投籃問題的數學建模精編WORD版

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上 IBM system office room 【A0816H-A0912AAAHH-GX8Q8-GNTHHJ8】投籃問題的數學建模精編WORD版專心-專注-專業(yè)摘 要如今全民大愛籃球運動，投球的命中率是一場比賽輸贏的關鍵所在，能否投入籃筐與投球時運動員所處的位置、投球時的角度和投球時的出手速度有很大關系，該論文主要以罰球為出發(fā)點，排除了運動員因運動而造成的各種不利因素，討論其罰球時球心與籃筐中心距離，球心所處高度以及投球速度之間的變化對球入籃的影響。把其簡化成物理學上的上拋運動，對其水平上用勻速運動討論起運動規(guī)律，在垂直方向以初速度為投球時的速度v，加速度為g做均減

2、速運動討論其運動規(guī)律。綜合求解出其運動軌跡，利用導數意義，求出所需高度，速度等變量的最值，得出以下結論和規(guī)律，在標準的籃球場上，當運動員出手速度和出手角度均隨著出手高度增加而減小，但當出手高度一定時，出手速度越大則球入筐時的入射角度也越大，速度一定時，出手高度越大，出手角度應越大，但是隨著速度的增加，高度對出手角度的影響變小，說明取決出手角度的變化對出手速度更為敏感。在出手高度為1.82.1m之間時，出手速度一般要大于8m/s。入射角度一般需要大于。分析出手角度和出手速度的最大偏差，得出速度越大，出手角度的允許偏差越小，而出手速度的允許偏差越大，且對出手角度的要求比對出手速度的要求嚴格;出手速

3、度一定時，出手高度越大，出手角度的允許偏差越小，出手速度的允許偏差越大。關鍵詞：投籃，出手高度，出手速度，入射角度 問題提出在激烈的籃球比賽中，提高投籃命中率對于獲勝無疑起著決定作用，而出手角度和出手速度是決定投籃能否命中的兩個關鍵因素。這里討論比賽中最簡單、但對于勝負也常常是很重要的一種投籃方式罰球。我們建立數學模型研究以下數學問題：1)先不考慮籃球和籃框的大小，把它們的中心看成質點，只是簡單的討論球心命中框心的條件。對不同的出手高度h和出手速度v，確定所對應的不同的出手角度時所對應的不同籃框的入射角度；2)考慮籃球和籃框的大小，討論球心命中框心且球入框的條件。檢查上面得到的出手角度和籃框的

4、入射角度是否符合這個條件；3)為了使球入框，球心不一定要命中框心，可以偏前或偏后(這里暫不考慮偏左或偏右)， 只要球能入框就成，討論保證球入框的條件下，出手角度允許的最大偏差，和出手速度允許的最大偏差；4)考慮在空氣阻力的影響條件下，討論球心命中框心的條件；1問題的分析與模型的建立1.1 模型假設 、假設球出手后不考慮自身的旋轉； 、不考慮籃球碰籃板； 、不考慮空氣阻力對籃球的影響時；符號假定 d 籃球直徑 D 籃框直徑 L 罰球點和籃框中心的水平距離 H 籃框中心的高度 h 籃球運動員的出手高度 v 籃球運動員投籃出手速度 按照標準尺寸，L=4.6m，H=3.05m，d=24.6cm，D=4

5、5cm1.2、問題的分析與模型的建立 問題1)的分析與模型的建立不考慮籃球和籃框的大小的簡單情況，相當于將球視為質點（球心）的斜拋運動。將坐標原點定在球心P，列出x(水平)方向和y（豎直）方向的運動方程，就可以得到球心的運動軌跡，于是球心命中框心的條件可以表示為出手角度與出手速度、出手高度之間的關系，以及籃框的入射角度與出手角度，由此可對不同的出手速度、出手高度，計算出手角度和入射角度。圖1.1 投籃模型 由于不考慮籃球和籃筐的大小，不考慮空氣阻力的影響，從未出手時的球心p為坐標原點，x軸為水平方向，y軸為豎直方向，籃球在 t=0時以出手速度 v和出手角度投出，可視為質點(球心)的斜拋運動，其

6、運動方程是我們熟知的 (1.1)其中g是重力加速度，由此可得到球心運動軌跡為如下拋物線： (1.2)以x=L，y=H-h代入上式，就得到球心命中框心的條件 (1.3)可以看出，給定出手速度v和出手高度h，有兩個出手角度滿足這個條件。而上式有解的前提為 (1.4)可對v求解得 (1.5)于是對于一定的高度h，使上式等號成立的為最小出手速度v它是h的減函數。由(1.3)式計算出兩個出手速度角度記作、且設，可以看出是h和v的減函數球入籃筐時的入射角度可從下式得到 (1.6)這里的導數由(1.2)式計算代入后可得 (1.7)于是對應于、，有、，設 問題2)的分析與模型的建立： 考慮籃球和籃框的大小時，

7、籃球的直徑d，籃框的直徑D。顯然，即使球心命中球框，若入射角太小，球會碰到框的近側A，不能入框。如圖所示：圖1.2 球入籃時的模型由圖不難得出滿足的球心應命中框心且球入框的條件。 (1.8)將d=24.6cm，D=45.0cm代入得 ，前面計算結果中不滿足這個條件的，當然應該去掉。 問題3)的分析與模型的建立： 球入框時，球心可以偏離框心，偏前的最大距離為，可以從入射角算出.根據和球心軌跡中x與的關系，能夠得到出手角度允許的最大偏差，出手速度v允許的最大偏差可以類似的處理。球入筐時球心可以偏前(偏后與偏前一樣)的最大距離為 (1.9)為了得到出手角度允許的最大偏差，可以在(1.3)式中以L+代

8、替L重新計算，但是由于中包含，從而也包含，所以這種方法不能解析的求出。如果從(1.2)式出發(fā)并將y=H-h代入，可得 (1.10)對求導并令x=L，就有 (1.11)用近似代替左邊的導數，即可得到出手角度的偏差與的如下關系 (1.12)由和已經得到的也容易計算相對偏差類似的，(1.10)式對v求導并令x=L，可得到出手速度允許的最大偏差 (1.13)由(1.12)、(1.13)式的相對偏差為 (1.14)2模型的求解及結果分析2.1對不同出手高度的最小出手速度和對應的出手角度使(1.5)式等號成立的v為最小出手速度，在這個速度下由(1.3)式可得相應的出手角度為 (2.1)取出手高度 h=1.

9、82.1(m)，利用公式求出，再根據，求出，用MATLAB求解，代碼如下：function v=fun(h);H=3.05;g=9.8;L=4.6;v=sqrt(g*H-h+sqrt(L2+(H-h)2);fun(1.8)ans = 7.6789fun(1.9)ans = 7.5985fun(2.0)ans = 7.5186fun(2.1)ans = 7.4392結果如下圖所示。表2.1對不同出手高度的最小出手速度和對應的出手角度h(m) (m/s)(度)1.87.678952.60121.97.598552.01812.07.518651.42902.17.439250.8344由此得出，對

10、應與最小出手速度是最小出手角度，他們均隨著出手高度的增加而略有減小;出手速度一般不要小于8米/秒.2.2 對不同的出手速度和出手高度的出手角度和入射角度對出手速度v=8.09.0(m/s)和出手高度1.82.1(m)，由公式，用MATLAB求解、function f=fun1(v);L=4.6;H=3.05;g=9.8;h=1.8;t=v2/(g*L)*(1+sqrt(1-2*g/v2*(H-h+g*L2/(2*v2);f=atan(t)/pi*180;fun1(8.0)ans = 62.4099用此求出所有的，同理可求出function f=fun1(v);L=4.6;H=3.05;g=9.

11、8;h=1.8;t=v2/(g*L)*(1-sqrt(1-2*g/v2*(H-h+g*L2/(2*v2);f=atan(t)/pi*180;fun1(8.0)ans = 42.7925求出所有的，利用所求出的，再根據公式，計算出不同的出手角度、所對應的不同的入射角度、，結果見下表2表2.2 對不同出手速度和出手高度的出手角度和入射角度v(m/s)h(m)8.01.81.92.02.162.409963.117463.728164.267042.792540.918839.130037.401953.876355.820657.494158.961520.921320.143119.647819

12、.36988.51.81.92.02.167.697568.028868.336768.624437.504936.007534.521433.044462.172663.188464.117964.972912.625012.775313.024013.35839.01.81.92.02.171.069771.274971.470071.656134.132732.761431.388130.012767.142667.797468.409868.98407.65508.16638.73219.3472根據前面計算，應大于才能保證球入框，這里的均小于，不滿足條件，所以在考慮籃球和籃框大小的實

13、際情況下，出手角度只能是所對應的?？梢园l(fā)現，速度一定時，出手高度越大，出手角度應越大，但是隨著速度的增加，高度對出手角度的影響變小，這種影響在左右；出手高度一定時，速度越大，出手角度也應越大，出手速度的影響在之間。2.3 分析出手角度和出手速度的最大偏差利用和上面所求的的，計算出手角度最大偏差和 ，再利用(13)、(14)式計算出手速度的最大偏差和，下面只將h=1.8(m)，h=2.0(m)的結果列入下表中。 表2.3 出手角度和出手速度之間的偏差關系h(m) (度)v(m/s)1.862.409967.697571.06978.08.59.0-0.7562-0.5603-0.45700.05

14、280.06940.08031.22610.82760.64310.65970.81670.89252.063.728168.336771.47008.08.59.0-0.7100-0.5411-0.44630.06010.07340.08321.11400.79180.62440.75110.86400.9243總的看來，允許偏差都相當小。進一步分析可知，速度越大，角度的允許偏差越小，而速度的允許偏差越大，且對角度的要求比對速度的要求嚴格；出手速度一定時，高度越大，出手角度的允許偏差越小，出手速度的允許偏差越大，但這時對出手角度和出手速度的要求都相對較低。3模型的改進3.1當考慮空氣阻力的影響時，出手角度有什么變化?？紤]水平方向的阻力時，應該用微分方程求解球心的運動軌跡，由于阻力很小，可作適當簡化。然后與前面類似的作各種計算。 假設只考慮水平方向的阻力，且阻力與速度成正比，設比例系數為 k。這時水平方向的運動由微分方程 (3.1)其解為： (3.2)因為阻力不大，時間t也很小(約1秒)，所以將(3.2)式中的公式做泰勒展開后忽略二階以上的項得到(不考慮豎直方向的阻力，故 y(t)仍與(1.1)式相同)，得到 (3.3) 在不考慮籃球和籃筐大小時，球心命中框心的條件由方程組 (3.4)