西工大、西交大自動(dòng)控制原理 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

1、系統(tǒng)失穩(wěn)的例子(1) 麥克風(fēng)和揚(yáng)聲器減小距離嘯叫麥克風(fēng)揚(yáng)聲器聲音信號(hào)語(yǔ)音信號(hào)空氣媒介回音信號(hào)系統(tǒng)失穩(wěn)的例子(2)瓦特的蒸汽機(jī)蒸汽機(jī)在調(diào)速過(guò)程中存在“設(shè)備變得發(fā)狂”現(xiàn)象，系統(tǒng)存在振蕩現(xiàn)象。 1940年11月7日，一陣風(fēng)引起了橋的晃動(dòng)，而且晃動(dòng)越來(lái)越大，直到。跨越華盛頓州塔科馬峽谷的首座大橋，開(kāi)通于1940年7月1日。只要有風(fēng)，這座大橋就會(huì)晃動(dòng)。(3)塔科馬大橋 1、 系統(tǒng)穩(wěn)定性概念 當(dāng)系統(tǒng)受到擾動(dòng)后（如負(fù)載轉(zhuǎn)矩的變化、 電網(wǎng)電壓的變化等）偏離了原來(lái)的平衡狀態(tài)， 若這種偏離不斷擴(kuò)大，即使擾動(dòng)消失，系統(tǒng)也不能回到平衡狀態(tài)，這種系統(tǒng)就是不穩(wěn)定的； 若通過(guò)系統(tǒng)自身的調(diào)節(jié)作用，使偏差最后逐漸減小，系統(tǒng)又逐

2、漸恢復(fù)到平衡狀態(tài)，那么，這種系統(tǒng)便是穩(wěn)定的。 1、 系統(tǒng)穩(wěn)定性概念 1、 系統(tǒng)穩(wěn)定性概念若系統(tǒng)在擾動(dòng)消失后，輸出與原始的平衡狀態(tài)間存在恒定的偏差或輸出維持等幅振蕩，則系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定。 1、 系統(tǒng)穩(wěn)定性概念 1、 系統(tǒng)穩(wěn)定性概念系統(tǒng)的穩(wěn)定性（Stability） 控制系統(tǒng)在受到擾動(dòng)作用使平衡狀態(tài)破壞后， 經(jīng)過(guò)調(diào)節(jié)， 能重新達(dá)到平衡狀態(tài)的性能。平衡狀態(tài)穩(wěn)定性 1、 系統(tǒng)穩(wěn)定性概念 系統(tǒng)方程在不受任何外界輸入作用下，其解在時(shí)間趨于無(wú)窮時(shí)的漸進(jìn)行為。 系統(tǒng)的穩(wěn)定性（Stability）運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性 1、 系統(tǒng)穩(wěn)定性概念 控制系統(tǒng)在初始擾動(dòng)的影響下，其過(guò)渡過(guò)程隨著時(shí)間的推移逐漸衰減并趨向于零，則稱該系統(tǒng)

3、漸進(jìn)穩(wěn)定(穩(wěn)定)。反之，若在初始擾動(dòng)的影響下，系統(tǒng)過(guò)渡過(guò)程隨著時(shí)間的推移而發(fā)散，則稱系統(tǒng)為不穩(wěn)定。 1、 系統(tǒng)穩(wěn)定性概念(1) 對(duì)于線性系統(tǒng)而言，運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性與平衡狀態(tài)穩(wěn)定性是等價(jià)的。(2)在有界輸入作用下，其輸出響應(yīng)也是有界的。(3)穩(wěn)定性是系統(tǒng)的一種固有特性，它只取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，而與初始狀態(tài)和外作用無(wú)關(guān)。 1、 系統(tǒng)穩(wěn)定性概念注意：系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為： 2、線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件 12122211=2miignnNjmmmjkszC sM s sKR sN sssssa sasin,cossin,cosmjma ta tmmmms tjssesjtsajet ett 當(dāng)N=0時(shí)，

4、則系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)為： 12111sinjmnns ta tjmmmjmmy tAeBet當(dāng) 都為正時(shí)，上式趨于0。此時(shí)閉環(huán)極點(diǎn)都在s平面的左半平面。jmsa和如果系統(tǒng)在右半平面至少有一個(gè)極點(diǎn)，上式趨于無(wú)窮大。 2、線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件 12111sinjmnns ta tjmmmjmmy tAeBet如果系統(tǒng)有一對(duì)純虛根，即某個(gè) 為零，則上式有一項(xiàng)為無(wú)衰減的正弦函數(shù)，系統(tǒng)等幅振蕩，但是是有界的。ma2、線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件 120111sinjmnns ta tjmmmjmmy tAA eBet當(dāng)N=1時(shí)，系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)當(dāng)N1時(shí)，系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)有關(guān)于t的線性項(xiàng)，最終趨于無(wú)窮大。因此當(dāng)系統(tǒng)在

5、虛軸上只有簡(jiǎn)單極點(diǎn)(N=1和1重純虛根)，而其他極點(diǎn)都在左半平面內(nèi)時(shí)，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。2、線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件、線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件上式有一個(gè)常數(shù)項(xiàng)，但最終趨于有限值。如果特征根都具有負(fù)實(shí)部，則系統(tǒng)穩(wěn)定； 2、線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件系統(tǒng)在虛軸上只有簡(jiǎn)單極點(diǎn)(N=1和1重純虛根)，而其他極點(diǎn)都在左半平面內(nèi)時(shí)，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。如果特征根中有一個(gè)或一個(gè)以上具有正實(shí)部，(或在虛軸上有重根，） 系統(tǒng)不穩(wěn)定； 系統(tǒng)特征方程的根(閉環(huán)極點(diǎn))全部具有負(fù)實(shí)部，或者說(shuō)閉環(huán)極點(diǎn)全部在S平面左半平面。2、線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：3、穩(wěn)定判據(jù)Routh Hurwitz判據(jù)（又叫代數(shù)判據(jù)） 根據(jù)系統(tǒng)

6、特征方程（代數(shù)方程)的系數(shù)判斷全部特征根是否都具有負(fù)實(shí)部。設(shè)系統(tǒng)的特征方程式為：先來(lái)看勞斯表 01110 nnnnasasasasD1）Routh判據(jù)ns1ns0s1s2snnac1, 1nc, 11, 1nc1,2nc2ns1302113aaaaac1504123aaaaac1706133aaaaac3ns1323131314ccaacc1333151324ccaacc1343171334ccaacc4ns142413231415cccccc143413331425cccccc144413431435cccccc0a1a2a3a4a5a6a7a43c44c45cRouth表（勞斯表）：第一行

7、由特征方程中的第1、3、5項(xiàng)系數(shù)組成；第二行由特征方程中的第2、4、6 項(xiàng)系數(shù)組成；ns1ns0s1s2snnac1, 1nc, 11, 1nc1,2nc2ns1302113aaaaac1504123aaaaac1706133aaaaac3ns1323131314ccaacc1333151324ccaacc1343171334ccaacc4ns142413231415cccccc143413331425cccccc144413431435cccccc0a1a2a3a4a5a6a7a43c44c45c 系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件：系統(tǒng)特征方程式的全部系數(shù)均同號(hào) 。 系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：勞斯表中第一列各元

8、素的值都同號(hào) 。 若第一列元素值出現(xiàn)變號(hào)，系統(tǒng)不穩(wěn)定； 第一列元素符號(hào)改變的次數(shù)，就是系統(tǒng)特征方程的正實(shí)部根的個(gè)數(shù)。3、穩(wěn)定判據(jù)1）Routh判據(jù)例1設(shè)系統(tǒng)特征方程為：試用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：(1) 特征方程式的各項(xiàng)系數(shù)均大于0。 (2) 勞斯表為： 010532234ssss107457101571071523151103201234sssss故有結(jié)論：A：第一列有一個(gè)元素小于 0 系統(tǒng)不穩(wěn)定。B：第一列元素符號(hào)改變兩次系統(tǒng)有二個(gè)正實(shí)部的根。3、穩(wěn)定判據(jù)特別注意：A：當(dāng)系統(tǒng)特征方程的各項(xiàng)系數(shù)符號(hào)不相同，或者有為零的系數(shù)(即缺項(xiàng))時(shí)，系統(tǒng)不滿足穩(wěn)定的必要條件，系統(tǒng)不穩(wěn)定； B：如果不

9、穩(wěn)定，尚需知道系統(tǒng)不穩(wěn)定有幾個(gè)右根(正實(shí)部根)，就需用勞斯判據(jù)。3、穩(wěn)定判據(jù)例2已知系統(tǒng)特征方程為 試用勞斯判據(jù)判定其穩(wěn)定性。 解：(1) 特征方程式的各項(xiàng)系數(shù)均大于0。 (2) 勞斯表為： 無(wú)法計(jì)算第三行元素654322345670ssssss654321013572461270-8sssssss3、穩(wěn)定判據(jù)3、穩(wěn)定判據(jù)2）特殊情況處理A：勞斯表中某一行中第一個(gè)元素為零，而其余不全為零；用一個(gè)小正數(shù) 代替 0 ，然后將計(jì)算進(jìn)行下去例2已知系統(tǒng)特征方程為 試用勞斯判據(jù)判定其穩(wěn)定性。 解：(1) 特征方程式的各項(xiàng)系數(shù)均大于0。 (2) 勞斯表為： 654322345670ssssss654321

10、013572461270-8sssssss3、穩(wěn)定判據(jù)用一個(gè)小正數(shù) 代替 0 ，然后將計(jì)算進(jìn)行下去3、穩(wěn)定判據(jù)654321013572461270( )-8827780827sssssss 故有結(jié)論：A：第一列有一個(gè)元素小于 0 系統(tǒng)不穩(wěn)定。B：第一列元素符號(hào)改變兩次系統(tǒng)有二個(gè)正實(shí)部的根。 -1.3079 + 0.5933i-1.3079 - 0.5933i 0.7104 + 1.1068i 0.7104 - 1.1068i -0.4025 + 1.3417i -0.4025 - 1.3417i解：列出勞斯表為 ：無(wú)法計(jì)算第三行元素例3判定系統(tǒng)穩(wěn)定性，系統(tǒng)的特征方程為 04473223456s

11、sssss0123456004314314721sssssss3、穩(wěn)定判據(jù)3、穩(wěn)定判據(jù)2）特殊情況處理B：出現(xiàn)全零行處理方法： 用全零行的上一行的元素為系數(shù)構(gòu)造一個(gè)輔助方程求導(dǎo)，然后用求導(dǎo)后所得方程的系數(shù)代替全零行元素，然后繼續(xù)計(jì)算下去。由輔助方程可求得絕對(duì)值大小相等、符號(hào)相反的根。 原因：系統(tǒng)特征方程存在一些絕對(duì)值大小相等、符 號(hào)相反的根。（譬如？）解：列出勞斯表為 ：例3判定系統(tǒng)穩(wěn)定性，系統(tǒng)的特征方程為 04473223456ssssss0123456004314314721sssssss3、穩(wěn)定判據(jù)出現(xiàn)了全為零的行（第四行）。用其上一行（第三行）元素為系數(shù)構(gòu)造一個(gè)輔助方程為043)(24

12、sssF3、穩(wěn)定判據(jù)對(duì) 求導(dǎo)為 ：)(sF064)(3sssFdsd用此方程系數(shù)替換全零行，并將勞斯表計(jì)算完。47 .1645 . 146)6(0)4(043143147210123456sssssss0123456004314314721sssssss顯然，第一列元素符號(hào)改變一次，系統(tǒng)有一個(gè)右根。3、穩(wěn)定判據(jù)由輔助方程可解得： 就是系統(tǒng)的右根0)4)(1(432224ssss2;4, 32, 1sjs23s要求方程的其它根，怎么辦？ 解：列出勞斯表為解：列出勞斯表為 ：例4判定系統(tǒng)穩(wěn)定性，系統(tǒng)的特征方程為 023)(234sssssD0123402211231sssss注意：在 這一行的第一

13、個(gè)元素為零，不應(yīng)按第一種特殊情況處理，而應(yīng)按第二種特殊情況處理！1s哪種情況？A or B？3、穩(wěn)定判據(jù)022)(2ssFsSFdsd4)(0123402211231sssss將-4 寫(xiě)進(jìn) 行。1s系統(tǒng)特征方程的另二個(gè)根為：顯然，系統(tǒng)的兩個(gè)右根為： 13s24s11s13s2)4(0221123101234sssss3、穩(wěn)定判據(jù)022)(2ssF12, 1s解可見(jiàn)系統(tǒng)有二個(gè)右根。3、穩(wěn)定判據(jù)特別注意：A：當(dāng)系統(tǒng)特征方程的各項(xiàng)系數(shù)符號(hào)不相同，或者有為零的系數(shù)(即缺項(xiàng))時(shí)，系統(tǒng)不滿足穩(wěn)定的必要條件，系統(tǒng)不穩(wěn)定； B：當(dāng)勞斯表中出現(xiàn)兩種特殊情況時(shí)，系統(tǒng)肯定是不穩(wěn)定的； C：在上兩種情況下，如果尚需知

14、道系統(tǒng)不穩(wěn)定有幾個(gè)右根(正實(shí)部根)，就需用勞斯判據(jù)。3、穩(wěn)定判據(jù)解：列出勞斯表為 ： 出現(xiàn)全零行，列出輔助方程： 例5判定系統(tǒng)穩(wěn)定性，系統(tǒng)的特征方程為 02223sss012302211ssss3、穩(wěn)定判據(jù)系統(tǒng)系統(tǒng)不穩(wěn)定不穩(wěn)定，但勞斯表中第一列元素全大于零，但勞斯表中第一列元素全大于零，故系統(tǒng)無(wú)右根。故系統(tǒng)無(wú)右根。022)(2ssFsSFdsd4)(解解 得得 ：022)(2ssFjs2, 1系統(tǒng)不穩(wěn)定是因?yàn)橄到y(tǒng)存在虛軸上的純虛根。（臨界穩(wěn)定）)2()4(022110123ssss所以系統(tǒng)穩(wěn)定？11ss1sskR(s)Y(s)_ 011111ssssKsG系統(tǒng)的特征方程為：系統(tǒng)穩(wěn)定否？不穩(wěn)定！

15、3、穩(wěn)定判據(jù)例6 試分析如下系統(tǒng)的穩(wěn)定性，其中K04、代數(shù)判據(jù)的應(yīng)用當(dāng)已知線性系統(tǒng)的特征方程時(shí)，應(yīng)用代數(shù)判據(jù)可以： A：分析判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性；B：分析系統(tǒng)參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響（參數(shù)取值范圍、臨界增益）； C：確定系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性?，F(xiàn)舉例說(shuō)明后兩種應(yīng)用。 4、代數(shù)判據(jù)的應(yīng)用系統(tǒng)參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響 (1)解：系統(tǒng)特征方程式為： 1100.11 0.251KG ssss 例7設(shè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖為： 試確定系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)的K值范圍。125. 011 . 0sssK sR sC4、代數(shù)判據(jù)的應(yīng)用系統(tǒng)參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響 (1)(二)利用勞斯判據(jù)：列出勞斯表如下： 若要系統(tǒng)穩(wěn)定必須 即 0404

16、01423Ksss140 KKsKsKss4014404014401440101230404014040KK4、代數(shù)判據(jù)的應(yīng)用確定系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性穩(wěn)定裕度 (2) 在時(shí)域分析中，常以實(shí)部最大的閉環(huán)特征根與虛軸的距離表示系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性或穩(wěn)定裕度具有穩(wěn)定裕度的系統(tǒng)閉環(huán)特征根的位置 4、代數(shù)判據(jù)的應(yīng)用確定系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性穩(wěn)定裕度 (2) 具有穩(wěn)定裕度的系統(tǒng)的所有閉環(huán)特征根都位于s = -線的左邊。 利用坐標(biāo)平移的方法，以 代入原系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程，寫(xiě)出以 為變量的新閉環(huán)特征方程。然后，應(yīng)用勞斯判據(jù)，對(duì)以 為變量的閉環(huán)特征方程進(jìn)行判別。若滿足穩(wěn)定性的充要條件，則系統(tǒng)具有穩(wěn)定裕度。一般地說(shuō)，的值愈大，

17、系統(tǒng)的穩(wěn)定程度愈高。1ss1s1s4、代數(shù)判據(jù)的應(yīng)用確定系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性穩(wěn)定裕度 (2)例8要使上例系統(tǒng)的閉環(huán)特征根全部位于s平面的垂線以左， 的取值范圍是什么？ 1sK125. 011 . 0sssK sR sC4、代數(shù)判據(jù)的應(yīng)用解：系統(tǒng)的特征方程為：若令 即 ;并將 代入原特征方程。得到關(guān)于 的新特征方程:對(duì)上式整理后列出勞斯表: 確定系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性穩(wěn)定裕度 (2)040401423Ksss11 ss11 ss11 ss1s040140114112131Ksss32111111540270sssK2740112740151127401115101112131KsKsKss4、代數(shù)判據(jù)的應(yīng)

18、用要系統(tǒng)穩(wěn)定，應(yīng)有：即：確定系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性穩(wěn)定裕度 (2)02740151102740KK8 . 4675. 0 K故：要使系統(tǒng)特征根均配置在s平面的s-1垂線以左，K的取值范圍為 顯然，K的取值范圍比原來(lái)小了。8 . 4675. 0 K 系統(tǒng)穩(wěn)定性是系統(tǒng)的固有屬性，由特征方程的根唯一的決定。 穩(wěn)定：系統(tǒng)的所有極點(diǎn)都位于s平面的左半平面。 臨界穩(wěn)定：系統(tǒng)沒(méi)有極點(diǎn)位于s平面的右半平面，且位于s平面虛軸上的極點(diǎn)都為一階極點(diǎn)。 不穩(wěn)定：(1)系統(tǒng)至少有一個(gè)極點(diǎn)位于s平面的右半平面，(2)或者位于s平面虛軸上的極點(diǎn)至少有一個(gè)為高階極點(diǎn)。5、總結(jié) 穩(wěn)定的必要條件：系統(tǒng)特征方程系數(shù)同符號(hào)。 在系統(tǒng)特征方程系數(shù)符號(hào)相同的情況下，再用勞斯表判定系統(tǒng)穩(wěn)定性。5、總結(jié)5、思考題與作業(yè) 3-11；3-12； 3-13；3-14。作業(yè)：思考思考：共振現(xiàn)象如何引起？ 12111sinjmnns ta