（3）準(zhǔn)確度反映系統(tǒng)誤差與隨機誤差綜合大小的程度。準(zhǔn)確度高是指測量結(jié)果既精密又正確，即隨機誤差與系統(tǒng)誤差均小。現(xiàn)以射擊打靶的彈著點分布為例，形象地說明以上三個術(shù)語的意義。如圖1所示，其中圖（a）表示精密度高而正確度低，圖（b）表示正確度高而精密度低，圖（c）表示精密度和正確度均低，即準(zhǔn)確度低，圖（d）表示精密度和正確度均高，即準(zhǔn)確度高。通常所說的“精度”含義不明確，應(yīng)盡量避免使用。 精密

10、度高，正確度低 正確度高，精密度低 精密度和正確度均低 精密度和正確度均高 圖1 精密度、正確度和準(zhǔn)確度示意圖二 誤差處理（一）處理系統(tǒng)誤差的一般知識1發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差的方法系統(tǒng)誤差一般難于發(fā)現(xiàn)，并且不能通過多次測量來消除。人們通過長期實踐和理論研究，總結(jié)出一些發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差的方法，常用的有：（1）理論分析法：包括分析實驗所依據(jù)的理論和實驗方法是否有不完善的地方；檢查理論公式所要求的條件是否得到了滿足；量具和儀器是否存在缺陷；實驗環(huán)境能否使儀器正常工作以及實驗人員的心理和技術(shù)素質(zhì)是否存在造成系統(tǒng)誤差的因素等。（2）實驗比對法：對同一待測量可以采用不同的實驗方法，使用不同的實驗儀器，以及由不同的測量人

11、員進行測量。對比、研究測量值變化的情況，可以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差的存在。（3）數(shù)據(jù)分析法：因為隨機誤差是遵從統(tǒng)計分布規(guī)律的，所以若測量結(jié)果不服從統(tǒng)計規(guī)律，則說明存在系統(tǒng)誤差。我們可以按照規(guī)律測量列的先后次序，把偏差（殘差）列表或作圖，觀察其數(shù)值變化的規(guī)律。比如前后偏差的大小是遞增或遞減的；偏差的數(shù)值和符號有規(guī)律地交替變化；在某些測量條件下，偏差均為正號（或負號），條件變化以后偏差又都變化為負號（或正號）等情況，都可以判斷存在系統(tǒng)誤差。2系統(tǒng)誤差的減小與消除知道了系統(tǒng)誤差的來源，也就為減小和消除系統(tǒng)誤差提供了依據(jù)。（1）減小與消除產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的根源對實驗可能產(chǎn)生誤差的因素盡可能予以處理。比如采用更符合實

12、際的理論公式，保證儀器裝置良好，滿足儀器規(guī)定的使用條件等等。（2）利用實驗技巧，改進測量方法對于定值系統(tǒng)誤差的消除，可以采用如下一些技巧和方法。交換法：根據(jù)誤差產(chǎn)生的原因，在一次測量之后，把某些測量條件交換一下再次測量。例如，用天平稱質(zhì)量時，把被測物和砝碼交換位置進行兩次測量。設(shè)和分別為兩次測得的質(zhì)量，取物體的質(zhì)量為，就可以消除由于天平不等臂而產(chǎn)生的系統(tǒng)誤差。替代法：在測量條件不變的情況下，先測得未知量，然后再用一已知標(biāo)準(zhǔn)量取代被測量，而不引起指示值的改變，于是被測量就等于這個標(biāo)準(zhǔn)量。異號法：改變測量中的某些條件，進行兩次測量，使兩次測量中的誤差符號相反，再取兩次測量結(jié)果的平均值做為測量結(jié)果。

13、例如，用霍耳元件測磁場實驗中，分別改變磁場和工作電流的方向，依次為、，在四種條件下測量電勢差，再取其平均值，可以減小或消除不等位電勢、溫差電勢等附加效應(yīng)所產(chǎn)生的系統(tǒng)誤差。此外，用“等距對稱觀測法”可消除按線性規(guī)律變化的變值系統(tǒng)誤差；用“半周期偶數(shù)測量法”可以消除按周期性變化的變值系統(tǒng)誤差等等，這里不再詳細介紹。在采取消除系統(tǒng)誤差的措施后，還應(yīng)對其它的已定系統(tǒng)誤差進行分析，給出修正值，用修正公式或修正曲線對測量結(jié)果進行修正。例如，千分尺的零點讀數(shù)就是一種修正值；標(biāo)準(zhǔn)電池的電動勢隨溫度的變化可以給出修正公式；電表校準(zhǔn)后可以給出校準(zhǔn)曲線等等。對于無法忽略又無法消除或修正的未定系統(tǒng)誤差，可用估計誤差極

14、限值的方法進行估算。以上僅就系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)及消除方法做了一般性介紹。在實際問題中，系統(tǒng)誤差的處理是一件復(fù)雜而困難的工作，它不僅涉及許多知識，還需要有豐富的經(jīng)驗，這需要在長期的實踐中不斷積累，不斷提高。（二）隨機誤差及其分布實驗中隨機誤差不可避免，也不可能消除。但是，可以根據(jù)隨機誤差的理論來估算其大小。為了簡化起見，在下面討論隨機誤差的有關(guān)問題中，并假設(shè)系統(tǒng)誤差已經(jīng)減小到可以忽略的程度。1標(biāo)準(zhǔn)誤差與標(biāo)準(zhǔn)偏差采用算術(shù)平均值作為測量結(jié)果可以削弱隨機誤差。但是，算術(shù)平均值只是真值的估計值，不能反映各次測量值的分散程度。采用標(biāo)準(zhǔn)誤差來評價測量值的分散程度是既方便又可靠的。對物理量進行次測量，其標(biāo)準(zhǔn)誤差（

15、標(biāo)準(zhǔn)差）定義為 （4） 在實際測量中，測量次數(shù)總是有限的，而且真值也不可知。因此標(biāo)準(zhǔn)誤差只有理論上的價值。對標(biāo)準(zhǔn)誤差的實際處理只能進行估算。估算標(biāo)準(zhǔn)誤差的方法很多，最常用的是貝塞爾法，它用實驗標(biāo)準(zhǔn)（偏）差近似代替標(biāo)準(zhǔn)誤差。實驗標(biāo)準(zhǔn)差的表達式為 （5）本書中我們都是用此式來計算直接測量量的實驗標(biāo)準(zhǔn)差，其含義將在下面討論。圖2 測量次數(shù)對的影響2平均值的實驗標(biāo)準(zhǔn)差如上所述，在我們進行了有限次測量后，可得到算術(shù)平均值。也是一個隨機變量。 在完全相同的條件下，多次進行重復(fù)測量，每次得到的算術(shù)平均值也由誤差理論可以證明，算術(shù)平均值的實驗標(biāo)準(zhǔn)差為 （6）由此式可以看出，平均值的實驗標(biāo)準(zhǔn)差比任一 次測量的實

16、驗標(biāo)準(zhǔn)差小。增加測量次數(shù)，可以減少平均值的實驗標(biāo)準(zhǔn)差，提高測量的準(zhǔn)確度。但是，單純憑增加測量次數(shù)來提高準(zhǔn)確度的作用是有限的。如圖2所示，當(dāng)以后，隨測量次數(shù)n的增加，減小得很緩慢。所以，在科學(xué)研究中測量次數(shù)一般取次，而在物理實驗教學(xué)中一般取次。3隨機誤差的正態(tài)分布規(guī)律隨機誤差的分布是服從統(tǒng)計規(guī)律的.首先，我們用一組測量數(shù)據(jù)來形象地說明這一點。例如用數(shù)字毫秒計測量單擺周期，重復(fù)60次（），將測量結(jié)果統(tǒng)計如下表：時間區(qū)間/s出現(xiàn)次數(shù)n（頻數(shù)）相對頻數(shù)時間區(qū)間/s出現(xiàn)次數(shù)n（頻數(shù)）相對頻數(shù)1215253591591558162723圖3 統(tǒng)計直方圖以時間為橫坐標(biāo),相對頻數(shù)為縱坐標(biāo)，用直方圖將測量結(jié)果表

17、示如圖3.如果再進行一組測量（如100次），做出相應(yīng)的直方圖，仍可以得到與前述圖形不完全吻合但輪廓相似的圖形。隨著次數(shù)的增加，曲線的形狀基本不變，但對稱性越來越明顯，曲線也趨向光滑。當(dāng)時，上述曲線變成光滑曲線。這表示測值與頻數(shù)的對應(yīng)關(guān)系呈連續(xù)變化的函數(shù)關(guān)系。顯然，頻數(shù)與的取值有關(guān)，連續(xù)分布時它們之間的關(guān)系可以表示為 函數(shù)稱為概率密度函數(shù)，其含義是在測值附近、單位時間間隔內(nèi)測值出現(xiàn)的概率。當(dāng)測量次數(shù)足夠多時，其誤差分布將服從統(tǒng)計規(guī)律。許多物理測量中，當(dāng)時隨機誤差服從正態(tài)分布（或稱高斯分布）規(guī)律?？梢詫?dǎo)出正態(tài)分布概率密度函數(shù)的表達式為： （7）圖4是正態(tài)分布曲線。該曲線的橫坐標(biāo)為誤差，縱坐標(biāo)為誤差

18、分布的概率密度函數(shù)。的物理含義是：在誤差值附近，單位誤差間隔內(nèi)，誤差出現(xiàn)的概率。曲線下陰影面積元表示誤差出現(xiàn)在+區(qū)間內(nèi)的概率。按照概率理論，誤差出現(xiàn)在區(qū)間（）范圍內(nèi)是必然的，即概率為100%。所以，圖中曲線與橫軸所包圍的面積應(yīng)恒等于1，即 （8）由概率理論可以證明就是標(biāo)準(zhǔn)差。在正態(tài)分布的情況下，式（7）中的物理意義是什么呢？首先定性分析一下：從式（7）可以看出，當(dāng)=0時，因此，值越小，的值越大。由于曲線與橫坐標(biāo)軸所包圍的面積恒等于1，所以曲線峰值高，兩側(cè)下降就較快。這說明測量值的離散性小，測量的精密度高。相反，如果值大，就小，誤差分布的范圍就較大，測量的精密度低。這兩種情況的正態(tài)分布曲線如圖5

19、所示。圖4 正態(tài)分布曲線 圖5 的物理意義4置信區(qū)間與置信概率我們還可以從另一個角度理解的物理意義。計算一下測量結(jié)果分布在-之間的概率，可得 （9）這就是說，在所測的一組數(shù)據(jù)中平均有68.3%的數(shù)據(jù)測值誤差落在區(qū)間-，之間。同樣也可以認為在所測的一組數(shù)據(jù)中，任一個測值的誤差落在區(qū)間-，內(nèi)的概率為68.3%. 我們把稱作置信概率，-，就是68.3%的置信概率，所對應(yīng)的置信區(qū)間。 顯然，擴大置信區(qū)間，置信概率就會提高?？梢宰C明，如果置信區(qū)間分別為-2，2和-3，3，則相應(yīng)的置信概率為 （10） （11）一般情況下，置信區(qū)間可用表示，稱為包含因子，對于一個測量結(jié)果，只要給出置信區(qū)間和相應(yīng)的置信概率就

20、表達了測量結(jié)果的精密度。對應(yīng)于-3，3這個置信區(qū)間，其置信概率為99.7%，即在1000次的重復(fù)測量中，隨機誤差超出-3，3的平均只有3次。對于一般有限次測量來說，測量值超出這一區(qū)間的可能性非常小，因此常將稱為極限誤差。5.分布根據(jù)誤差理論，當(dāng)測量次數(shù)很少時（例如，少于10次），測量列的誤差分布將明顯偏離正態(tài)分布，這時測量值的隨機誤差將遵從分布。這個分布是1908年由戈塞特首先提出來的，由于發(fā)表時使用了筆名“Student”，故也稱“學(xué)生分布”。分布曲線與正態(tài)分布曲線類似，兩者的主要區(qū)別是分布的峰值低于正態(tài)分布，而且上部較窄，下部較寬，如圖1-6。這樣，在有限次測量的情況下，就要將隨機誤差的估

21、算值取大一些，包含因子應(yīng)轉(zhuǎn)換成，值與測量次數(shù)有關(guān)，也與置信概率有關(guān)，表1 給出了與測量次數(shù)、置信概率的對應(yīng)關(guān)系，供查用。圖6 t分布與正態(tài)分布比較表1 值表 n P 2345678910200.681.841.321.201.411.111.091.081.071.061.031.000.9512.714.303.182.782.572.452.362.312.262.091.960.9963.669.925.844.604.033.713.503.363.262.862.58由表1可見，當(dāng)置信概率時，因子隨測量次數(shù)增加而趨向于1。當(dāng)以后，與1的偏離并不大，故在進行誤差估算時，當(dāng)時置信概率取6

22、8.3%，包含因子可以不加修正。（三）壞值的剔除在一列測量值中，有時會混有偏差很大的“可疑值”。一方面，“可疑值”可能是壞值，會影響測量結(jié)果，應(yīng)將其剔除不用。另一方面，當(dāng)一組正確測量值的分散性較大時，盡管概率很小，出現(xiàn)個別偏差較大的數(shù)據(jù)也是可能的，即“可疑值”也可能是正常值，如果人為地將它們剔除，也不合理。因此要有一個合理的準(zhǔn)則，判定“可疑值”是否為“壞值”。下面介紹三種常用的準(zhǔn)則。1.拉依達準(zhǔn)則如前所述，可認為是極限誤差，它的估算值也可以認為是極限偏差。按照拉依達準(zhǔn)則，將偏差大于的數(shù)據(jù)視為壞值而將它剔除。剔除壞值時，首先應(yīng)算出測量列的算術(shù)平均值和任一次測量值的標(biāo)準(zhǔn)偏差S()，然后檢驗每一個測

23、值的偏差，如果，則確定為壞值予以剔除。對剔除后的測量列再重復(fù)進行上述步驟，直到無壞值為止。應(yīng)該指出的是，拉依達準(zhǔn)則只有在測量次數(shù)時才能應(yīng)用。因為根據(jù)的定義式（5），當(dāng)時，恒有，即拉依達準(zhǔn)則失效。2.維涅準(zhǔn)則 肖維涅準(zhǔn)則考慮了測量次數(shù)對偏差的影響。設(shè)重復(fù)測量的次數(shù)為，任一次測量值的標(biāo)準(zhǔn)偏差為，肖維涅準(zhǔn)則認為，如果測值(i=1，2，)滿足，則認為為壞值，予以剔除。式中稱為肖維涅系數(shù)，其值與測量次數(shù)有關(guān)，下表給出了不同測量次數(shù)對應(yīng)的值。測量次數(shù)越多， 越大；當(dāng)時, 值接近于3，和拉依達準(zhǔn)則相當(dāng)。但當(dāng)時,準(zhǔn)則無效，所以表中的系數(shù)從5開始。 表2 肖維涅系數(shù)51.65142.10232.3061.731

24、52.13242.3171.80162.15252.3381.86172.17302.3991.92182.20402.49101.96192.22502.58112.00202.24752.71122.03212.261002.81132.07222.282003.023.格拉布斯準(zhǔn)則 格拉布斯準(zhǔn)則比肖維涅準(zhǔn)則更為科學(xué),它同時考慮了測量次數(shù)和置信概率的影響。該準(zhǔn)則認為，如果時，測量值為壞值的置信概率為。式中值為格拉布斯系數(shù)，其值見表3。 表3 格拉布斯系數(shù) P0.950.9750.990.995 P0.950.9750.990.99531.151.161.161.16152.412.552.

25、702.8141.461.481.491.50162.442.592.752.8551.6731.751.76172.482.622.782.8961.821.891.941.97182.502.652.822.9371.942.022.102.14192.532.682.852.9782.032.132.222.27202.562.712.883.0092.112.222.322.39242.642.782.993.11102.182.292.412.48282.712.883.073.20112.232.362.482.56322.772.943.143.27122.282.412.552

26、.64362.822.993.193.33132.332.462.612.70402.873.043.243.38142.372.512.662.76502.963.133.343.48 必須指出,按以上準(zhǔn)則判別時，若測量數(shù)據(jù)中存在兩個以上測值需要剔除,只能先剔除偏差最大的測值，然后重新計算平均值及標(biāo)準(zhǔn)偏差，再對余下的測值進行判斷，直至所有的測值均不是壞值為止。 由于大學(xué)物理實驗中大多數(shù)情況下重復(fù)測量次數(shù)小于9次，所以實驗課程中不使用拉依達準(zhǔn)則。格拉布斯準(zhǔn)則較為科學(xué)，但是涉及置信概率的考慮，較為復(fù)雜。我們一般可采用肖維涅準(zhǔn)則，必要時采用格拉布斯準(zhǔn)則判斷壞值。（四）儀器誤差1.儀器的示值誤差（限

27、）測量儀器的誤差來源往往很多，逐項進行深入的分析處理是很困難的，在絕大多數(shù)情況下也沒有必要。實際上，人們最關(guān)心的是儀器提供的測量結(jié)果與真值的一致程度，即測量結(jié)果中各儀器的系統(tǒng)誤差與隨機誤差的綜合估計指標(biāo)。在物理實驗中，常常把國家技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)或檢定規(guī)程規(guī)定的計量器具最大允許誤差或允許基本誤差經(jīng)過適當(dāng)?shù)暮喕Q為儀器誤差（限）。儀器示值差（限）用來表示，它代表在正確使用儀器的條件下，儀器示值與被測量真值之間可能產(chǎn)生的最大誤差的絕對值。儀器的示值誤差（限）通常是由制造工廠或計量部門使用更精確的儀器、量具，經(jīng)過檢定比較合格給出的，一般寫在儀器的標(biāo)牌上或說明書中，有的儀器直接給出了儀器的準(zhǔn)確等級。各類儀器的示

28、值誤差（限）與其準(zhǔn)確度等級之間都存在著一定的關(guān)系一般由儀器的量程和準(zhǔn)確度等級可以求出儀器示值誤差（限）的大小。不同的儀器、量具，其示值誤差（限）有不同的規(guī)定。例如，游標(biāo)卡尺不分精度等級，測值范圍在300mm以下的示值誤差一律取游標(biāo)的分度值。螺旋測微計分零級和一級兩類，通常實驗室使用的為一級，其示值誤差隨測量范圍的不同而不同，量程在025mm，及2050mm的一級千分尺的示值誤差均為=0.004mm。天平的示值誤差以標(biāo)尺分度值的倍數(shù)形式給出，它與天平的稱量載荷有關(guān)，本講義中約定，取天平標(biāo)尺分度值的一半做為儀器的示值誤差。電表的示值誤差，可以根據(jù)其量程和準(zhǔn)確度等級計算： =量程準(zhǔn)確度等級% 如果測

29、量儀器是數(shù)字式儀表，則取其末位數(shù)最小分度單位為示值差。在我們不能知道儀器的示值誤差（限）或準(zhǔn)確度等級的情況下，也可以取其分度值的一半做為示值誤差（限）。還有一些儀器（如電阻箱，電橋，電勢差計等）的誤差用基本誤差來表示，其值需用專用公式來計算。儀器誤差提供的是誤差絕對值的極限值，而不是測量的真實誤差，也無法確定其符號。2.儀器的標(biāo)準(zhǔn)誤差 在對測量結(jié)果的誤差評定中，隨機誤差是用標(biāo)準(zhǔn)誤差來估算的，相應(yīng)地，也需要知道儀器的標(biāo)準(zhǔn)誤差。儀器的標(biāo)準(zhǔn)誤差用表示，它實際上是一個等價標(biāo)準(zhǔn)誤差，下面要討論的是如何確定儀器的標(biāo)準(zhǔn)誤差，以及它與儀器誤差間的關(guān)系。圖7 均勻分布一般儀器誤差的概率密度函數(shù)近似服從如圖7所示

30、的均勻分布規(guī)律。在-，范圍內(nèi)，誤差出現(xiàn)的概率相同，-，區(qū)間以外出現(xiàn)的概率為零。例如，游標(biāo)卡尺的儀器誤差，儀器度盤或其它傳動齒輪的回差所產(chǎn)生的誤差，機械秒表在其分度值內(nèi)不能分辨引起的誤差，指零儀表判斷平衡的誤差等，都屬于均勻分布。均勻誤差的概率密度函數(shù)為 根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)誤差的定義，可以求出儀器的標(biāo)準(zhǔn)誤差與儀器誤差（限）的關(guān)系： 儀器標(biāo)準(zhǔn)誤差的物理含義與標(biāo)準(zhǔn)誤差類似。3 .儀器的靈敏閾 儀器的靈敏閾是指足以引起儀器示值可察覺變化的被測量的最小變化值，即當(dāng)被測量值小于這個閾值時，儀器將沒有反應(yīng)。例如，數(shù)字式儀表最末一位數(shù)所代表的量就是數(shù)字式儀表的靈敏閾。對指針式儀表，由于人眼能察覺到的指針改變量一般為0.

31、2分度值，于是可以把0.2分度值所代表的量作為指針式儀表的靈敏閾。靈敏閾越小，說明儀器的靈敏度越高。一般地講，測量儀器的靈敏閾應(yīng)該小于示值誤差（限），而示值誤差（限）應(yīng)該小于最小分度值。但是也有一些儀器，特別是實驗室中頻頻使用的儀器，準(zhǔn)確度等級可能降低了或靈敏閾變大了，因而使用這樣的儀器前，應(yīng)檢查其靈敏閾。當(dāng)儀器靈敏閾超過儀器示值誤差限時，儀器示值誤差（限）便應(yīng)由儀器的靈敏閾來代替，這一點并不難理解。 三 有效數(shù)字的記錄與運算（一）有效數(shù)字的一般概念 為了理解有效數(shù)字的概念，我們先舉一個例子。如圖8所示，用米尺測量一個物體的長度，測量結(jié)果記為13.4cm、13.5cm、13.6cm都可以。換不

32、同的測量者進行測量，前兩位數(shù)不會變化，我們稱之為準(zhǔn)確數(shù)字，但最后一位數(shù)字各人估計的結(jié)果可能略有不同，我們把這位數(shù)稱為欠準(zhǔn)數(shù)字或可疑數(shù)字。雖然最后這位數(shù)字欠準(zhǔn)，但是記上它能客觀地反映出該物體比13cm長，比14cm短的實際情況，比較合理。我們把測量結(jié)果中可靠的幾位數(shù)字加上可疑的一位數(shù)字，統(tǒng)稱為測量結(jié)果的有效數(shù)字。有效數(shù)字的上述定義，適用于直接測量量和間接測量量。 圖8 有效數(shù)字概念 需要特別指出的是，一個物理量的測量值和數(shù)學(xué)上的一個數(shù)有著不同的意義。在數(shù)學(xué)上，13.5cm和13.50cm沒有區(qū)別，但是從測量的意義上看，13.5cm表示十分位上的“5”是欠準(zhǔn)數(shù)字，而13.50cm表示十分位上的“5

33、”是準(zhǔn)確測量出來的，而百分位上的“0”才是欠準(zhǔn)的。 因為有效數(shù)字只有最后一位是欠準(zhǔn)的，因此大體上說有效數(shù)字的位數(shù)越多，相對誤差就越小。一般來說。測量結(jié)果有兩位有效數(shù)字時，對應(yīng)于 量級的相對誤差；有三位有效數(shù)字時，對應(yīng)于 量級的相對誤差。 在表示物理實驗的測量結(jié)果時，為了更方便地反映有效數(shù)字的位數(shù)，應(yīng)盡量采用科學(xué)記數(shù)法，即在小數(shù)點前只寫一位數(shù)字，用10的幾次冪來表示其數(shù)量級。例如，3.8×105m，4.123×10-7s 分別表示兩個量的有效數(shù)字是2位和4位，而如果將3 .8×105記成380 000m不但繁瑣，而且有效數(shù)字的位數(shù)錯誤，人為地將精度提高了4個數(shù)量級。

34、（二）直接測量量的有效數(shù)字的讀取在進行直接測量時，要用到各種各樣的儀器和量具。從儀器和量具上直接讀數(shù)，必須正確讀取有效數(shù)字，它是進一步估算誤差和數(shù)據(jù)處理的基礎(chǔ)。一般而言，儀器的分度值是考慮到儀器誤差所在位來劃分的。由于儀器多種多樣，讀數(shù)規(guī)則也略有區(qū)別。正確讀取有效數(shù)字的方法大致歸納如下：1.一般讀數(shù)應(yīng)讀到最小分度以下再估一位，但不一定估讀十分之一，也可根據(jù)情況（如分度的間距、刻線、指針的粗細及分度的數(shù)值等）估讀最小分度值的1/5、1/4或1/2。但無論怎樣估計，最小分度位總是準(zhǔn)確位，最小分度的下一位是估計的欠準(zhǔn)位。2.有時，讀數(shù)的估計位就取在最小分度位。如儀器的最小分度值為0.5，則0.1、0

35、.2、0.3、0.4及0.6、0.7、0.8、0.9都是估計的；如儀器最小分度值為0.2，則0.3、0.5、0.7、0.9都是估計的。這類情況都是不必再估到下一位。3.游標(biāo)類量具，只讀到游標(biāo)分度值，一般不估讀，特殊情況估讀到游標(biāo)分度值的一半。4.數(shù)字式儀表及步進讀數(shù)儀器（如電阻箱）不需要進行估讀，儀器所顯示的末位就是欠準(zhǔn)數(shù)字。5.特殊情況下，直讀數(shù)據(jù)的有效數(shù)字由儀器的靈敏閾決定。例如，在測量靈敏電流計臨界電阻時，調(diào)節(jié)電阻箱的“×10”擋，儀表上才剛剛有反應(yīng)，所以盡管電阻箱的最小步進值為 0.1，測量值也只能記錄到“×10”，如記為R=8.53×103.6.在讀取數(shù)

36、據(jù)時，如果測值恰好為整數(shù)，則必須補“0”，一直補到可疑位。例如，用最小刻度為1mm的鋼卷尺測量某物體的長度恰為12 mm時，應(yīng)記為12.0mm；如果改用游標(biāo)卡尺測量同一物體，讀數(shù)也為整數(shù)，應(yīng)記為12.00mm；如再改用千分尺來測量，讀數(shù)仍為整數(shù)，則應(yīng)記為12.000 mm；切不可一律記為12mm。（三）間接測量量有效數(shù)字的運算 間接測量量測量結(jié)果的有效數(shù)字，最終應(yīng)由測量不確定度的所在位來決定（詳見§4有關(guān)內(nèi)容）。但是在計算不確定度之前，間接測量量需要經(jīng)過一系列的運算過程。運算時，參加運算的量可能很多，有效數(shù)字的位數(shù)也不一致。如果數(shù)字相乘，位數(shù)會增加；如果相除而又除不盡，位數(shù)可以無止境

37、。為了簡化運算過程，一般可以按以下規(guī)則進行運算： 1.幾個數(shù)進行加減運算時，其結(jié)果的有效數(shù)字末位和參加運算的諸數(shù)中末位數(shù)數(shù)量級最大的那一位取齊，稱為“尾數(shù)取齊”。例如，278.2+12.451=290.7。 2.幾個數(shù)進行乘除運算時，其結(jié)果的有效數(shù)字的位數(shù)與參與運算的諸數(shù)中有效數(shù)字位數(shù)最少的那個相同，稱為“位數(shù)取齊”。例如，5.348×20.5=110。 3.一個數(shù)進行乘方、開方運算，其結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)與被乘方、開方數(shù)的有效數(shù)字位數(shù)相同。例如，。 4.一般說來，函數(shù)運算的有效數(shù)字，應(yīng)按間接量測量誤差傳遞公式進行計算后決定。在普通實驗中，為了簡便統(tǒng)一起見，對常用的對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和

38、三角函數(shù)按如下規(guī)則處理：對數(shù)函數(shù)運算結(jié)果的有效數(shù)字中，小數(shù)點后面的位數(shù)取成與真數(shù)的位數(shù)相同；指數(shù)函數(shù)運算結(jié)果的有效數(shù)字中，小數(shù)點后的位數(shù)取成與指數(shù)中小數(shù)點后的位數(shù)相同；三角函數(shù)結(jié)果中有效數(shù)字的取法，可采用試探法，即將自變量欠準(zhǔn)位上、下波動一個單位，觀察結(jié)果在哪一位上波動，結(jié)果的欠準(zhǔn)位就取在該位上。 以上所述有效數(shù)字的運算規(guī)則，只是一個基本原則，在實際問題中，為防止多次取舍而造成誤差的累積效應(yīng)，常常采用在中間運算時多取一位的辦法。在計算器和微機已經(jīng)相當(dāng)普及的今天，中間過程多取幾位有效數(shù)字不會給我們帶來太多的麻煩，所以在中間運算過程中，可以適當(dāng)多取幾位（如多取2、3位）。最后表達結(jié)果時，有效數(shù)字的

39、取位再由不確定度的所在位來一并截取。（四）有效數(shù)字尾數(shù)的舍入法則 過去對有效數(shù)字的尾數(shù)采用“四舍五入”的規(guī)則來修約，但是這樣處理“入”的機會總是大于“舍”的機會，引起最后結(jié)果偏大。為了彌補這一缺陷，目前普遍采用“小于五舍去，大于五進位，等于五湊偶”的規(guī)則來修約。例如，將下列數(shù)據(jù)保留三位有效數(shù)字的修約結(jié)果是：3.542 23.54 小于五舍去 3.545 03.54 等于五湊偶3.546 63.55 大于五進位 3.545 013.55 大于五進位 3.535 03.54 等于五湊偶 3.544 993.54 小于五舍去  四 測量結(jié)果的不確定度評定（一）測量不確定的基本概念

40、1.不確定的定義    前面對測量中可能存在的各種誤差做了簡要介紹。這些誤差的存在，使得測量結(jié)果具有一定程度的不確定性。所以，對某一物理量進行測量，我們只能知道測量值N與真值之差的絕對值以一定概率分布在之間，用公式表示為 （置信概率為P） （13）   其中，u值可以通過一定的方法進行估算，稱為不確定度，它表征真值以某置信概率存在的范圍，是對測量結(jié)果不確定性的度量。    1980年，國際計量局提出了關(guān)于“實驗不確定度”的建議書，建議用不確定度來評價測量的質(zhì)量。1981年，第17屆國際計量大會通

41、過了采納“建議書”的決議。我國計量科學(xué)院在1986年也發(fā)出了用不確定度作為誤差指標(biāo)名稱的通知。國家技術(shù)監(jiān)督局決定于1992年10月1日正式開始采用不確定度進行誤差的評定工作。在實驗中全面采用不確定度來評價測量的結(jié)果已成為必然的趨勢。    嚴(yán)格的不確定度理論比較復(fù)雜?？紤]到本課程的性質(zhì)，對不確定度評定的介紹將在保證其科學(xué)性的前提下，適當(dāng)加以簡化，以免初學(xué)者不得要領(lǐng)。2.不確定度的分量    由于誤差的來源很多，測量結(jié)果的不確定度一般也包含幾個分量。在修正了可定系統(tǒng)誤差之后，把余下的全部誤差歸為A、B兩類不確定度分量

42、。    不確定度A類分量uA:多次重復(fù)測量，用統(tǒng)計方法求出的分量。直接測量量的A類不確定度分量就用平均值的實驗標(biāo)準(zhǔn)差表示，即 （14）    不確定度類分量：用其他非統(tǒng)計方法估算的分量。在實驗中盡管有多方面的因素存在，本講義中一般只考慮儀器誤差這一主要因素。    我們用儀器的等價標(biāo)準(zhǔn)差近似表示不確定度類分量，式中可以是儀器的示值誤差（限）、基本誤差或儀器的靈敏閾。因子c與儀器誤差的分布規(guī)律有關(guān)。如果儀器誤差服從均勻分布規(guī)律，則；若服從正態(tài)分布，則；在不能確定其分布規(guī)律的情

43、況下，本著不確定度取偏大值的原則，也取。本講義中，我們一律將c取為，即 （15）（二）直接測量結(jié)果的不確定度評定.合成不確定度    在各不確定度分量相互獨立的情況下，將兩類不確定度分量按“方和根”的方法合成，構(gòu)成合成不確定度，即 （16）    在許多情況下，需要采用95%、99%或99.7%的較高的置信概率。這時，可以在合成不確定度前乘以一個包含因子來求擴展不確定度。待測量的不確定度服從正態(tài)分布時，對應(yīng)于置信概率，近似地?。粚?yīng)于置信概率，近似地可??；對應(yīng)與置信概率，。   

44、60;我們認為，物理實驗課對誤差處理的要求，主要在于建立正確的概念，而不拘泥于對某一值的精確計算，從這一觀點出發(fā)，本書除特別說明外，置信概率均取68.3%。2.測量結(jié)果的不確定度表示    按照國際計量局1980年的建議書，直接測量量X的測量結(jié)果可表示為 (單位) (17)    對于測量結(jié)果，同時還可以用相對不確定度表示： (18)這里應(yīng)特別注意兩點：    (1) 不確定度有效數(shù)字的取位 由于不確定度本身只是一個估計范圍，所以其有效數(shù)字一般只取一或二位。在本課程中為了教學(xué)規(guī)范，我們

45、約定對測量結(jié)果的合成不確定度（或總不確定度）只取一位有效數(shù)字，相對不確定度可取兩位有效數(shù)字。此外，我們還約定，截取剩余尾數(shù)一律采取進位法處理，即剩余尾數(shù)只要不為零，一律進位，其目的是保證結(jié)果的置信概率水平不降低。    (2) 測量結(jié)果有效數(shù)字的取位 對測量結(jié)果本身有效數(shù)字的取位必須使其最后一位與不確定度最后一位取齊。截取時，剩余尾數(shù)按“小于5舍去，大于5進位，等于5湊偶”的規(guī)則修約。所以，是正確的表示，而或均是不正確的表示。    例如，用數(shù)字毫秒計測得某單擺周期的算術(shù)平均值為，經(jīng)計算，求出置信概率時的不確定度為，其結(jié)果應(yīng)

46、表示為（）該式表示此單擺周期的真值落在范圍內(nèi)的概率有68.3%。這一測量列的相對不確定度為3.直接測量量不確定度評定的步驟    假設(shè)某直接測量量為X，其不確定度評定的步驟歸納如下：   （1）修正測量數(shù)據(jù)中的可定系數(shù)誤差；   （2）計算測量列的算術(shù)平均值作為測量結(jié)果的最佳值；   （3）計算測量列任一次測量值的實驗標(biāo)準(zhǔn)差；   （4）審查各測值，如有壞值則予以剔除，剔除后再重復(fù)步驟(2)、(3)   &

47、#160;     （5)計算平均值的實驗標(biāo)準(zhǔn)差作為不確定度類分量；   （6）計算不確定度類分量；   （7）求合成不確定度及擴展不確定度，當(dāng)不確定度正態(tài)分布時，置信概率取68.3%、95%和99.7%時, 可分別取近似值為1、2、3；（8）寫出最終結(jié)果表示式：     例   用一級千分尺對一小球直徑測量8次，測量結(jié)果見下表第二行數(shù)據(jù)，千分尺的零點讀數(shù)為0.008mm，試處理這組數(shù)據(jù)并給出測量結(jié)果。次數(shù)12345

48、678D/mm2.1252.1312.1212.1242.1262.1232.1292.127D/mm2.1172.1232.1132.1162.1182.1152.1212.119    解  (1) 修正千分尺的零點誤差：，填入上表第三行；   （2）直徑的算術(shù)平均值；   （3）某次測值的實驗標(biāo)準(zhǔn)差為(中間運算多取一位，下同) （4）按肖維涅準(zhǔn)則時，系數(shù),則應(yīng)保留測值范圍為，即。經(jīng)檢查，無壞值。 （5）A類分量的估算值（平均值的實驗標(biāo)準(zhǔn)差）：       （6）B類分量的估算值：按照國家計量標(biāo)準(zhǔn)，一級千分尺在測量范圍0100mm內(nèi)的儀器誤差限； （7）合成不確定度 （8）測量結(jié)果為若取P=95%，則擴展不確定度，測量結(jié)果為 在這里，我們還應(yīng)該特別說明對于單次測量的不確定度處理。在實際測量中，有些量是隨時間變化的，無法進行重復(fù)測量；也有些量因為對它的測量精度要求不高，沒有必要進行重復(fù)測量；還有些量由于儀表