第七章差分方程模型

1、第7章 差分方程模型7.1 市場經(jīng)濟中的蛛網(wǎng)模型7.3 差分形式的阻滯增長模型7.4 按年齡分組的種群增長§7.1 市場經(jīng)濟中的蛛網(wǎng)模型例1 蛛網(wǎng)模型問題問題的提出 蛛網(wǎng)模型現(xiàn)象 供大于求 -> 價格下降 -> 減少產(chǎn)量 數(shù)量與價格在振蕩 增加產(chǎn)量 <- 價格上漲 <- 供不應(yīng)求 提出的問題 1.描述商品數(shù)量與價格的變化規(guī)律 2.商品數(shù)量與價格的振蕩在什么條件下趨向穩(wěn)定 3.當(dāng)不穩(wěn)定時政府能采 取什么干預(yù)手段使之穩(wěn)定模型分析與假設(shè)蛛網(wǎng)模型設(shè)第k時段商品數(shù)量；第k時段商品價格消費者的需求關(guān)系 需求函數(shù) 減函數(shù)fxy0生產(chǎn)者的供應(yīng)關(guān)系 供應(yīng)函數(shù) 增函數(shù)gx0y0

2、P0f與g的交點P0(x0,y0) 平衡點一旦xk=x0，則yk=y0xk+1,xk+2,=x0, yk+1,yk+2, =y0 方程模型在P0點附近用直線近似曲線 P0穩(wěn)定 P0不穩(wěn)定 方程模型與蛛網(wǎng)模型的一致 模型的求解考察 , 的含義xk第k時段商品數(shù)量；yk第k時段商品價格a 商品數(shù)量減少1單位, 價格上漲幅度b 價格上漲1單位, (下時段)供應(yīng)的增量a 消費者對需求的敏感程度 a小, 有利于經(jīng)濟穩(wěn)定b 生產(chǎn)者對價格的敏感程度 小, 有利于經(jīng)濟穩(wěn)定 經(jīng)濟穩(wěn)定經(jīng)濟不穩(wěn)定時政府的干預(yù)辦法1. 使盡量小，如=0 需求曲線變?yōu)樗?以行政手段控制價格不變2. 使盡量小，如 =0 供應(yīng)曲線變?yōu)樨Q

3、直 靠經(jīng)濟實力控制數(shù)量不變 xy0x0gfxy0y0gf模型的推廣 生產(chǎn)者管理水平提高 生產(chǎn)者根據(jù)當(dāng)前時段和前一時段的價格決定下一時段的產(chǎn)量。 設(shè)供應(yīng)函數(shù)為 需求函數(shù)不變 二階線性常系數(shù)差分方程若x0為平衡點 研究平衡點穩(wěn)定，即¥, xkx0的條件方程通解 (c1, c2由初始條件確定)l特征根，即方程 2*+ =0的根 平衡點穩(wěn)定，即, xkx0的條件: 平衡點穩(wěn)定條件比原來的條件放寬了7.3 差分形式的阻滯增長模型連續(xù)形式的阻滯增長模型 (Logistic模型)x(t) 某種群 t 時刻的數(shù)量(人口) , xN, x=N是穩(wěn)定平衡點(與r大小無關(guān))離散形式 yk 某種群第k代的數(shù)

4、量(人口)若yk=N, 則yk+1,yk+2,=Ny*=N 是平衡點討論平衡點的穩(wěn)定性，即®¥, yk®N ？離散形式阻滯增長模型的平衡點及其穩(wěn)定性 變量代換 一階(非線性)差分方程 (1) 的平衡點y*=N <-> (2)的平衡點 討論 x* 的穩(wěn)定性一階非線性差分方程的平衡點及穩(wěn)定性(1) 的平衡點 x*代數(shù)方程 x=f(x)的根(1) 的近似線性方程 穩(wěn)定性判斷 x*也是(2)的平衡點 x*是(2)和(1)的穩(wěn)定平衡點 x*是(2)和(1)的不穩(wěn)定平衡點的平衡點及其穩(wěn)定性 平衡點 另一平衡點為 x=0穩(wěn)定性 <-> <->

5、 x* 穩(wěn)定 不穩(wěn)定 <-> x* 不穩(wěn)定 的平衡點及其穩(wěn)定性 Kb=1.7b=2.6b=3.3b=3.45b=3.5500.20000.20000.20000.20000.200010.27200.41600.52800.55200.568020.33660.63170.8224 0.85320.871130.37960.60490.48200.43220.3987930.41180.61540.4794 0.44740.5405940.41180.61540.82360.85300.8817950.4118 0.61540.47940.43270.3703960.41180.6

6、1540.82360.84690.8278970.41180.61540.47940.44740.5060980.41180.61540.82360.85300.8874990.41180.61540.47940.43270.35481000.41180.61540.82360.84690.8127數(shù)值計算結(jié)果 初值 x0=0.2 b <3, xb=3.3, x兩個極限點b=3.45, x4個極限點b=3.55, x8個極限點倍周期收斂x*不穩(wěn)定情況的進一步討論 單周期不收斂 2倍周期收斂 (*)的平衡點 x*不穩(wěn)定，研究x1*, x2*的穩(wěn)定性倍周期收斂 的穩(wěn)定性 x1*x2*x*b=

7、3.4y=f(2)(x)y=xx0 倍周期收斂的進一步討論 x1*, x2* (及x*)不穩(wěn)定出現(xiàn)4個收斂子序列 x4k, x4k+1, x4k+2, x4k+3平衡點及其穩(wěn)定性需研究 時有4個穩(wěn)定平衡點 4倍周期收斂2n倍周期收斂, n=1,2, bn 2n倍周期收斂的上界b0=3, b1=3.449, b2=3.544, ¥, bn3.57b>3.57, 不存在任何收斂子序列 混沌現(xiàn)象的收斂、分岔及混沌現(xiàn)象b7.4 按年齡分組的種群增長不同年齡組的繁殖率和死亡率不同以雌性個體數(shù)量為對象建立差分方程模型，討論穩(wěn)定狀況下種群的增長規(guī)律假設(shè)與建模種群按年齡大小等分為n個年齡組，記i=1,2, , n時間離散為時段，長度與年齡組區(qū)間相等，記k=1,2,第i 年齡組1雌性個體在1時段內(nèi)的繁殖率為bi第i 年齡組在1時段內(nèi)的死亡率為di, 存活率為si=1- dixi(k)時段k第i 年齡組的種群數(shù)量(設(shè)至少1個bi>0)Leslie矩陣(L矩陣)按年齡組的分布向量 預(yù)測任意時段種群按年齡組的分布數(shù)學(xué)知識的分析L矩陣存在正單特征根l1，特征向量 若L矩陣存在bi, bi+1>0, 則 且, c是由bi, si, x(0)決定的常數(shù)解釋 L對角化 P的第1列是x* 模型的求解穩(wěn)態(tài)分析k充分大種群按年齡組的分布 種群按年齡