圓錐曲線焦點弦長公式(極坐標參數(shù)方程)

1、圓錐曲線焦點弦長公式(極坐標參數(shù)方程)圓錐曲線的焦點弦問題是高考命題的大熱點，主要是在解答題中，全國文科一般為壓軸 題的第22題，理科和各省市一般為第21題或者第20題，幾乎每一年都有考察。由于題目 的綜合性很高的，運算量很人，屬于高難度題目，考試的得分率極低。本文介紹的焦點弦長 公式是圓錐曲線(橢圓、雙曲線和拋物線)的通用公式，它是解決這類問題的金鑰匙，利用 這個公式使得極其復雜的問題變得簡單明了，中等學習程度的學生完全能夠得心應手！ ？定理 已知圓錐曲線(橢圓、雙曲線或者拋物線)的對稱軸為坐標軸(或平行于坐標軸), 焦點為F,設傾斜角為CT的宜線1經(jīng)過F,且與圓錐曲線交于A、B兩點，記圓錐

2、曲線的離 心率為e,通徑長為H,則(1)當焦點在x軸上時，弦AB的長| AB|=H11-e2 cos2 a |(2)當焦點在、軸上時，弦AB的長|AB|=H11-e2 siii2 a |#推論： H(1)焦點在x軸上，當A.B在橢圓、拋物線或雙曲線的一支上時，| AB|= 三l1-e* cos* a當A. B不在雙曲線的-支上時，Zb 器=當圓錐曲線長拋物線時,Hsin2 a#(2)焦點在y軸上，當入B在橢圓、拋物線或雙曲線的一支上時,| AB|=5_1-e" siii* aH當A. B不在雙曲線的一支上時，|AB|=;當圓錐曲線是拋物線時,e" sin" a-I

3、 AB|=Hcos2 a典題妙解卜-而以部分高考題為例說明上述結論在解題中的妙用.2 2例1 (06湖南文第21題)已知橢圓C1：+= 1,拋物線(y-m)2 =2px(p >0),43且CC?的公共弦AB過橢圓C】的右焦點.(I)當AB丄x軸時，求p, m的值，并判斷拋物線C?的焦點是否在直線AB上;4(D)若p =-且拋物線U的焦點在直線AB上，求m的值及直線AB的方程.3#例2 (07全國I文第22題)已知橢圓+ = 1的左、右焦點分別為F2,過片的宜線交橢圓于以D兩點，過比的宜線交橢圓于入C兩點，且AC丄BD,垂足為P.(1) 設P點的坐標為(卞，y0),證明：牛+豊_vi.求四

4、邊形ABCD的面積的最小值.3例3 (08全國I理第21題文第22題)雙曲線的中心為原點O,焦點在x上.兩條漸近線分別為h、12,經(jīng)過右焦點F垂直于h的宜線分別交J于A、B兩點.已知|OA|.|AB|. |OB|成等差數(shù)列，且BF與FA同向.(I)求雙曲線的離心率；(D)設AB被雙曲線所截得的線段的長為4,求雙曲線的方程.#金指點睛1. 己知斜率為1的直線1過橢圓+x2= 1的上焦點F交橢圓于A、B兩點，則4I ABF22. 過雙曲線X2- = 1的左焦點F作傾斜角為冬的直線1交雙曲線于A、B兩點，則36|AB|=3. 己知橢圓X? + 2y2 - 2 = 0 ,過左焦點F作直線1交A、B兩點

5、，O為坐標原點，求AOB的最大面積.54.已知拋物線y2 =4px ( p >0),弦AB過焦點F.設|AB|=m AAOB的面積為S,s求證：為定值.m5. （05全國U文第22題）P、Q、M、N四點都在橢圓X2+- = l±, F為橢圓在y軸正半軸上的焦點.已知FF與帀共線，游與融共線，且函解=o.求四邊形PQMN的面積的最大值和最小值.6. (07重慶文第22題)如圖，傾斜角為a的直線經(jīng)過拋物線寸=8X的焦點F,且與拋物線 交于A、B兩點.(I )求拋物線的焦點F的坐標及準線1的方程；(U )若Q為銳角,作線段AB的垂直平分線m交x軸于點P,證明|FP|-|FP|cos2

6、a為定值，并求此定值.7點M與點F (0,2)的距離比它到直線1: y + 3 = 0的距離小1.(1)求點、I的軌跡方程;(2)經(jīng)過點F且互相垂直的兩條直線與軌跡相交于人B； C、D.求四邊形ACBD的最小面積98.已知雙曲線的左右焦點片、F2與橢圓2 + y? = 1的焦點相同，且以拋物線y2 = -2X的 準線為其中一條準線.(1) 求雙曲線的方程；(2) 若經(jīng)過焦點F,且互相垂直的兩條直線與雙曲線相交于A、B； C、D.求四邊形ACBD 的面積的最小值.#參考答案:X y*C證明：設雙曲線方程為r- = 1（a>0 b>0）,通徑離心率e = ,a" b"

7、;aa弦AB所在的直線1的方程為y =k（x+c）（其中k二tana, a為航線1的傾斜角），其參數(shù)方程為'（t為參數(shù)）.fx= -c + tcosa y = tsina代入雙曲線方程并整理得:(a2b2ccos6Z 、<>-4b2;);a2 sin2 a-b2 cos2 a a2 sin2 a-r cos2 a=2ab| a2 siir a-b2 cos2 a 2b2a 11-e2 cos2 a |2b2a11-e2 cos2 a|H11-e2 cos2 a |例1.解：（I ）當AB丄x軸時，點A、B關于k軸對稱 m=0.直線AB的方程為 x = 1.33從而點A的坐標

8、為（1,三）或（L-）. 2點A在拋物線C2 h, 9此時拋物線U的焦點坐標為（,0）,該焦點不在直線AB上sin2a-b2 cos2 a)-t2 + 2b2ccosa-t-b 16（11）設直線AB的傾斜角為a,由（I ）知&工蘭.2則肓線AB的方程為丫= taiia-（x-l） = 0由t的幾何意義可得:I=Jg +七2)2 _4卯2118拋物線C?的對稱軸y = m平行于x軸，焦點在AB上，通徑H =2p = §,離心率e = l, 于是有H81 AB|=snr a3(1-cos* G)2b1又AB過橢圓C】的右焦點，通徑H= = 3,離心率二|AB|=H11-e2 c

9、os2 a |128 12 3(1 一 cos2 a) 4-cos3 a解之得：cos2 & =丄tana = ±V671/. m=tana3從而m = ± 3拋物線C?的焦點F (, m)在直Hi y= tana-(x-l)上,時，直線AB的方程為V6x+y-V6 = 0：當m=- 時，直線AB的方程為V6x-y-76 = 0 322例 2. (1)證明：在 一*= 1 中，a = b = V2» c = 1.32v ZFiPFj =90。, O 是 F F?的中點，*1 OP 1= 3 丨 FF? |= c = 1.得 Xq + y0 = 1.點p在圓

10、x2 + y2 =1上.2 2顯然，圓X2 4- y2 = 1在橢圓+ 2L = 1的內(nèi)部. 32故 LVI.32解：如圖，設直線BD的傾斜角為"，由AC丄BD可知，直線AC的傾斜角彳+Q通徑=學離心率e沖又VBD. AC分別過橢圓的左、右焦點F、F.于是1-e* cos a 3-cos* a|AC!=5=l_e2C0S2(5+a) 3-sinP2四邊形ABCD的面積S = |BD|AC|1 4343=2 3-cos2 a 3-sin2 a9624+sin2 la a g o,兀 sin2 la g 04.竺，4 96 故四邊形ABCD面積的故小值為.25例頭解：（I）設雙曲線的方程

11、為汁V | OA| . I AB|. |OB| 成等差數(shù)列，設 |AB|=m,公差為 d,貝ij | OA|= m-d ,| OB |= m+ d , (m- d)2 + m2 = (m+ d)2.即 nr - 2dm+ d2 + nr = nr + 2dm+ d23m5m/. d = 從而|OA|= , |"651=444又設直線li的傾斜角為a,則ZAOB=2a. 1】的方程為y = -x abzI ABI 4/. tana =.而tan2a = tanZAOB =a|OA| 315通徑H=2b x = b aa2 tana2更4_= 41-tan2 a . ,b 231弋）解之

12、得：2 =丄.a 2e = J1 + （I）2=T(II)設過焦點F的直線AB的傾斜角為0,則0 = - + a7（七2c 工">tan* a'丿1/. cos& = -sma.而sni* a s=-1+ tail* a .,1、251十（？.cos2 6=-5又設直線AB與雙曲線的交點為M、N.于是有：| MN|= =4.1-e* cos* 0解得b = 3,從而a = 622/.所求的橢圓方程為- = 1.3691.解：a = 2,b = l,c = J,離心率e = £ =丄3 ,通徑日=亠一=1,直線1的傾斜角 a 2a7T a =4“吋仁缶(

13、込:(仔 22.解：a = l,b = V3,c = 2,離心率e = - = 2,通徑H = = 6,直線的傾斜角a =- aa63解:a = >/2,b = l,c = 1,左焦點 F(-1,0) 離心率e = £ = C,通徑 a 22b2a=vi.?b2 l當直線1的斜率不存在時，1丄x軸，這時| AB |= H = =V2 f高| OF |= c = 1, aAA0B 的而積S = 1xV2x1 = 2l1.2 2設直線1的傾斜角為a,則其方程為y= tana(x+l),即tana x- y+tana =0,原點,|Oxt a (h+1a | _n| t a n Jt

14、 泌 4iiIs a|cH1 AB|rr1-e* cos* a近七).C0SP當直線1的斜率存在時,O 到直線 AB 的距離a.2 Vi _ 2 Vi2-cos2 a 1 + shi2 ay/2 siii a:.AAOB 的面枳 s = -x| AB|xd =；一21 + siira 0 V a V zr, shier >0 從而 1 + siii2 a > 2sina .小 “ VJsinayfl:.S <=2sina 2當且僅當sin6Z = l,即a詔時，“=”號成立.故沁的最大面積為V24.解：焦點為F(p,0),通徑H =4p.當直線AB的斜率不存在時.AB丄X軸.

15、這時| AB|=m=4p,高|OF |= p. AAOB的面積S = 1 x| AB|x|OF |=2ps2/P4/P4=pj,是定優(yōu)mm4p當直線AB的斜率存在時，設直線的傾斜角為a,貝|J其方程為y =tana（x-p）,即 tancrx- y+ptana = O , 原點 O 到直線 AB 的距離d= Iptaiml =ta=psiim Jtaifa + l I seca|4p sin2 a19#p為定值）.m sill* a m sin* a 4pc -.不論直線AB在什么位置，均有=p3111如圖，設直線PQ的傾斜角為"則直線MN的傾斜角-+ a2?b2/Jl通徑H= J

16、=離心率e =.于是有a2in 逬+ a)2y/22-cos2 a|PQI=H1-e2 sin2 a2血2-siir a四邊形PQMN的面積7n- Aaob 的面枳 s = -x| AB|xd =二2sin a5.解：在橢K|X2 + 2L = 1 中，a = JI b = L c = l.2由己知條件，MN和PQ是橢圓的兩條弦，相交于焦點F （0,1）.且MN丄PQ.#S = |MN|.|PQ|1 2V22V2=2 2-cos2 a 2-siii2 a _ 168 + sin2 2a a g 0,:. sin2 2a g 04,#|EF I 4從而I尸卩A “so sinPAB故四邊形PQN

17、IN而枳的/小值和城人值分別為一和2.96(I )解：2p = &p = 4拋物線的焦點F的坐標為(0.2), 準線1的方程為x=-2.(1【)證明：作AC丄1于C, FD丄AC于D通徑H =2p = 8HQ則| AB|= = JEF 冃 FP|cosa,| AD|=| AF |cosa sin- a sin aI AF |=| AC |=| AD| +p =| AF | cosa + 4.44 4cos<7eehafihaehafh-iabh#|FP|-|FP| cos2a =| FP|(1-cos2a)=二一 2sin2 a = 8. siir a故|FP|-|FP|cos2

18、q為定值,此定值為8.7.解：(1)根據(jù)題意，點M與點F (0,2)的距離與它到直線l：y=-2的距離相等,點M的軌跡是拋物線點F(0,2)是它的焦點，直線l:y = 2是它的準線.從而=2 , p = 42所求的點M的軌跡方程是x2 =8y.(2) 兩條互相垂直的直線與拋物線均有兩個交點， 它們的斜率都存任如圖，設直線ab的傾斜角為a, 則直線CD的傾斜角為90。+ a.拋物線的通徑H =2p = 8,于是有:H8cos'(90°+a) sin2 aHQI 應 1=s =s，l CD |=cos* a cos* a:.四邊形ACBD的面積S=l| AB|-|CD|21 8 8=.2 cos2 a sin2 a