求解股票期權(quán)定價問題的差分方法

1、收稿日期:2003-04-29基金項目:國家自然科學(xué)基金資助項目(50174021作者簡介:李元(1964-,女,遼寧沈陽人,東北大學(xué)博士研究生,沈陽化工學(xué)院副教授;謝植(1957-,男,江蘇南京人,東北大學(xué)教授,博士生導(dǎo)師第25卷第1期2004年1月東北大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版Journal of Northeastern University (Natural Science Vol .25,No .1Jan .2004文章編號:1005-3026(200401-0020-04基于故障重構(gòu)的PCA 模型主元數(shù)的確定李元1,謝植1,王綱2(1.東北大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院,遼寧沈陽110004;2

2、.沈陽化工學(xué)院信息工程學(xué)院,遼寧沈陽110142摘要:基于故障重構(gòu)理論研究了PCA 模型主元數(shù)的確定方法,應(yīng)用累積方差貢獻(xiàn)率以及復(fù)相關(guān)系數(shù)對主元模型性能進行分析在基于PCA 理論進行故障診斷中,故障變量可根據(jù)故障的方向向量進行重構(gòu),未重構(gòu)方差(VRE 可分別投影于主元子空間(PCS 和殘差子空間(RS 確定最優(yōu)重構(gòu)是使兩空間的VRE 之和達(dá)到最小,與此相對應(yīng)的主元數(shù)即為最優(yōu)主元數(shù)(PCs 應(yīng)用累積方差貢獻(xiàn)率以及復(fù)相關(guān)系數(shù)對主元模型性能進行評價,結(jié)果表明確定的PCA 模型PCs 保證了PCS 中的信息存量對于工業(yè)PVC 聚合反應(yīng)過程的故障診斷說明了上述方法的合理性與有效性關(guān)鍵詞:故障重構(gòu);PCA

3、 (主元分析;未重構(gòu)方差(VRE ;主元數(shù)(PCs ;主元子空間(PCS ;殘差子空間(RS 中圖分類號:T P 206+.3文獻(xiàn)標(biāo)識碼:APCA (principal component analysis 是一種常用的數(shù)據(jù)分析方法,在石油、化工、電子等各生產(chǎn)領(lǐng)域的數(shù)據(jù)處理、故障診斷中廣泛應(yīng)用15PCA 建模和診斷的關(guān)鍵是采樣數(shù)據(jù)和歷史數(shù)據(jù)的壓縮和信息的抽取,生成若干個新的正交變量Wold 提出一種隨機計算模型PRESS (預(yù)測誤差平方和的方法6Joreskog 等探討了一種確定最小主元數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)7Cattell 提出了基于協(xié)方差矩陣特征值的分散測試方法8Harmon 等提出一種基于得分向量自相

4、關(guān)性測試的方法9Malinowski 歸納了若干確定PCA 模型主元的方法10本文應(yīng)用一種新的基于故障重構(gòu)方差方法進行PCA 模型主元數(shù)的確定,并應(yīng)用累積方差貢獻(xiàn)率以及復(fù)相關(guān)系數(shù)對所確定的主元數(shù)進行性能分析與評價1故障重構(gòu)1.1PCA 模型PCA 是一種數(shù)據(jù)矩陣的分析方法設(shè)X 為m n 維數(shù)據(jù)矩陣,PCA 建模的過程即X 向潛隱模型空間和殘差空間投影的過程,則原矩陣可分解成PCS 和RS 兩部分X =t 1p T 1+t 2p T 2+t j p T j+t r p T r+E (1其中,t j 為m 1的得分向量,p j 為n 1的負(fù)荷向量,r 為主元數(shù)式(1也可寫成X =TP T+E ;(

5、2X 在PCS 投影X =XPP T;(3X 在RS 投影珟X =X (I -PP T (4PCA 模型部分即為主元子空間部分R r 和殘差子空間部分R p -r 之和主元子空間主要反映正常數(shù)據(jù)變化的測度,殘差子空間主要反映非正常數(shù)據(jù)噪聲變化的情況1.2故障重構(gòu)設(shè)X n表示正常數(shù)據(jù),X 表示采樣故障數(shù)據(jù),則X =X n+i (5其中,表示故障的幅度,i 表示故障發(fā)生的方向向量數(shù)據(jù)重構(gòu)的目的是沿故障的方向用故障數(shù)據(jù)構(gòu)造正常數(shù)據(jù)即X i =X -i i (6如果重構(gòu)的X i 有最小的模型誤差,與PCA 模型最具一致性,則重構(gòu)值為11,12X i =I -珟i 珟T i珟Ti珟i(X (7式(7表示

6、了故障數(shù)據(jù)沿故障方向向量重構(gòu)所得到的重構(gòu)值1.3未重構(gòu)方差考慮重構(gòu)數(shù)據(jù)誤差為X n-X i=(i-i,(8則重構(gòu)誤差方差為11,12u ivarT i(X n-X i=vari=珘TiR珘i (珘Ti珘i2(9其中R=E(XX T是數(shù)據(jù)矩陣的協(xié)方差矩陣;u i 是用X i估計X n的重構(gòu)誤差的方差則u i=珟Ti珟Ri(珟Ti珟i2=珟Oi2珟R珟i2(10u i表示未重構(gòu)方差2基于故障重構(gòu)的PCA模型主元數(shù)的確定2.1基于最優(yōu)重構(gòu)的PCA主元數(shù)11,12如何使未重構(gòu)方差盡可能小是確定最小主元數(shù)的條件應(yīng)用下列式子可以相對于p個變量,選出r個主元u i=珘u i+u i(11其中,u i=E(i

7、-i2,(12珘u i=E(珓i-珟i2(13重構(gòu)誤差的總方差是故障數(shù)據(jù)重構(gòu)誤差的值在RS空間和PCS空間投影之和相對于最小的主元數(shù)r,重構(gòu)誤差方差取得最小值PCS空間的u i隨r的增加而增加,即u i(r+1u i(r;(14 RS空間的u i隨r的增加而減少,即珘u i(r+1珘u i(r(15從式(16可以取得相對于u i最小的PCA模型的主元rminru i(16 2.2主元數(shù)的性能分析(1累積方差貢獻(xiàn)率衡量主元所包含的信息存量的性能,通常采用累積方差貢獻(xiàn)率(CPV若式(2中主元陣的主元向量方差分別為1,2,n,則取前r個主元的累積方差為1+2+rCPV=ri=1inj=1j100%(

8、17CPV的大小直接反映了所確定主元模型的精度CP V通常在85%以上表明主元模型的精度可滿足PCA的分析要求(2復(fù)相關(guān)系數(shù)將表示樣本變量與主元的相關(guān)程度定義為復(fù)相關(guān)系數(shù)(x i,T:(x i,T=rj=1j p2i,j(1/2,(18則主元包含每一變量的信息程度可用(x i,T衡量,同時此參數(shù)的變化情況反映了主元信息的變化程度因此用復(fù)相關(guān)系數(shù)可評價主元模型的近似程度、信息量、以及基于PCA理論進行性能監(jiān)視及故障診斷的準(zhǔn)確程度3化工過程PVC聚合反應(yīng)應(yīng)用3.1基于故障重構(gòu)的PCA主元數(shù)的確定應(yīng)用工業(yè)PVC聚合反應(yīng)釜生產(chǎn)過程的10個變量的數(shù)據(jù),確定最優(yōu)故障重構(gòu)的PCA模型主元數(shù)采樣數(shù)據(jù)分別為壓力

9、、流量、液位、溫度等10個參數(shù)指標(biāo),持續(xù)采樣點數(shù)為3000 點圖1基于故障重構(gòu)的主元數(shù)的確定Fig.1Determining PCs based on fault reconstruction1在殘差子空間;2在主元子空間;3在殘差子空間和主元子空間的迭加若檢測出第5個變量出現(xiàn)故障,故障方向矩陣:T5=0,0,0,0,1,0,0,0,0,0由圖1可以看出在主元數(shù)為3時,未重構(gòu)方差和最小基于故障數(shù)據(jù)最優(yōu)重構(gòu)的PCA模型所確定的主元數(shù)為33.2主元數(shù)的性能分析依式(16,主元數(shù)為3,r=3,則CPV如表1所示表1中,當(dāng)CP V為88.28%時,主元數(shù)為3,表明3個主元足以滿足PCA中的信息量,因此

10、圖1中所確定的主元數(shù)是有效的12第1期李元等:基于故障重構(gòu)的PCA模型主元數(shù)的確定表1累積方差貢獻(xiàn)率CPVTable 1C umulative percent variance CPV主元數(shù)i ri =1ir i =1inj =1j(%10.0001根據(jù)式(18計算各變量與主元數(shù)分別為110的模型復(fù)相關(guān)系數(shù),如圖2 所示圖2變量與主元陣的相關(guān)系數(shù)Fig .2 Correlation coefficients between variable and PC圖3變量與主元陣相關(guān)系數(shù)的平均值Fig .3Average of correlation coefficients betweenvariab

11、le and PC圖4變量與前4個主元陣的相關(guān)系數(shù)Fig .4Correlation coefficients betweenfirst 4variables and PC分別取主元數(shù)為110,則每一變量與主元陣的相關(guān)系數(shù)隨主元數(shù)的增大而增加10個變量相關(guān)系數(shù)的平均值如圖3所示若主元數(shù)8時,復(fù)相關(guān)系數(shù)均值為1,表明主元陣包含了數(shù)據(jù)的所有信息,但數(shù)據(jù)的簡化程度最低,精度最高在主元數(shù)3以后,復(fù)相關(guān)系數(shù)均值超過了0.9,說明90%的數(shù)據(jù)信息已經(jīng)被主元陣所擁有,因此,主元數(shù)3是最優(yōu)的圖4為取主元數(shù)等于14的復(fù)相關(guān)系數(shù),與表1中的前3個主元的累積方差貢獻(xiàn)率比較,說明復(fù)相關(guān)系數(shù)大于0.9,累積方差貢獻(xiàn)率大

12、于85%的最小主元數(shù)應(yīng)為3,這一結(jié)果充分驗證了基于故障重構(gòu)方差確定的主元數(shù)的最優(yōu)性4結(jié)語基于故障重構(gòu)確定PCA 模型主元數(shù)的方法克服了以前只考慮單純某一特定指標(biāo)增加或減少來確定主元數(shù)的弊端這種方法充分考慮數(shù)據(jù)變量在主元子空間和殘差子空間的投影不斷提高PCs 的信息精度13,使其在減少數(shù)據(jù)維數(shù)的同時,保證信息存量的充分有效性,將是進一步研究的課題參考文獻(xiàn):1Nomikos P ,M acGregor J F .Monitoring b atch process using multi -way principle component a nalysis J .A ICH E ,1994,40(8

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20、ult ReconstructionLI Y uan 1,XIE Zhi 1,WANG Gang2(1.School of Information Science and Engineering ,Northeastern University ,Shenyang 110004;2.School of Information Engineering ,Shenyang Institute of Chemical Technology ,Shenyang 110142,China .Correspondent :LI Yuan ,associate professor ,E -mail :Li

21、-yuan mail .tsinghua .edu .cn Ab s tra ct :Based on the theory of fault reconstruction ,the determination of the principal components in PCA (principal component analysis model is studied ,thus analyzing the performance of PCA model .In the fault diagnosis based on PCA theory ,the faulty variables c

22、an be reconstructed in the direction of vectorized faults data ,with the variance of reconstruction error (VRE projected separately onto principal component sub -space (PCS and residual sub -space (RS .An optimal reconstruction is convincing only if the sum of all VREs in both PCS and RS come to min

23、imum ,among which the corresponding principal components are referred to as optimum principal components .An evaluation is carried out for the performance of PCA model by virtue of cumulative percent variance (CPV and multi -correlation coefficients .The results show that the principal components de

24、termined as above in PCA model can ensure enough information in PCS .The reasonableness and effectiveness of the determination method is proved through a fault diagnosis for industrial PVC polymerization process .Ke y w ord s :fault reconstruction ;principal component analysis (PCA ;variance of reconstruction error (V RE ;principal components (PCs ;principal