計算動力學(xué)第一章

1、1大連理工大學(xué)運(yùn)載工程與力學(xué)學(xué)部大連理工大學(xué)運(yùn)載工程與力學(xué)學(xué)部21.1 1.1 振動的概念振動的概念1.2 1.2 單自由度系統(tǒng)自由振動單自由度系統(tǒng)自由振動1.3 1.3 單自由度系統(tǒng)強(qiáng)迫振動單自由度系統(tǒng)強(qiáng)迫振動1.4 1.4 兩個自由度系統(tǒng)的振動兩個自由度系統(tǒng)的振動1.5 1.5 非線性振動概述非線性振動概述第第1章章 緒論緒論31.1 振動的概念振動的概念振動：振動：就是物體在靜平衡位置附近所作的往復(fù)運(yùn)動。就是物體在靜平衡位置附近所作的往復(fù)運(yùn)動。振動系統(tǒng)：振動系統(tǒng)：在振動問題中所研究的對象。如機(jī)器或在振動問題中所研究的對象。如機(jī)器或結(jié)構(gòu)物等。結(jié)構(gòu)物等。激勵：激勵：外界對振動系統(tǒng)的作用或引起

2、機(jī)器運(yùn)動的力。外界對振動系統(tǒng)的作用或引起機(jī)器運(yùn)動的力。響應(yīng)：響應(yīng)：機(jī)器或結(jié)構(gòu)在激勵作用下產(chǎn)生的動態(tài)行為。機(jī)器或結(jié)構(gòu)在激勵作用下產(chǎn)生的動態(tài)行為。4振動的概念振動的概念振動分析：振動分析：研究振動系統(tǒng)、激勵研究振動系統(tǒng)、激勵(輸入輸入)和和響應(yīng)響應(yīng)(輸出輸出)三者之間的關(guān)系。三者之間的關(guān)系。5力學(xué)基本模型力學(xué)基本模型振動系統(tǒng)的力學(xué)基本模型中包括三個基本振動系統(tǒng)的力學(xué)基本模型中包括三個基本“元件元件”：質(zhì)量塊質(zhì)量塊、彈簧彈簧和和阻尼器阻尼器。質(zhì)量塊質(zhì)量塊: 是物體慣性大小的度量。是物體慣性大小的度量。彈簧彈簧: 表示振動系統(tǒng)彈性的理想模型。表示振動系統(tǒng)彈性的理想模型。阻尼器阻尼器: 任何振動在沒有外

3、界干擾任何振動在沒有外界干擾(激勵激勵)時都會逐漸消失，時都會逐漸消失，因此，系統(tǒng)存在一種阻礙振動持續(xù)進(jìn)行的阻力，這種阻力因此，系統(tǒng)存在一種阻礙振動持續(xù)進(jìn)行的阻力，這種阻力稱為阻尼。稱為阻尼。6振動機(jī)理振動機(jī)理 任何結(jié)構(gòu)，之所以能產(chǎn)生振動，是因為它本身任何結(jié)構(gòu)，之所以能產(chǎn)生振動，是因為它本身具有質(zhì)量（慣性力）和彈簧（恢復(fù)力）。具有質(zhì)量（慣性力）和彈簧（恢復(fù)力）。 從能量關(guān)系看從能量關(guān)系看, 質(zhì)量可以儲存質(zhì)量可以儲存動能動能, 彈簧可以彈簧可以儲存儲存勢能（變形能）勢能（變形能）。振動就是動能和勢能不斷地。振動就是動能和勢能不斷地轉(zhuǎn)換。轉(zhuǎn)換。71.2 單自由度系統(tǒng)單自由度系統(tǒng)單自由度系統(tǒng)單自由度

4、系統(tǒng): : 可以用可以用一個獨(dú)立坐標(biāo)一個獨(dú)立坐標(biāo)來確定系統(tǒng)的位置及其來確定系統(tǒng)的位置及其運(yùn)動規(guī)律的振動系統(tǒng)運(yùn)動規(guī)律的振動系統(tǒng); ;單自由度線性系統(tǒng)的振動是最簡單的振動系統(tǒng)單自由度線性系統(tǒng)的振動是最簡單的振動系統(tǒng); ;許多實(shí)際問題可以足夠精確地簡化為單自由度振許多實(shí)際問題可以足夠精確地簡化為單自由度振動系統(tǒng)動系統(tǒng); ;單自由度振動系統(tǒng)的一些概念、特征和研究方法，單自由度振動系統(tǒng)的一些概念、特征和研究方法，是研究復(fù)雜振動系統(tǒng)的基礎(chǔ)。是研究復(fù)雜振動系統(tǒng)的基礎(chǔ)。8m-k系統(tǒng)系統(tǒng)已知質(zhì)量為已知質(zhì)量為m，彈簧的，彈簧的剛度系數(shù)為剛度系數(shù)為k。取質(zhì)量的。取質(zhì)量的靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn), 當(dāng)

5、重物偏離當(dāng)重物偏離 x 時時,利用牛利用牛頓定律可得到運(yùn)動微分頓定律可得到運(yùn)動微分方程：方程：0mxkx9梁的橫向振動梁的橫向振動質(zhì)量為質(zhì)量為m的重物放在簡支梁的中部，不計梁的質(zhì)的重物放在簡支梁的中部，不計梁的質(zhì)量。設(shè)梁長為量。設(shè)梁長為l，材料的彈性模量為，材料的彈性模量為E，截面慣性，截面慣性矩為矩為I。則利用材料力學(xué)的概念可得到：。則利用材料力學(xué)的概念可得到：0483ylEIym d dst10m-c-k系統(tǒng)系統(tǒng)已知質(zhì)量為已知質(zhì)量為m，彈簧，彈簧的剛度系數(shù)為的剛度系數(shù)為k ，粘，粘性阻尼系數(shù)為性阻尼系數(shù)為c。運(yùn)。運(yùn)動微分方程為：動微分方程為：0kxxcxm 11m-c-k系統(tǒng)系統(tǒng)令阻尼比為

6、令阻尼比為2ncm則方程可寫為則方程可寫為220nnxxx 令其解為令其解為stCex 代入方程得到代入方程得到2220nnss 此特征方程的兩個根是此特征方程的兩個根是21,2(1)ns 12大阻尼情況大阻尼情況不同的阻尼比不同的阻尼比 ，對應(yīng)的解的形式不同，運(yùn)動，對應(yīng)的解的形式不同，運(yùn)動性質(zhì)也不同。性質(zhì)也不同。（1 1） 11（大阻尼情況）（大阻尼情況） 此時特征方程有兩個不同的實(shí)根此時特征方程有兩個不同的實(shí)根, ,22(1)(1)( )nnttx tBeDe 21,2(1)ns 通解為通解為13大阻尼情況大阻尼情況給出初始條件：給出初始條件：t0時時2002(1)21nnvxB00,vx

7、xx則可確定系數(shù)則可確定系數(shù)B和和D2002(1)21nnvxD14大阻尼情況大阻尼情況 這種情況對應(yīng)的運(yùn)動是一種衰減運(yùn)動，但不是我們這種情況對應(yīng)的運(yùn)動是一種衰減運(yùn)動，但不是我們所關(guān)心的振動形式。設(shè)所關(guān)心的振動形式。設(shè)x00，v00，則運(yùn)動圖形大致如，則運(yùn)動圖形大致如下。下。2(1)ntBe 2(1)ntDe 15臨界阻尼情況臨界阻尼情況（2） 1（臨界阻尼情況）（臨界阻尼情況） 此時特征方程有重根此時特征方程有重根()ntxBDt e利用初始條件確定常數(shù)為利用初始條件確定常數(shù)為000,nBx Dvx 此時的阻尼系數(shù)稱為臨界阻尼系數(shù)，記為此時的阻尼系數(shù)稱為臨界阻尼系數(shù)，記為ccmkmcnc22

8、1,2ns 通解為通解為16臨界阻尼情況臨界阻尼情況 臨界阻尼情況也是一種非振動形式的衰減運(yùn)臨界阻尼情況也是一種非振動形式的衰減運(yùn)動，按不同的初始條件其運(yùn)動圖形如下。動，按不同的初始條件其運(yùn)動圖形如下。17小阻尼情況小阻尼情況（3）0 1（小阻尼情況）（小阻尼情況） 此時特征方程有一對共軛復(fù)根，通解為此時特征方程有一對共軛復(fù)根，通解為22( cos1sin1)ntnnxeBtDt或?qū)憺榛驅(qū)憺槔贸跏紬l件確定出常數(shù)利用初始條件確定出常數(shù)0002,1nnvxBx D2sin(1)ntnxAet18小阻尼情況小阻尼情況2200021nnvxAx 解中有兩個因子，一個是衰減的指數(shù)解中有兩個因子，一個是

9、衰減的指數(shù)函數(shù)函數(shù) ,它將使振幅越來越小，直至振它將使振幅越來越小，直至振動最終消失動最終消失;20001arctannnxvxntAe 另一個是正弦函數(shù)另一個是正弦函數(shù) ， 它表示系統(tǒng)以相同的周期通過平衡位置。它表示系統(tǒng)以相同的周期通過平衡位置。2sin(1)nt19小阻尼情況小阻尼情況因此系統(tǒng)呈現(xiàn)為一種衰減形式的等周期振因此系統(tǒng)呈現(xiàn)為一種衰減形式的等周期振動形式。動形式。20小阻尼情況小阻尼情況 單自由度粘性阻尼系統(tǒng)在小阻尼情況單自由度粘性阻尼系統(tǒng)在小阻尼情況下的衰減振動是我們最為關(guān)心的振動形式。下的衰減振動是我們最為關(guān)心的振動形式。這種衰減振動具有下列特性：這種衰減振動具有下列特性：（1

10、）振幅衰減）振幅衰減 由前面的解可以看出，振幅不再是常由前面的解可以看出，振幅不再是常量，而是以幾何級數(shù)量，而是以幾何級數(shù) 快速衰減快速衰減;（2）等時性）等時性 系統(tǒng)仍以相同的周期通過平衡位置系統(tǒng)仍以相同的周期通過平衡位置;ntAe21小阻尼情況小阻尼情況（3）振動頻率變小，周期變長）振動頻率變小，周期變長 此時系統(tǒng)振動的頻率和周期為：此時系統(tǒng)振動的頻率和周期為：2221,1dndnT 因此：衰減振動的固有頻率比無阻尼系因此：衰減振動的固有頻率比無阻尼系統(tǒng)的固有頻率小，振動周期變大，但影響統(tǒng)的固有頻率小，振動周期變大，但影響不大，特別是當(dāng)阻尼很?。ú淮?，特別是當(dāng)阻尼很小（ 1）時，可）時，可

11、以忽略阻尼對振動頻率和周期的影響。以忽略阻尼對振動頻率和周期的影響。22對數(shù)衰減率對數(shù)衰減率 振幅衰減的快慢程度可用相鄰振幅振幅衰減的快慢程度可用相鄰振幅的比值來表示，稱為衰減率或減幅率或的比值來表示，稱為衰減率或減幅率或減縮率；也可以用衰減率的自然對數(shù)來減縮率；也可以用衰減率的自然對數(shù)來表示，稱為對數(shù)衰減率。表示，稱為對數(shù)衰減率。23對數(shù)衰減率對數(shù)衰減率利用前面給出的解利用前面給出的解2sin(1)ntnxAet可得到衰減率為可得到衰減率為()1nn dndtTit TixAeexAe對數(shù)衰減率為對數(shù)衰減率為22ln1ndTd 24對數(shù)衰減率對數(shù)衰減率 若用若用X0表示系統(tǒng)最初的振幅，經(jīng)過表

12、示系統(tǒng)最初的振幅，經(jīng)過n次循環(huán)次循環(huán)后的振幅為后的振幅為Xn，則對數(shù)衰減率又可以表示為，則對數(shù)衰減率又可以表示為nXXn0ln1d證明：證明：01112nnXXXXXX相乘得相乘得010112nnnnXXXXXXXX證明：證明：相乘得相乘得25對數(shù)衰減率對數(shù)衰減率則則0lnlnnXnnXd即即nXXn0ln1d對數(shù)衰減率對數(shù)衰減率1lnlniixxd01lnnXnXndT221則則261.3 單自由度系統(tǒng)強(qiáng)迫振動單自由度系統(tǒng)強(qiáng)迫振動 設(shè)激勵為設(shè)激勵為F(t)=F0sin t，這，這里里 為激振頻率，利用牛頓定為激振頻率，利用牛頓定律并引入阻尼比律并引入阻尼比 可得到可得到202sinnnFxx

13、xtm 27非齊次方程的特解非齊次方程的特解齊次方程的通解上節(jié)已經(jīng)給出。設(shè)其特解為齊次方程的通解上節(jié)已經(jīng)給出。設(shè)其特解為:0sin()pxXt代入方程確定系數(shù)代入方程確定系數(shù)X0和和 為：為：00222/,(1)(2)FkXrr22arctan1rr其中：其中：nr為頻率比。為頻率比。28穩(wěn)態(tài)響應(yīng)性質(zhì)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)性質(zhì)1. 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)xp=X0sin( t )的性質(zhì)的性質(zhì)（1）在諧和激振條件下）在諧和激振條件下,響應(yīng)也是諧和的響應(yīng)也是諧和的,其其頻率與激振頻率相同頻率與激振頻率相同;（2）諧和激勵強(qiáng)迫振動的振幅）諧和激勵強(qiáng)迫振動的振幅X0和相位角和相位角決定于系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)和激振力的大小決

14、定于系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)和激振力的大小和頻率，與初始條件無關(guān)和頻率，與初始條件無關(guān);29穩(wěn)態(tài)響應(yīng)性質(zhì)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)性質(zhì)2. 幅頻特性曲線幅頻特性曲線 對于穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，定義動力放大系數(shù)對于穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，定義動力放大系數(shù)R為為響應(yīng)的振幅響應(yīng)的振幅X0與最大干擾力與最大干擾力F0所引起的靜所引起的靜位移的比值：位移的比值： 以以 為參數(shù)，畫出為參數(shù)，畫出R-r 曲線即幅頻特性曲線即幅頻特性曲線，表明了阻尼和激振頻率對響應(yīng)幅值曲線，表明了阻尼和激振頻率對響應(yīng)幅值的影響。的影響。022201/(1)(2)XRFkrr30穩(wěn)態(tài)響應(yīng)性質(zhì)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)性質(zhì)Rr311.4 兩個自由度系統(tǒng)的振動兩個自由度系統(tǒng)的振動 單自由度系統(tǒng)振動

15、問題，在我們所討論的單自由度系統(tǒng)振動問題，在我們所討論的范圍內(nèi)是線性定常方程。而多自由度系統(tǒng)則是范圍內(nèi)是線性定常方程。而多自由度系統(tǒng)則是二階多元聯(lián)立微分方程組，各廣義坐標(biāo)間存在二階多元聯(lián)立微分方程組，各廣義坐標(biāo)間存在相互相互“耦合耦合”現(xiàn)象?，F(xiàn)象。 所謂耦合，就是變量之間互相聯(lián)系。由于所謂耦合，就是變量之間互相聯(lián)系。由于這種耦合，使微分方程的求解變得非常困難。這種耦合，使微分方程的求解變得非常困難。因此，分析多自由度系統(tǒng)振動問題的重要內(nèi)容因此，分析多自由度系統(tǒng)振動問題的重要內(nèi)容之一就是如何將方程之一就是如何將方程“解耦解耦”，然后按單自由，然后按單自由度的分析方法求解。度的分析方法求解。 兩自

16、由度是多自由度系統(tǒng)最簡單的情況。兩自由度是多自由度系統(tǒng)最簡單的情況。32運(yùn)動微分方程運(yùn)動微分方程坐標(biāo)原點(diǎn)仍取在靜平衡位置坐標(biāo)原點(diǎn)仍取在靜平衡位置寫成矩陣形式寫成矩陣形式1111111)(xcxktFxm 212212()()kxxc xx2323222)(xcxktFxm 212212()()kxxc xx)()tFxKxCxM 33運(yùn)動微分方程運(yùn)動微分方程式中：式中：22211211mmmmM2100mm22211211ccccC322221cccccc22211211kkkkK322221kkkkkk21xxx)()()(21tFtFtF34運(yùn)動微分方程運(yùn)動微分方程 M稱為系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣，

17、稱為系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣，K稱為剛度矩稱為剛度矩陣，陣，C稱為阻尼矩陣，稱為阻尼矩陣，x為系統(tǒng)的位移列陣，為系統(tǒng)的位移列陣，F(xiàn)(t)為外激勵列陣。為外激勵列陣。 對于其它形式的兩自由度振動系統(tǒng)同樣可對于其它形式的兩自由度振動系統(tǒng)同樣可得到相應(yīng)的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣和阻尼矩陣。得到相應(yīng)的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣和阻尼矩陣。 由于矩陣由于矩陣M、 K、 C的非對角線元素不的非對角線元素不為為0，所以振動微分方程是互相耦合的非獨(dú)立，所以振動微分方程是互相耦合的非獨(dú)立方程。方程。35自由振動問題自由振動問題 0MxKx 1122txcxexc 11222txcxexc111221222222000ttmckkkce

18、emckkc 1112222222000cmkkkmkkc 36自由振動問題自由振動問題特征方程特征方程02 KM特征根特征根純虛根純虛根上述方程有非零解，要求系數(shù)矩陣的行列式為零上述方程有非零解，要求系數(shù)矩陣的行列式為零22 37自由振動問題自由振動問題2111222222222000cmkkkmkkc 2121112112kkmcck2121222212kkmcck1112cc滿足上述方程的滿足上述方程的特征向量特征向量1111222122212000cmkkkmkkc 38自由振動問題自由振動問題振型：振型：第一階振型第一階振型第二階振型第二階振型111212112121()/cCkkm

19、kc212212122221()cCkkmkc方程的解方程的解112211122111221222ititititxa C ea C ea C eaC ex391.5 非線性振動概述非線性振動概述非線性特性非線性特性 材料非線性材料非線性振幅過大超出材料線彈性范圍幾何非線性幾何非線性位移或變形過大使結(jié)構(gòu)幾何形狀顯著變化非線性阻尼非線性阻尼材料內(nèi)摩擦阻尼、流體阻尼等都是非線性阻尼負(fù)剛度負(fù)阻尼負(fù)剛度負(fù)阻尼有些情況下會存在負(fù)剛度和負(fù)阻尼非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng) 當(dāng)真實(shí)系統(tǒng)彈性元件的力與位移之間的關(guān)系超出線性范圍，或阻尼元當(dāng)真實(shí)系統(tǒng)彈性元件的力與位移之間的關(guān)系超出線性范圍，或阻尼元件的力與運(yùn)動速度之間的關(guān)

20、系不滿足作線性關(guān)系時，系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程不件的力與運(yùn)動速度之間的關(guān)系不滿足作線性關(guān)系時，系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程不能用線性微分方程描述，稱系統(tǒng)為非線性系統(tǒng)。當(dāng)真實(shí)系統(tǒng)作小運(yùn)動時，可能用線性微分方程描述，稱系統(tǒng)為非線性系統(tǒng)。當(dāng)真實(shí)系統(tǒng)作小運(yùn)動時，可忽略系統(tǒng)的高階微小量，近似地將系統(tǒng)看作線性系統(tǒng)。忽略系統(tǒng)的高階微小量，近似地將系統(tǒng)看作線性系統(tǒng)。40非線性振動概述非線性振動概述非線性振動的研究方法非線性振動的研究方法 非線性振動研究的方法有：非線性振動研究的方法有：定性分析定性分析、定量分析定量分析和和數(shù)值分?jǐn)?shù)值分析析方法。方法。非線性振動研究的內(nèi)容非線性振動研究的內(nèi)容 非線性振動研究的基本內(nèi)容之一就是建

21、立對真實(shí)振動系統(tǒng)非線性振動研究的基本內(nèi)容之一就是建立對真實(shí)振動系統(tǒng)的計算方法，改進(jìn)計算精度，探索某些特殊現(xiàn)象的規(guī)律。的計算方法，改進(jìn)計算精度，探索某些特殊現(xiàn)象的規(guī)律。定性法定性法 研究已知解的領(lǐng)域內(nèi)系統(tǒng)的一般穩(wěn)定性特征，而不是運(yùn)動的時研究已知解的領(lǐng)域內(nèi)系統(tǒng)的一般穩(wěn)定性特征，而不是運(yùn)動的時間歷程。通常采用間歷程。通常采用幾何方法幾何方法描述系統(tǒng)的運(yùn)動特征。描述系統(tǒng)的運(yùn)動特征。定量法定量法 通過一些漸近的通過一些漸近的解析方法解析方法研究系統(tǒng)運(yùn)動的時間歷程。研究系統(tǒng)運(yùn)動的時間歷程。數(shù)值法數(shù)值法 通過通過數(shù)值計算數(shù)值計算方法研究系統(tǒng)非線性振動的規(guī)律和現(xiàn)象。方法研究系統(tǒng)非線性振動的規(guī)律和現(xiàn)象。41非線

22、性振動與線性振動的區(qū)別非線性振動與線性振動的區(qū)別線性振動線性振動 非線性振動非線性振動 自由振動頻率與初始條件無關(guān)自由振動頻率與初始條件無關(guān) 自由振動頻率與振幅有關(guān)自由振動頻率與振幅有關(guān) 強(qiáng)迫振動頻率與激勵力頻率相強(qiáng)迫振動頻率與激勵力頻率相等等 強(qiáng)迫振動頻率成分復(fù)雜，有時強(qiáng)迫振動頻率成分復(fù)雜，有時與激勵頻率不相等的頻率成分與激勵頻率不相等的頻率成分突出突出穩(wěn)定平衡位置附近的運(yùn)動是穩(wěn)穩(wěn)定平衡位置附近的運(yùn)動是穩(wěn)定的定的 穩(wěn)定平衡位置附近具有多種穩(wěn)定平衡位置附近具有多種穩(wěn)定和不穩(wěn)定運(yùn)動穩(wěn)定和不穩(wěn)定運(yùn)動強(qiáng)迫振動中每個激勵頻率強(qiáng)迫振動中每個激勵頻率有一個對應(yīng)的振幅有一個對應(yīng)的振幅 強(qiáng)迫振動中幅頻與相頻曲

23、線強(qiáng)迫振動中幅頻與相頻曲線發(fā)生彎曲，產(chǎn)生多值性發(fā)生彎曲，產(chǎn)生多值性 疊加原理成立疊加原理成立 疊加原理不成立疊加原理不成立42典型微分方程類型典型微分方程類型 lgpxpdtxd22220sin單擺方程單擺方程庫侖（庫侖（Coulomb)Coulomb)摩擦振動方程摩擦振動方程0)sgn(22kxdtdxNdtxdm43典型微分方程類型典型微分方程類型 lgpxpdtxd22220sin單擺方程單擺方程庫侖（庫侖（Coulomb)Coulomb)摩擦振動方程摩擦振動方程0)sgn(22kxdtdxNdtxdm44典型微分方程類型典型微分方程類型 范德波（范德波（van der Polvan der Pol）方程）方程0)1 (2222xdtdxxdtx