小學(xué)數(shù)學(xué)比和比例問題知識(shí)匯總及解析例題

1、小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)總結(jié)之比和比例應(yīng)用題【求比的問題】例1兩個(gè)同樣容器中各裝滿鹽水。第一個(gè)容器中鹽與水的比是2 : 3,第二個(gè)容器 中鹽與水的比是3 : 4,把這兩個(gè)容器中的鹽水混合起來，那么混合溶液中鹽與水的比是無錫市小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題講析第一個(gè)容器中，鹽占煞個(gè)溶液的|,水占整個(gè)藩液的弓 第二那么混合溶液中，鹽與水的比是：賣出價(jià)買入價(jià)個(gè)容器中.鹽占整個(gè)溶粧的初 水占整個(gè)溶液的扌。XIOO某電子產(chǎn)品去年按定價(jià)的80%出售，能獲利20%，由于今年買入價(jià)降低，按同樣定價(jià)的方出售，卻肓啄利25%.那么.今年買入價(jià) 去年買入價(jià)1994年全國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克決賽試題講析I設(shè)去年買入價(jià)為盤元，賣出價(jià)為b元 那么有b

2、XS°%'a=2Q.即：-x 80% 二 1 + 20% a又設(shè)今年買入價(jià)為u元，賣出價(jià)同樣為b元，那么有*25%.即-X75% = 1 + 25C所此(1X80) - (-X75%)二(1 + 20%) - (1 十至%) bc即：-910也就是人今年買入價(jià) 去年買入價(jià)910【比例問題】例1甲、乙兩包糖的重量比是4： 1,如果從甲包取出10克放入乙包后，甲、乙 兩包糖的重量比變?yōu)? : 5那么兩包糖重量的總和是 。1989年全國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克初賽試題講析；把甲乙蘭包糖的總重量作為單位那么甲包占全部重量的#當(dāng)從甲包中取10克放入乙包后，甲包占全部重量的善_._ . 419.

3、所以卩兩包糖重量和是io*弓垃'克例2甲容器中有純酒精11升，乙容器中有水15升，第一次將甲容器中的一局部 純酒精倒入乙容器，使酒精與水混合。第二次將乙容器中的一局部混合液倒入甲容器。 這樣甲容器中純酒精含量為62.5 %，乙容器中純酒精含量為25%，那么，第二次從乙 容器倒入甲容器的混合液是升。1991年全國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克決賽試題講析：因?yàn)楝F(xiàn)在乙容器中純酒精含量為25%，所以，乙容器中酒精與水的比為25%： 1-25 %=1 : 3第一次從甲容器中倒5升純酒精到乙容器，才使得乙容器中純酒精與水的比恰好是 5 : 15=1: 3又甲容器中純酒精含量為62.5 %，那么甲容器中酒精與水

4、的比為 62.5 %：1-62.5 %=5 : 3第二次倒后，要使甲容器中純酒精與水的比為5 : 3,不妨把從甲容器中倒入乙容器的混合液中純酒精作1份，水作3份。那么甲容器中剩下的純酒精便是11-5=6升 6升算作4份，這樣可恰好配成5 : 3。而第二次從乙容器倒入甲容器的混合液共為1 + 3=4份，所以也應(yīng)是6升。學(xué)習(xí)文檔僅供參考.比的意義和性質(zhì) 1 比的意義 兩個(gè)數(shù)相除又叫做兩個(gè)數(shù)的比?！埃菏潜忍?hào)，讀作 “比 。比號(hào)前面的數(shù)叫做比的前項(xiàng)，比號(hào)后面的數(shù)叫做比的后項(xiàng)。比的前項(xiàng)除以后 項(xiàng)所得的商，叫做比值。同除法比擬，比的前項(xiàng)相當(dāng)于被除數(shù)，后項(xiàng)相當(dāng)于除數(shù)，比值相當(dāng)于商。 比值通常用分?jǐn)?shù)表示，也可

5、以用小數(shù)表示，有時(shí)也可能是整數(shù)。 比的后項(xiàng)不能是零。根據(jù)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，可知比的前項(xiàng)相當(dāng)于分子，后項(xiàng)相當(dāng)于分母，比值相當(dāng)于分?jǐn)?shù)值 2比的性質(zhì) 比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘上或者除以相同的數(shù) 0 除外，比值不變，這叫做比的根本性質(zhì)。 3 求比值和化簡(jiǎn)比 求比值的方法：用比的前項(xiàng)除以后項(xiàng)，它的結(jié)果是一個(gè)數(shù)值可以是整數(shù)，也可以是小數(shù)或分?jǐn)?shù)。 根據(jù)比的根本性質(zhì)可以把比化成最簡(jiǎn)單的整數(shù)比。 它的結(jié)果必須是一個(gè)最簡(jiǎn)比， 即前、 后項(xiàng)是互質(zhì)的數(shù)。 4比例尺 圖上距離：實(shí)際距離 =比例尺 要求會(huì)求比例尺；圖上距離和比例尺求實(shí)際距離；實(shí)際距離和比例尺求圖上距離。 線段比例尺：在圖上附有一條注有數(shù)目的線段，用來表示和地

6、面上相對(duì)應(yīng)的實(shí)際距離。5按比例分配在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和日常生活中， 常常需要把一個(gè)數(shù)量按照一定的比來進(jìn)行分配。 這種分配的方法通常叫做按比 例分配。方法：首先求出各局部占總量的幾分之幾，然后求出總數(shù)的幾分之幾是多少。2 比例的意義和性質(zhì) 1 比例的意義 表示兩個(gè)比相等的式子叫做比例。 組成比例的四個(gè)數(shù)，叫做比例的項(xiàng)。 兩端的兩項(xiàng)叫做外項(xiàng)，中間的兩項(xiàng)叫做內(nèi)項(xiàng)。2比例的性質(zhì) 在比例里，兩個(gè)外項(xiàng)的積等于兩個(gè)兩個(gè)內(nèi)向的積。這叫做比例的根本性質(zhì)。3解比例根據(jù)比例的根本性質(zhì)， 如果比例中的任何三項(xiàng)，就可以求出這個(gè)數(shù)比例中的另外一個(gè)未知項(xiàng)。 求比例 中的未知項(xiàng)，叫做解比例。3 正比例和反比例 1 成正比例的量?jī)煞N相

7、關(guān)聯(lián)的量， 一種量變化， 另一種量也隨著變化， 如果這兩種量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的比值 也就是商 一定，這兩種量就叫做成正比例的量，他們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。用字母表示 y/x=k 一定 2成反比例的量 兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的積一定，這兩種 量就叫做成反比例的量，他們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。用字母表示x ><y=k 定二正反比例問題【含義】 兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對(duì)應(yīng) 的兩個(gè)數(shù)的比的比值一定即商一定，那么這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關(guān)系叫 做正比例關(guān)系。正比例應(yīng)用題是正比例意義和解比例

8、等知識(shí)的綜合運(yùn)用。兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù) 的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。反比例應(yīng)用題是反 比例的意義和解比例等知識(shí)的綜合運(yùn)用?！緮?shù)量關(guān)系】判斷正比例或反比例關(guān)系是解這類應(yīng)用題的關(guān)鍵。許多典型應(yīng)用題都可以 轉(zhuǎn)化為正反比例問題去解決，而且比擬簡(jiǎn)捷?！窘忸}思路和方法】 解決這類問題的重要方法是：把分率倍數(shù)轉(zhuǎn)化為比，應(yīng)用比和 比例的性質(zhì)去解應(yīng)用題。例1修一條公路，已修的是未修的1/3，再修300米后，已修的變成未修的1/2，求這 條公路總長(zhǎng)是多少米？例2張晗做4道應(yīng)用題用了 28分鐘，照這樣計(jì)算，91分鐘可以做幾道

9、應(yīng)用題？關(guān)鍵：做題效率一定，做題數(shù)量與做題時(shí)間成正比例關(guān)系例3孫亮看?十萬個(gè)為什么?這本書，每天看 24頁(yè)，15天看完，如果每天看36頁(yè),幾天就可以看完？三按比例分配問題【含義】 所謂按比例分配，就是把一個(gè)數(shù)按照一定的比分成假設(shè)干份。這類題的條 件一般有兩種形式：一是用比或連比的形式反映各局部占總數(shù)量的份數(shù)，另一種是直接給出 份數(shù)?！緮?shù)量關(guān)系】 從條件看，總量和幾個(gè)局部量的比；從問題看，求幾個(gè)局部量各是多 少?？偡輸?shù)二比的前后項(xiàng)之和【解題思路和方法】先把各局部量的比轉(zhuǎn)化為各占總量的幾分之幾，把比的前后項(xiàng)相加 求出總份數(shù)，再求各局部占總量的幾分之幾以總份數(shù)作分母，比的前后項(xiàng)分別作分子， 再按照求

10、一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少的計(jì)算方法，分別求出各局部量的值。例1學(xué)校把植樹560棵的任務(wù)按人數(shù)分配給五年級(jí)三個(gè)班，一班有47人，二班有48人，三班有45人，三個(gè)班各植樹多少棵？例2用60厘米長(zhǎng)的鐵絲圍成一個(gè)三角形，三角形三條邊的比是3 ：4 ：5。三條邊的長(zhǎng)各是多少厘米？例3從前有個(gè)牧民，臨死前留下遺言，要把17只羊分給三個(gè)兒子，大兒子分總數(shù)的1/2， 二兒子分總數(shù)的1/3，三兒子分總數(shù)的1/9，并規(guī)定不許把羊宰割分，求三個(gè)兒子各分多少 只羊。例4某工廠第一、二、三車間人數(shù)之比為 8 : 12 : 21，第一車間比第二車間少80人， 三個(gè)車間共多少人？四 列方程例 1 甲乙兩班共 90 人，甲班比

11、乙班人數(shù)的 2 倍少 30 人，求兩班各有多少人？例2 倉(cāng)庫(kù)里有化肥 940袋，兩輛汽車 4次可以運(yùn)完，甲汽車每次運(yùn) 125 袋，乙汽 車每次運(yùn)多少袋？智趣題學(xué)校買了 4 張辦公桌和 1 把椅子，共用去 510 元，后又買來 6 張辦公桌和 1 把椅子共用去 750 元。求每張辦公桌和每把椅子各多少元？作業(yè)1一臺(tái)拖拉機(jī)第一天上午 3小時(shí)平均每小時(shí)耕地 7.8公畝，下午 4小時(shí)平均每小時(shí)耕地 8.1 公畝，第二天 用了 5小時(shí)耕地 38.4 公畝，正好完成任務(wù)。這臺(tái)拖拉機(jī)平均每天耕地多少公畝?2王、張兩人各帶同樣多的錢去商店買花布，同種的花布小王買了9 米，小張買了 6 米。王向張借了 12元，

12、兩人的錢剛好用完。這種花布每米多少元 ?比的應(yīng)用練習(xí)題1、兩個(gè)相同的瓶子都裝滿了酒精溶液，一個(gè)瓶中酒精與水的體積比是3 ： 1，另一個(gè)瓶中酒精與水的體積比是 4 ： 1。如果把這兩個(gè)瓶中酒精溶液混合，混合溶液中酒精和水的比是 。2、五 角人 民幣 與貳角 人民 幣的張數(shù)比為 12 ：35，那么伍角與 貳角 的總 錢數(shù) 比為 。3、甲、乙、丙三個(gè)數(shù)的平均數(shù)是 60。甲、乙、丙三個(gè)數(shù)的比是 3 ：2 ：1。甲、乙、丙三個(gè) 數(shù)各是多少？4、一個(gè)直角三角形的兩個(gè)銳角度數(shù)的比是 2 ：1，這兩個(gè)銳角分別是多少度？5、大、小兩瓶油共重 2.7 千克，大瓶的油用去 0.2 千克后，剩下的油與小瓶?jī)?nèi)油的重量比

13、是3 ： 2。求大、小瓶里各裝油多少千克？6、甲、乙、丙三位同學(xué)共有圖書 108 本，乙比甲多 18 本，乙與丙的圖書數(shù)之比是 5 ：4， 求甲、乙、丙三人各有圖書多少本？7、一個(gè)直角三角形的三條邊總和是 60 厘米，三條邊的比是 3 ：4 ：5.這個(gè)直角三角形 的面積是多少平方厘米？8、一個(gè)直角三角形的周長(zhǎng)為 36 厘米，三條邊的長(zhǎng)度比是 3 ：4 ： 5，這個(gè)三角形的面積是 多少平方厘米？9、一瓶鹽水，鹽和水的重量比是 1 ：24，如果再放入 75 克水，這時(shí)鹽與水的重量比是 1 ： 27，原來瓶?jī)?nèi)鹽水重多少千克？10、盒子里有三種顏色的球，黃球個(gè)數(shù)與紅球個(gè)數(shù)的比是2 ：3，紅球個(gè)數(shù)與白球

14、個(gè)數(shù)的比是 4 ：5。三種顏色的球共 175 個(gè)，紅球有多少個(gè)？11、王老師用 100元去買了 20 支圓珠筆和 10 支鋼筆，每支鋼筆的價(jià)錢和每支圓珠筆的價(jià)錢 的比是 3 ： 1。問買圓珠筆和鋼筆各花了多少元？12、甲、乙兩包糖果的重量的比是 4:1，如果從甲包取出10克放入乙包后，甲、乙兩包糖 果重量的比變?yōu)? : 5。那么兩包糖果重量的總和是多少？13、某小學(xué)男、女生人數(shù)之比是 16 : 13,后來有幾位女生轉(zhuǎn)學(xué)到這所學(xué)校，男、女生人數(shù) 之比變成為6 : 5,這時(shí)全體學(xué)生共有880人，問轉(zhuǎn)學(xué)來的女生有多少人？14、小明讀一本書，已讀的和末讀的頁(yè)數(shù)比是1 : 5。如果再讀30頁(yè)，貝U已讀的

15、和末讀的頁(yè)數(shù)之比為3 : 5。這本書共有多少頁(yè)？1 : 4。如果再運(yùn)走4噸，那么運(yùn)走的15、運(yùn)輸隊(duì)要運(yùn)一批貨物，已經(jīng)運(yùn)走的和剩下的比是 和剩下的比為3 : 7。這批貨物共多少噸？16、甲、乙、丙三人的彩球數(shù)的比例為 9 : 4 : 2,甲給了丙30個(gè)彩球，乙也給了丙一些彩球, 比例變?yōu)? : 1 : 1。乙給了丙多少個(gè)彩球？溶液?jiǎn)栴}一碗糖水中有多少糖，這就要用百分比濃度來衡量放多少水和放多少糖能配成某一濃度的糖水，這就是配比問題在考慮濃度和配比時(shí)，百分?jǐn)?shù)的計(jì)算扮演了重要的角色，并產(chǎn)生形形色色的計(jì)算問題，這 是小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題中的一個(gè)重要內(nèi)容從一些根本問題開始討論.例15根本問題一1濃度為10%，

16、重量為80克的糖水中，參加多少克水就能得到濃度為8%的糖水？2濃度為20%的糖水40克，要把它變成濃度為 40%的糖水，需加多少克糖？ 解：1濃度 10%，含糖 80 X 10%= 8克，有水 80-8 = 72克 如果要變成濃度為8%，含糖8克，糖和水的總重量是 8十8%= 100克，其中有水100-8 = 92克.還要參加水 92- 72 = 20克2濃度為20%，含糖40 X 20%= 8克，有水 40- 8 = 32克 如果要變成濃度為 40%，32克水中，要加糖x克，就有x : 32= 40%： 1-40 %，32x40%1-40%=21克還要加糖2斗去理克窖 a詠20克；加糖1冷克

17、例16根本問題二20%的食鹽水與5%的食鹽水混合，要配成15%的食鹽水900克問:20%與5%食鹽水各需要多少克? 解：20 %比 15% 多20% -15 %， 5 %比 15% 少15% -5 %，多的含鹽量20%-15 %X 20%所需數(shù)量要恰好能彌補(bǔ)少的含鹽量15%-5 %X 5%所需數(shù)量也就是20%所需數(shù)量15%2亍所需數(shù)量=了畫出示意圖：201一所需薇量£；1-誰X 祁卻w"渕相差的百分?jǐn)?shù)之比與所需數(shù)量之比恰好是反比例關(guān)系_ _ 2因此需要加 900X 600克.M十1需要詼 900X J-y = 300克.答：需要濃度 20 %的600克，濃度5 %的300克

18、這一例題的方法極為重要，在解許多配比問題時(shí)都要用到現(xiàn)在用這一方法來解幾個(gè)配比的問題例17某人到商品買紅、藍(lán)兩種筆，紅筆定價(jià)5元，藍(lán)筆定價(jià)9元.由于買的數(shù)量較多，商店就給打折扣紅筆按定價(jià)85 %出售，藍(lán)筆按定價(jià) 80 %出售結(jié)果他付的錢就少了 18% 他買了藍(lán)筆30支，問 紅筆買了幾支？解：相當(dāng)于把兩種折扣的百分?jǐn)?shù)配比，成為1-18 %= 82% 85%-82%： 82%-80%= 3 : 2.按照根本問題二，他買紅、藍(lán)兩種筆的錢數(shù)之比是2 : 3.設(shè)買紅筆是x支，可列出比例式5x : 9 X 30= 2 : 353答：紅筆買了 36支配比問題不光是溶液的濃度才有的，有百分?jǐn)?shù)和比，都可能存在配比

19、要提請(qǐng)注意，例17中是錢數(shù)配比，而不是兩種筆的支數(shù)配比，千萬不要搞錯(cuò)例18甲種酒精純酒精含量為 72%,乙種酒精純酒精含量為 58%,混合后純酒精含量為 62 % 如果每種酒 精取的數(shù)量比原來都多取 15升，混合后純酒精含量為 6325 % 問第一次混合時(shí)，甲、乙兩種酒精各取多 少升？解：利用例16的方法，原來混合時(shí)甲、乙數(shù)量之比是甲62刁8 2Z?=72z2后一次混合，甲、乙數(shù)量之比是63.25 - 58525 二兀"72 - 3.25 "2問題就轉(zhuǎn)化成：一個(gè)分?jǐn)?shù)原來約分后是？分子、分母各加約分3后是扌求原來這個(gè)分?jǐn)?shù)這與上一講例14是同一問題.都加15,比例變了，但兩數(shù)之

20、差卻沒有變 :5中前、后兩項(xiàng)都乘 2，3 : 5中前、后兩項(xiàng)都乘 3,就把比的份額統(tǒng)一了，即| = 2 ： 5=： 10,|= 3 ： 5= 915.個(gè)分?jǐn)?shù)是43X310X312_30'答：第一次混合時(shí)，取甲酒精12升，乙酒精30升.例19甲容器中有8%的食鹽水300克，乙容器中有12.5 %的食鹽水120克.往甲、乙兩個(gè)容器分別倒入 等量的水，使兩個(gè)容器的食鹽水濃度一樣問倒入多少克水？解：要使兩個(gè)容器中食鹽水濃度一樣，兩容器中食鹽水重量之比，要與所含的食鹽重量之比一樣 甲中含鹽量：乙中含鹽量=300 X 8 %： 120 X 12.5 %=8 : 5.現(xiàn)在要使300克+倒入水：120克+倒入水=8 : 5.把“ 300克+倒入水算作8份，“ 120克+倒入水算作5份，每份是300-120+ 8-5= 60克.倒入水量是 60 X 8-300 = 180克.答：每一容器中倒入 180克水.例20甲容器有濃度為2%的鹽水180克，乙容器中有濃度為 9 %的鹽水假設(shè)干克，從乙取出240克鹽